In diesem Kapitel wird eine Gleichung für die Proteinkonzentration des Proteins [latex]A[/latex] hergeleitet.
Wie bei dem Protein [latex]R[/latex], entspricht die Änderung der Konzentration von [latex]A[/latex] der Differenz zwischen der Syntheserate von [latex]A[/latex] und der Abbaurate von [latex]A[/latex]:
\[\frac{d[A]}{dt}=A_{Synthese}-A_{Abbau}\]
7.1 – Die Abbaurate von A:
Auch hier hängt die Abbaurate des Proteins A nur von der spezifischen Lebensdauer im Organismus und der Proteinkonzentration ab. Die durchschnittliche Lebensdauer [latex]\tau_A[/latex] des Proteins [latex]A[/latex] wird wieder als konstant angenommen und wie bei Protein [latex]R[/latex] folgt:
\[\frac{d[A]}{dt}=A_{Synthese}-\frac{[A(t)]}{\tau_A}\]
7.2 – Die Syntheserate von A:
Die Syntheserate von A hängt wieder von drei Faktoren ab: Der Transkriptionswahrscheinlichkeit [latex]\beta_A[/latex], der Translationsrate [latex]m_A[/latex] und dem Anteil aktiver Promotoren.
\[A_{Synthese}=m_A\cdot\beta_A\cdot\frac{P_{aktiv}}{P_{gesamt}}.\]
Bis jetzt ist also alles analog zur Herleitung von [latex]R[/latex]. Nun folgt aber ein entscheidender Unterschied.
Wir nehmen hier an, dass alle freien Promotoren für Gen A aktiv sind. Es ist also genau umgekehrt zum Gen R, wo gebundene Promotoren aktiv waren. Im Rahmen dieser Modellierung nehmen wir also an, dass alle freien Promotoren auch aktiviert sind: [latex]P_{A, frei}=P_{A, aktiv}[/latex]. Dies gilt aber nur für den Promotor des Gens A!
Wir finden also:
\[A_{Synthese}=m_A\cdot\beta_A\cdot\frac{P_{A, frei}}{P_{A, gesamt}}=m_A\cdot\beta_A\cdot\frac{P_{A, aktiv}}{P_{A, gesamt}},\]
was dem Anteil an aktivierten Promotoren entspricht.
Wir gehen also beim Promotor [latex]A[/latex] davon aus, dass alle freien Promotoren aktiv sind. Wir rufen uns unser biologisches Modell in Erinnerung: Es handelt sich um einen negativen Feedbackmechanismus. Das Protein R bindet also an freie Promotoren von A. Absolut zentral ist, dass dieser Promotor dadurch inaktiviert wird. Wir haben also folgende Modellannahmen:
- Die Promotoren von [latex]A[/latex], die frei sind, sind automatisch aktiviert: [latex][P_{A, frei}]=[P_{A, aktiviert}][/latex].
- Protein R bindet an freie Promotoren von A und deaktiviert diese.
Als einfache chemische Reaktionsgleichung können wir das so formulieren:
\[R+P_{A, frei}\rightarrow P_{A, deaktiviert}\]
Für diese chemische Reaktion können wir natürlich auch das Massenwirkungsgesetz aufstellen:
\[K_R=\frac{[P_{A, deaktiviert}]}{[R]\cdot [P_{A, frei}]},\]
wobei [latex][P_{A, deaktiviert}]=[P_{A, gesamt}]-[P_{A, frei}][/latex] gilt. Dies ist möglich, da wir die Anzahl aller Promotoren von [latex]A[/latex] als konstant betrachten.
Erinnern wir uns nach was wir suchen. Wir suchen nach dem Anteil an aktivierten Promotoren zu einem bestimmten Zeitpunkt [latex]t[/latex]. Dies entspricht laut Annahme den freien Promotoren. Falls also
\[K_R=\frac{[P_{A, gesamt}]-[P_{A, frei}]}{[R(t)]\cdot[P_{A, frei}]}\]
nach [latex][P_{A, frei}][/latex] umgeformt wird, erhalten wir
\[ [P_{A, frei}]=\frac{[P_{A, gesamt}]}{1+K_R\cdot [R(t)]}.\]
Aus Kapitel 6.-2 erinnern wir uns an die Formel für die Syntheserate:
\[A_{Synthese}=m_A\cdot\beta_A\cdot\frac{P_{A, frei}}{P_{A, gesamt}}=m_A\cdot\beta_A\cdot\frac{P_{A, aktiviert}}{P_{A, gesamt}}.\]
Setzt man die gefundene Gleichung für [latex]P_{A, frei}[/latex] ein, ergibt das:
\[A_{Syntese}(t)=m_A\cdot\beta_A\cdot\frac{1}{1+K_R\cdot [R(t)]}.\]
7.3 – Zusammengesetzte DGL für A:
Wir haben jetzt sowohl die Syntheserate als auch die Abbaurate von [latex]A[/latex] beschrieben. Durch Einsetzen in unsere Ausgangsgleichung erhält man die vollständige Gleichung für die Änderung der Konzentration von [latex]A[/latex] in Abhängigkeit der Zeit:
Wir sehen also, dass in dieser DGL der Ausdruck [latex]R(t)[/latex] auftaucht, der nicht konstant ist. Wenn wir ein solches [latex]R(t)[/latex] kennen, können wir wieder mit der Methode der Variation der Konstanten die Lösung [latex]t \mapsto A(t)[/latex] bestimmen. Aber es sind [latex]A(t)[/latex] und [latex]R(t)[/latex] über zwei Gleichungen gekoppelt. Das führt im letzten Abschnitt zu einem System von Differenzialgleichungen.