Beispiel : Gleichungen mit komplexen Zahlen aus Arens ^[1]

Lösen Sie

$\begin{aligned}[](a)\quad (z+1)^{5}=(z-1)^{5}\end{aligned}$

$\begin{aligned}[](b)\quad z^{6}-(3+i)z^{3}+2+2i=0\end{aligned}$

Bemerkung

Wenn nicht anders formuliert, meinen wir mit «Lösen» die Bestimmung sämtlicher Lösungen dieser Gleichung. Unsere Strategie basiert auf dem Folgenden:

Wir können bis jetzt zwei Dinge, nämlich Wurzeln ziehen und quadratische Gleichungen lösen. Noch nicht viel mehr :). Also ist die Strategie, dieses Problem irgendwie in eines der folgenden Probleme umzuwandeln:

Eine Wurzel zu ziehen, heisst $z^{n}=c,\quad c\in \mathbb {C}$ zu lösen.
Eine quadratische Gleichung zu lösen, heisst $az^{2}+bz+c=0,\quad a,b,c\in \mathbb {C}$ zu lösen.

5.1 – Lösung des obigen Beispiels

Wie müssen wir nun also vorgehen? Machen wir eine schlaue Substitution!

Beginnen wir mit $(a)$ :

Zuerst merken Sie sich, dass $1$ keine Lösung von $(a)$ ist.

Deshalb suchen wir nur $z\neq 1$ . Für $z\neq 1$ dürfen wir durch $(z-1)$ dividieren und weiter können wir die Substitution $w=\frac {z+1}{z-1}$ machen. Aus $(a)$ folgt
$\begin{aligned}[]w^{5}=\left ({\frac {z+1}{z-1}}\right )^{5}=1=1\cdot e^{i0}\label{eq:w Eq}\end{aligned}$
und nun müssen wir $w^{5}=1$ lösen. Das ist einfach Wurzelziehen.

Die Lösungen von $w^{5}=1$ sind die fünf Einheitswurzeln

$\begin{aligned}[]w_{k}=e^{i\frac {2\pi k}{5}}\quad k=0,1,2,3,4.\end{aligned}$

Nun müssen wir zurück zur Variable $z$ gehen. Deshalb lösen wir

$\begin{aligned}[]w_{k}=e^{i\frac {2\pi k}{5}}=\frac {z+1}{z-1}\end{aligned}$

$\begin{aligned}[]\implies w_{k}(z-1)=z+1\end{aligned}$

$\begin{aligned}[]\implies z(w_{k}-1)=w_{k}+1\end{aligned}$

$\begin{aligned}[]\implies z=\frac {\left ({w_{k}+1}\right )}{(w_{k}-1)}.\end{aligned}$

Für $k=0$ ist dieser Ausdruck undefiniert, sonst löst er aber die Aufgabe. Deshalb sind die Lösungen von $(a)$

$\begin{aligned}[]\frac {\left ({w_{k}+1}\right )}{(w_{k}-1)}=\frac {\left ({e^{i\frac {2\pi k}{5}}+1}\right )}{(e^{i\frac {2\pi k}{5}}-1)},\quad k=1,2,3,4.\end{aligned}$

Für $(b)$ ist der Trick, $w=z^{3}$ einzusetzen und damit eine quadratische Gleichung zu bekommen.

$\begin{aligned}[]w^{2}-(3+i)w+(2+2i)=0\end{aligned}$

Laut Abschnitt 4.9.2 haben die Lösungen die Form

$\begin{aligned}[]w_{1}=\frac {3+i+u_{1}}{2},w_{2}=\frac {3+i+u_{2}}{2},\end{aligned}$

wobei $u_{1}$ und $u_{2}$ die zwei Wurzeln von

$\begin{aligned}[](3+i)^{2}-4(2+2i)=9+6i-1-8-8i=-2i\end{aligned}$

sind.

Was sind die Wurzeln von $-2i$ ?

Betrachten wir das geometrisch. Das Argument von $-2i$ ist $- \frac {\pi }{2}$ und der Betrag ist $2$ . Daher sind die Wurzeln

$\begin{aligned}[]\left \{ u_{1},u_{2}\right \} =\left \{ \sqrt {2}e^{\left (-\frac {\pi }{4}\right )i},\sqrt {2}e^{\left (-\frac {\pi }{4}+\pi \right )i}\right \} =\left \{ \sqrt {2}e^{\left (\frac {3\pi }{4}\right )i},\sqrt {2}e^{\left (-\frac {\pi }{4}\right )i}\right \} .\end{aligned}$

Sehen Sie schon ihre Normalform? Um $w_{i}$ zu berechnen, sollten wir $u_{i}$ in der Normalform schreiben. Man berechnet sie entweder geometrisch oder algebraisch. Dann sieht man, dass sie $-1+i$ und $1-i$ sind:

$\begin{aligned}[]\left \{ w_{1},w_{2}\right \} =\left \{ \frac {3+i+(-1+i)}{2},\frac {3+i+(1-i)}{2}\right \} =\left \{ 1+i,2\right \}.\end{aligned}$

In Arens ^[2] können Sie einen anderen Weg sehen, diesen Zwischenschritt nachzuvollziehen.

Nun sollten wir zurück zur Variable $z$ gehen. Das heisst, die Gleichheiten

$\begin{aligned}[]z^{3}=1+i\text { und }z^{3}=2\end{aligned}$

lösen. Das ist nochmals Wurzelziehen! Dazu müssen wir $1+i$ und $2$ in Polarkoordinaten schreiben.

$\begin{aligned}[]z^{3}=1+i=\sqrt {2}e^{\frac {\pi }{4}i}\end{aligned}$

Deshalb sind

$\begin{aligned}[]\left \{ z_{1},z_{2},z_{3}\right \} =\sqrt [6]{2}e^{\frac {\pi }{12}i},\sqrt [6]{2}e^{\frac {\pi }{12} i+\frac {2\pi }{3}i},\sqrt [6]{2}e^{\frac {\pi }{12}i+\frac {4\pi }{3}i}\end{aligned}$

drei Lösungen von $(b)$ . Die anderen drei sind die Lösungen von

$\begin{aligned}[]z^{3}=2=2e^{i0},\end{aligned}$

welche

$\begin{aligned}[]\left \{ z_{4},z_{5},z_{6}\right \} =\sqrt [3]{2},\sqrt [3]{2}e^{\frac {2\pi }{3}i},\sqrt [3]{2}e^{\frac {4\pi }{3}i}\end{aligned}$

sind.

Arens, Tilo and Hettlich, Frank and Karpfinger, Christian and Kockelkorn, Ulrich and Lichtenegger, Klaus and Stachel, Hellmuth: Mathematik (Springer-Verlag, 2015) ↵
Arens, Tilo and Hettlich, Frank and Karpfinger, Christian and Kockelkorn, Ulrich and Lichtenegger, Klaus and Stachel, Hellmuth: Mathematik (Springer-Verlag, 2015) ↵

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Beispiel : Gleichungen mit komplexen Zahlen aus Arens [1]

Bemerkung

5.1 – Lösung des obigen Beispiels

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Beispiel : Gleichungen mit komplexen Zahlen aus Arens ^[1]