{"id":95,"date":"2024-02-23T10:01:22","date_gmt":"2024-02-23T10:01:22","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesignwip\/chapter\/computational-geometry\/"},"modified":"2024-06-28T14:37:04","modified_gmt":"2024-06-28T14:37:04","slug":"computational-geometry","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesignwip\/chapter\/computational-geometry\/","title":{"raw":"Darstellende Geometrie","rendered":"Darstellende Geometrie"},"content":{"raw":"Geometrie steckt im Kern des architektonischen Entwurfsprozesses. Sie ist omnipr\u00e4sent, von den ersten Schritten der Formfindung bis zur eigentlichen Konstruktion. Moderne Konstruktionsgeometrie bietet eine Reihe von Werkzeugen f\u00fcr effizientes Entwerfen, Analyse und die Herstellung komplexer Formen. Das f\u00fchrt zu neuen Herausforderungen, sowohl in der Architektur als auch in der Geometrie. Architekturgeometrie ist daher als integrative Forschungsaufgabe zu sehen, die an der Grenze zwischen angewandter Geometrie und Architektur angesiedelt ist.\r\n
Geometry has an ambiguous reputation, associated as much with idiocy as with cleverness.<\/em>\r\nAt best there is something desperately uncommunicative about it, something more than a little removed from the rest of experience to set against its giant claim of truth. Flaubert, in The Dictionary of Accepted Ideas, defines a geometrician as \"travelling on strange seas of thought-alone.\"<\/em>\r\nAnd when Joseph Conrad wished to characterize the futile effort of concentration made by the earnest but mentally retarded youth Stevie in The Secret Agent, he would describe him as \"seated very good and quiet at a deal table, drawing circles, circles, circles; innumerable circles, concentric, eccentric, a coruscating whirl of circles that by their tangled multitude of repeated curves, uniformity of form, and confusion of intersecting lines suggested a rendering of cosmic chaos, the symbolism of a mad art attempting the inconceivable.\"<\/em> - Robin Evans, The projective cast<\/div>\r\n

Entwicklung der Darstellende Geometrie<\/h1>\r\n
Darstellende Geometrie<\/b>\u00a0ist der Teilbereich der\u00a0Geometrie<\/a>, der sich mit den geometrisch-konstruktiven Verfahren von Projektionen dreidimensionaler Objekte auf eine zweidimensionale Darstellungsebene befasst. Die Anwendungsbereiche ihrer Methoden sind breit gef\u00e4chert und erstrecken sich neben den heute bekanntesten Anwendungen in der Technik- und Architekturdarstellung auch auf Kunst, Malerei, Kartenwesen und Computergraphik.<\/div>\r\nBei der systematischen Errichtung von Bauwerken spielen Pl\u00e4ne mit konkreten Vorgaben eine wichtige Rolle. Schon im Altertum wurden\u00a0Grund- und Aufrisse<\/i>\u00a0verwendet. Der \u00e4lteste schriftliche Beleg daf\u00fcr ist das Werk\u00a0Zehn B\u00fccher \u00fcber Architektur<\/a><\/i>\u00a0des r\u00f6mischen Baumeisters\u00a0Vitruvius<\/a>. Aber erst\u00a0Albrecht D\u00fcrer<\/a>\u00a0(1471\u20131528) schrieb in der Fr\u00fchen Neuzeit das erste wirkliche Lehrbuch der Darstellenden Geometrie:\u00a0Underweysung mit dem Zirkel und Richtscheydt<\/i>[2]<\/a><\/sup> (N\u00fcrnberg 1525).\u00a0\u00a0Gaspard Monge<\/a>\u00a0(1746\u20131818) f\u00fchrte in seinem Buch\u00a0Geometrie descriptive<\/i>[3]<\/a><\/sup> zum ersten Mal die strenge Zuordnung von Grund- und Aufriss ein, um r\u00e4umliche Probleme zeichnerisch zu l\u00f6sen. Die Grundaufgaben der Darstellenden Geometrie sind dort schon in der noch heute gebr\u00e4uchlichen Fassung zu finden. (Quelle<\/a>)\r\n

Die Trennung von Planung und Ausf\u00fchrung<\/h2>\r\n
\r\n

Alberti<\/h2>\r\nAuffallend an der Architekturtheorie Albertis ist vor allem ihre erstaunliche Modernit\u00e4t. Es geht um die neue Rolle des Architekten als reiner Planer mit eigenem, nicht mehr handwerklich gepr\u00e4gtem Ausbildungsgang. (Quelle<\/a>) Der Architekt, den sich Alberti vorstellte, sollte sich in der Malerei und in der Mathematik auskennen. Dies hatte zwar schon Vitruv gefordert, aber Alberti bezog sich hier auf das Kernst\u00fcck seiner Abhandlung \u00fcber die Malerei, n\u00e4mlich auf die Zentralperspektive<\/a>, die f\u00fcr den Architekten genauso wichtig sei wie f\u00fcr den Maler, da er mit ihrer Hilfe die Wirkung des Geb\u00e4udes absch\u00e4tzen und berechnen k\u00f6nne.\r\n\r\nAllerdings handelt es sich bei dem von Alberti anvisierten Architekten um eine andere species<\/em>\u00a0als sie aus der baumeisterlichen Praxis des Mittelalters bekannt war. Albertis Architekt ist kein Praktiker, sondern ein Entwerfer, der sich als Gelehrter versteht. Seine Bemerkungen \u00fcber seine eigene Stellung dokumentieren, dass er im\u00a0architectus<\/em>\u00a0eine intellektuelle Autorit\u00e4t sah, der f\u00fcr die Ausf\u00fchrung ein Baumeister (faber<\/em>) zur Seite stand, \u00e4hnlich wie man dies in Andrea Pisanos Reliefs am Campanile des Florentiner Doms sehen kann, in denen der Architekt in vornehmer Kleidung in seinem Arbeitszimmer (studiolo<\/em>) sitzt, w\u00e4hrend der Baumeister die Vorg\u00e4nge auf der Baustelle unter Kontrolle h\u00e4lt. Diesem Muster war das Verh\u00e4ltnis zwischen Architekt und Baumeister verpflichtet, das Albertis eigene Bauvorhaben kennzeichnet. (Quelle<\/a>)\r\n\r\n<\/div>\r\nIn den fr\u00fchesten Zeichnungen wurde die anschauliche perspektivische<\/a>\u00a0(dreidimensionale<\/a>) Darstellung \u2013\u00a0anf\u00e4nglich in primitiver und ab der\u00a0Renaissance<\/a>\u00a0in korrekter Weise\u00a0\u2013 benutzt.[1]<\/a><\/sup> Weil sie relativ hohe Anforderungen an die Begabung der Zeichner stellt, ging man bei Beginn der\u00a0Industrialisierung<\/a>\u00a0(18. Jahrhundert) auf zweidimensionale Abbildungen der Objekte in rechtwinkliger Parallelprojektion (Orthogonalprojektion<\/a>) \u00fcber. Die\u00a0Kanten<\/a>\u00a0und\u00a0Symmetrie<\/a>-Linien der meisten technischen Gegenst\u00e4nde sind untereinander rechtwinklig angeordnet. Man kann ihnen ein rechtwinkliges Koordinatensystem \u00fcberlagern und von ihnen Ansichten (Vorder-\/R\u00fcckansicht, Seitenansicht von rechts\/links und Drauf-\/Untersicht) in je einer Richtung der Koordinatenachsen erzeugen. Die in den drei Koordinatenebenen liegenden Fl\u00e4chen werden unverzerrt abgebildet. Bei der angewendeten Parallelprojektion ist der Abbildungsma\u00dfstab unabh\u00e4ngig davon, welchen Abstand eine Objektebene vom Betrachter hat; alle L\u00e4ngen sind ma\u00dfstabgleich dargestellt. Nachteilig ist, dass sich der Betrachter die Geometrie des K\u00f6rpers aus mehreren Ansichten (und gegebenenfalls Schnitten bei K\u00f6rpern mit Hohlr\u00e4umen) vorstellen muss (setzt r\u00e4umliches Vorstellungsverm\u00f6gen voraus).(Quelle<\/a>)\r\n

Projektionen<\/h1>\r\nVor der Einf\u00fchrung von Computergrafik (engl. Computer-graphics) war Wissen um Projektionstechniken n\u00f6tig. Heute wird das von Computern in Echtzeit durchgef\u00fchrt. Um die digitalen Techniken m\u00f6glichst gut zur Visualisierung nutzen zu k\u00f6nnen, ist dennoch ein grundlegendes Verst\u00e4ndnis n\u00f6tig. (Helmut Pottmann<\/a>, Architectural Geometry). In der Darstellenden Geometrie bedient man sich im Wesentlichen zweier Abbildungsverfahren. Dabei werden Punkte und Kurven eines Objektes mit Hilfe von Strahlen (Geraden) auf eine Bildtafel (Ebene) projiziert:\r\n

Parallelprojektion<\/span><\/h2>\r\nDie Abbildungsstrahlen sind parallel, wie z.\u00a0B. beim Sonnenlicht. Dabei unterscheidet man noch die beiden F\u00e4lle:\r\n