Ausgangspunkt der Einführung der komplexen Zahlen war das Bestreben, aus negativen Zahlen die Wurzel zu ziehen. Wir haben gesehen, dass wir sogar die $n$ -ten Wurzeln aus jeder Zahl ziehen können und viele andere Gleichungen lösen können. In Wirklichkeit gilt ein viel allgemeinerer Satz: der Fundamentalsatz der Algebra.

Proposition : ohne Beweis

Jedes Polynom $P:\mathbb {C}\rightarrow \mathbb {C}$ besitzt mindestens eine Nullstelle.

Korollar

Jedes Polynom vom Grad $n\in \mathbb {N}$ kann man zerlegen in $n$ , nicht notwendigerweise verschiedene Linearfaktoren. Das heisst

$\begin{aligned}[]a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}=a_{n}(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})\end{aligned}$

wobei $z_{i}\in \mathbb {C}$ die Nullstellen sind.

Beweis des Korollars

Sei $P(z)$ ein beliebiges Polynom vom Grad $n$ . Laut der obigen Proposition hat $P(z)$ eine Nullstelle, welche wir mit $z_{1}$ bezeichnen. Dann ist $P$ durch $z-z_{1}$ teilbar und durch ein Polynomdivision finden wir $P_{1}$ , ein Polynom vom Grad $n-1$ , sodass

$\begin{aligned}[]P(z)=(z-z_{1})P_{1}(z).\end{aligned}$

Jetzt verwenden wir nochmals die obige Proposition aber diesmal mit dem Polynom $P_{1}$ . Laut dieser Proposition finden wir eine Nullstelle $z_{2}$ von $P_{1}(z)$ und dann ist $P_{1}$ durch $z-z_{2}$ teilbar. Mit der Polynomdivision finden wir $P_{2}(z)$ vom Grad $n-2$ , sodass

$\begin{aligned}[]P(z)=(z-z_{1})P_{1}(z)=(z-z_{1})\underbrace {(z-z_{2})P_{2}(z)}_{=P_{1}(z)}.\end{aligned}$

So fahren wir fort ( $n$ -mal), bis wir $P(z)$ als

$\begin{aligned}[]P(z)=(z-z_{1})\cdots (z-z_{n})P_{n}(z)\end{aligned}$

ausdrücken können, wobei $P_{n}(z)$ ein Polynom vom Grad $0$ ist. Das heisst $P_{n}(z)$ ist einfach eine Konstante. Wir können diese Konstante mit $a_{n}$ bezeichnen, und erhalten damit die erwünschte Zerlegung. ∎

Bemerkung

Die Nullstellen $z_{1},z_{2},\cdots ,z_{n}$ sind nicht notwendig verschieden! Hier ist ein extremes Beispiel:

$\begin{aligned}[]z^{n}=(z-0)^{n}\end{aligned}$

Die obige Proposition stimmt natürlich nicht über $\mathbb {R}$ . Alles in diesem Kapitel hat mit der Tatsache angefangen, dass $x^{2}+1=0$ keine Nullstellen in $\mathbb {R}$ hat. Falls $P$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten ist, so sind die zugehörigen Nullstellen nicht notwendigerweise reell. Es gilt aber:

Lemma

Sei $P$ ein reelles Polynom von Grad $n$ , das heisst,

$\begin{aligned}[]P(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\end{aligned}$

mit $a_{i}\in \mathbb {R}$ . Ist $z_{0}$ eine Nullstelle von $P$ , so ist auch ihre komplex konjugierte Zahl $\bar {z_{0}}$ eine Nullstelle von $P$ . Weiter gilt, dass die Anzahl der Nullstellen, die nicht reell sind, immer gerade ist.

Beweis des Lemmas

Wir werden nur den ersten Teil des Lemmas beweisen. Erinnern Sie sich, dass gilt

$\begin{aligned}[]\overline {z_{1}+z_{2}}=\overline {z_{1}}+\overline {z_{2}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}[]\overline {z_{1}\cdot z_{2}}=\overline {z_{1}}\cdot \overline {z_{2}}.\end{aligned}$

Deshalb gilt auch

$\begin{aligned}[]\overline {z^{n}}=\overline {z}^{n}\end{aligned}$

für jedes $n\in \mathbb {N}$ und $z\in \mathbb {C}$ .

Da $z_{0}$ eine Nullstelle ist, gilt

$\begin{aligned}[]0=P(z_{0})=a_{n}z_{0}^{n}+a_{n-1}z_{0}^{n-1}+\cdots +a_{1}z_{0}+a_{0}.\end{aligned}$

Wir konjugieren beide Seiten dieser Gleichung

$\begin{aligned}[]\overline {0}=\overline {a_{n}z_{0}^{n}+a_{n-1}z_{0}^{n-1}+\cdots +a_{1}z_{0}+a_{0}}=\spadesuit\end{aligned}$

und verwenden die obigen Regeln

$\begin{aligned}[]\spadesuit & =\overline {a_{n}z_{0}^{n}}+\overline {a_{n-1}z_{0}^{n-1}}+\cdots +\overline {a_{1}z_{0}}+\overline {a_{0}}\\ & =\overline {a_{n}}\overline {z_{0}}^{n}+\overline {a_{n-1}}\overline {z_{0}}^{n-1}+\cdots +\overline {a_{1}}\overline {z_{0}}+\overline {a_{0}}.\end{aligned}$

Da $a_{i}\in \mathbb {R}$ sind, gilt $\overline {a_{n}}=a_{n}$ . Daher bekommen wir

$\begin{aligned}[]0=a_{n}\overline {z_{0}}^{n}+a_{n-1}\overline {z_{0}}^{n-1}+\cdots +a_{1}\overline {z_{0}}+a_{0}.\end{aligned}$

Das heisst genau, dass $P(\overline {z_{0}})=0$ gilt, sprich: $\overline {z_{0}}$ eine Nullstelle von $P$ ist. ∎

Bemerkung

Betrachten wir den Fall eines quadratischen Polynoms der Form

$\begin{aligned}[]P(z)=z^{2}+\alpha z+\beta .\end{aligned}$

Zuerst möchten wir die Beziehung zwischen den Nullstellen und den Koeffizienten verstehen. Das obige Korollar besagt, dass $P$ die Form

$\begin{aligned}[]P(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})\end{aligned}$

hat, wobei $z_{1}$ und $z_{2}$ die Nullstellen dieses Polynoms sind. Wenn man die Klammern ausmultipliziert

$\begin{aligned}[]P(z)=(z-z_{1})(z-z_{2})=z^{2}-(z_{1}+z_{2})z+z_{1}z_{2},\end{aligned}$

sieht man, dass $\alpha =-(z_{1}+z_{2})$ und $\beta =z_{1}z_{2}$ gilt. Daraus schliessen wir

$\begin{aligned}[]z_{1},z_{2}\in \mathbb {R}\implies \alpha ,\beta \in \mathbb {R},\end{aligned}$

das heisst, wenn die Nullstellen reell sind, sind es auch die Koeffizienten.

Die Umkehrung dieser Implikation ist falsch. Die Koeffizienten von $P(z)=z^{2}+1$ sind reell, aber die Nullstellen sind nicht reell. Dennoch besagt das obige Lemma , dass die Nullstellen komplex konjugierte voneinander sein müssen! Das ist in der Tat so. Die Nullstellen sind $i$ und $-i$ .

Sei nun $z_{0}=a+bi$ irgendeine komplexe Zahl. Allgemeiner können wir untersuchen, wie das Polynom $Q$ aussieht, dessen Nullstellen $z_{0}$ und $\overline {z_{0}}$ sind. Vom obigen Lemma erwarten wir, dass dieses Polynom reelle Koeffizienten hat, und so ist es in der Tat:

$\begin{aligned}[]Q(z)=(z-z_{0})(z-\overline {z_{0}})=z^{2}-(z_{0}+\overline {z_{0}})z+z_{0}\overline {z_{0}}\end{aligned}$

und $z_{0}+\overline {z_{0}}$ und $z_{0}\overline {z_{0}}$ sind reelle Zahlen

$\begin{aligned}[]z_{0}+\overline {z_{0}}=a+bi+(a-bi)=2a\end{aligned}$

$\begin{aligned}[]z_{0}\overline {z_{0}}=\left (a+bi\right )(a-bi)=a^{2}+b^{2}.\end{aligned}$

Also hat $Q$ die Form

$\begin{aligned}[]Q=z^{2}-2az+(a^{2}+b^{2}).\end{aligned}$

Wenn wir ein reelles Polynom zweiten Grades haben, besagt obiges Lemma, dass es zwei Möglichkeiten gibt: Entweder sind beide Nullstellen reell, oder ein Paar komplex konjugierter Nullstellen.

Aufgabe

Entscheiden Sie, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind:

Ein reelles Polynom dritten Grades muss zumindest eine reelle Nullstelle haben.
Ein komplexes Polynom vom dritten Grad muss zumindest eine reelle Nullstelle haben.

6.1 – Zusätzliches Material

Unser Geogebra-Buch enthält weitere (graphische) Anschauungen und Übungsmaterial für das ganze Thema.

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Proposition : ohne Beweis

Korollar

Bemerkung

Lemma

Bemerkung

Aufgabe

6.1 – Zusätzliches Material

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