{"id":136,"date":"2024-02-23T10:01:47","date_gmt":"2024-02-23T10:01:47","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesignwip\/chapter\/graphen\/"},"modified":"2024-06-28T14:48:01","modified_gmt":"2024-06-28T14:48:01","slug":"graphen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesignwip\/chapter\/graphen\/","title":{"raw":"Topologie, Graphen und Netzwerke","rendered":"Topologie, Graphen und Netzwerke"},"content":{"raw":"

Topologie<\/h1>\r\nDie [pb_glossary id=\"225\"]Topologie<\/b>[\/pb_glossary]\u00a0(griechisch<\/a>\u00a0\u03c4\u03cc\u03c0\u03bf\u03c2<\/span>\u00a0t\u00f3pos<\/span>, deutsch 'Ort, Platz, Stelle'<\/span>\u00a0und\u00a0-logie<\/a> von griechisch logos, deutsch 'die Lehre von...') behandelt die Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik<\/a>. Sie besch\u00e4ftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben. Es geht um die Beziehungen von Objekten untereinander, also z.B. welche Punkte mit einer Linie oder zu einer Polygonnetz-Fl\u00e4che verbunden sind, nicht um die metrische Position im Raum dieser Punkte oder die L\u00e4nge der Linie. (Quelle<\/a>)\r\n\r\n[caption id=\"attachment_132\" align=\"aligncenter\" width=\"240\"]\"\" Tasse und Donut (Torus) sind zueinander hom\u00f6omorph. Anmerkung: Ein Hom\u00f6omorphismus ist eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.[\/caption]\r\n\r\n[caption id=\"attachment_132\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Mathematisch gesehen ist das M\u00f6biusband (links) eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit. Eine weitere Fl\u00e4che, die in diese Kategorie geh\u00f6rt, ist die Kleinsche Flasche (rechts)[\/caption]\r\n\r\nUnter dem\u00a0Genus<\/b>\u00a0einer\u00a0kompakten<\/a>\u00a0orientierbaren<\/a>\u00a0Fl\u00e4che<\/a>\u00a0versteht man in der\u00a0Topologie<\/a> die Anzahl der \u201eL\u00f6cher\u201c (oder der \u201eHenkel\u201c) der Fl\u00e4che. Eine andere Definition ist die Anzahl kontinuierlicher Schnitte entlang der Oberfl\u00e4che die man maximal ausf\u00fchren kann, ohne das Objekt in mehrere Teile zu separieren.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_132\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Fl\u00e4chen mit Genus 1, 2 und 3.[\/caption]\r\n\r\nDie Mannigfaltigkeit einer Topologie erlaubt R\u00fcckschl\u00fcsse darauf, ob sich das Objekt 3D drucken l\u00e4sst, denn diese gibt an, ob ein klar definiertes Innen und Aussen existiert, es sich also um ein wasserdicht (engl water tight) geschlossenes Objekt handelt.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_132\" align=\"aligncenter\" width=\"273\"]\"\" Auf der linken Seite sind Mannigfaltigkeiten ohne Rand und auf der rechten Seite sind Mannigfaltigkeiten mit Rand abgebildet. Diese sind nicht direkt 3D druckbar, weil kein Innen und Aussen definiert ist.[\/caption]\r\n

Graphen<\/h1>\r\nEin [pb_glossary id=\"226\"]Graph<\/b>[\/pb_glossary] ist in der\u00a0Graphentheorie<\/a>\u00a0eine abstrakte Struktur, die eine Menge von Objekten zusammen mit den zwischen diesen Objekten bestehenden Verbindungen repr\u00e4sentiert. Die mathematischen Abstraktionen der Objekte werden dabei\u00a0Knoten<\/a><\/i> \u00a0des Graphen genannt. Die paarweisen Verbindungen zwischen Knoten hei\u00dfen\u00a0Kanten<\/a><\/i> \u00a0Die Kanten k\u00f6nnen\u00a0gerichtet<\/a>\u00a0oder\u00a0ungerichtet<\/a> sein. H\u00e4ufig werden Graphen anschaulich gezeichnet, indem die Knoten durch Punkte und die Kanten durch Linien dargestellt werden. (Quelle<\/a>)<\/sup>\r\n\r\n[h5p id=\"16\"]\r\n
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Beispiel<\/h2>\r\nAnschauliche Beispiele f\u00fcr Graphen sind ein\u00a0Stammbaum<\/a>\u00a0oder das\u00a0U-Bahn<\/a>-Netz einer Stadt (siehe Abbildungen). Bei einem Stammbaum stellt jeder Knoten ein Familienmitglied dar und jede Kante ist eine Verbindung zwischen einem Elternteil und einem Kind. In einem U-Bahn-Netz stellt jeder Knoten eine U-Bahn-Station dar und jede Kante eine direkte Zugverbindung zwischen zwei Stationen. In der Architektur sind Beispiele f\u00fcr Graphen das Strassennetz einer Stadt (Kreuzungen als Knoten), oder die Organisation von Grundrissen (R\u00e4ume als Knoten, T\u00fcren als Kanten).\r\n\r\n<\/div>\r\n\r\n[caption id=\"attachment_132\" align=\"aligncenter\" width=\"640\"]\"\" Steadman, J. P. 1983. Architectural Morphology an Introduction to the Geometry of Building Plans[\/caption]\r\n\r\n[caption id=\"attachment_132\" align=\"aligncenter\" width=\"2560\"]\"\" Frank Lloyd Wright in Mitchell, William John. 1990. The Logic of Architecture. Mit Press[\/caption]\r\n

Bildtafeln<\/h1>\r\n[gallery link=\"file\" ids=\"131,132,133,134,135\" orderby=\"rand\"]","rendered":"

7.1 \u2013 Topologie<\/h1>\n

Die Topologie<\/b><\/a>\u00a0(griechisch<\/a>\u00a0\u03c4\u03cc\u03c0\u03bf\u03c2<\/span>\u00a0t\u00f3pos<\/span>, deutsch \u201aOrt, Platz, Stelle\u2018<\/span>\u00a0und\u00a0-logie<\/a> von griechisch logos, deutsch \u201adie Lehre von\u2026\u2018) behandelt die Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik<\/a>. Sie besch\u00e4ftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben. Es geht um die Beziehungen von Objekten untereinander, also z.B. welche Punkte mit einer Linie oder zu einer Polygonnetz-Fl\u00e4che verbunden sind, nicht um die metrische Position im Raum dieser Punkte oder die L\u00e4nge der Linie. (Quelle<\/a>)<\/p>\n

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Abbildung 7.1 \u2013 Tasse und Donut (Torus) sind zueinander hom\u00f6omorph. Anmerkung: Ein Hom\u00f6omorphismus ist eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.<\/p>\n<\/div>\n

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Abbildung 7.2 \u2013 Mathematisch gesehen ist das M\u00f6biusband (links) eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit. Eine weitere Fl\u00e4che, die in diese Kategorie geh\u00f6rt, ist die Kleinsche Flasche (rechts)<\/p>\n<\/div>\n

Unter dem\u00a0Genus<\/b>\u00a0einer\u00a0kompakten<\/a>\u00a0orientierbaren<\/a>\u00a0Fl\u00e4che<\/a>\u00a0versteht man in der\u00a0Topologie<\/a> die Anzahl der \u201eL\u00f6cher\u201c (oder der \u201eHenkel\u201c) der Fl\u00e4che. Eine andere Definition ist die Anzahl kontinuierlicher Schnitte entlang der Oberfl\u00e4che die man maximal ausf\u00fchren kann, ohne das Objekt in mehrere Teile zu separieren.<\/p>\n

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Abbildung 7.3 \u2013 Fl\u00e4chen mit Genus 1, 2 und 3.<\/p>\n<\/div>\n

Die Mannigfaltigkeit einer Topologie erlaubt R\u00fcckschl\u00fcsse darauf, ob sich das Objekt 3D drucken l\u00e4sst, denn diese gibt an, ob ein klar definiertes Innen und Aussen existiert, es sich also um ein wasserdicht (engl water tight) geschlossenes Objekt handelt.<\/p>\n

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Abbildung 7.4 \u2013 Auf der linken Seite sind Mannigfaltigkeiten ohne Rand und auf der rechten Seite sind Mannigfaltigkeiten mit Rand abgebildet. Diese sind nicht direkt 3D druckbar, weil kein Innen und Aussen definiert ist.<\/p>\n<\/div>\n

7.2 \u2013 Graphen<\/h1>\n

Ein Graph<\/b><\/a> ist in der\u00a0Graphentheorie<\/a>\u00a0eine abstrakte Struktur, die eine Menge von Objekten zusammen mit den zwischen diesen Objekten bestehenden Verbindungen repr\u00e4sentiert. Die mathematischen Abstraktionen der Objekte werden dabei\u00a0Knoten<\/a><\/i> \u00a0des Graphen genannt. Die paarweisen Verbindungen zwischen Knoten hei\u00dfen\u00a0Kanten<\/a><\/i> \u00a0Die Kanten k\u00f6nnen\u00a0gerichtet<\/a>\u00a0oder\u00a0ungerichtet<\/a> sein. H\u00e4ufig werden Graphen anschaulich gezeichnet, indem die Knoten durch Punkte und die Kanten durch Linien dargestellt werden. (Quelle<\/a>)<\/sup><\/p>\n

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Beispiel<\/h2>\n

Anschauliche Beispiele f\u00fcr Graphen sind ein\u00a0Stammbaum<\/a>\u00a0oder das\u00a0U-Bahn<\/a>-Netz einer Stadt (siehe Abbildungen). Bei einem Stammbaum stellt jeder Knoten ein Familienmitglied dar und jede Kante ist eine Verbindung zwischen einem Elternteil und einem Kind. In einem U-Bahn-Netz stellt jeder Knoten eine U-Bahn-Station dar und jede Kante eine direkte Zugverbindung zwischen zwei Stationen. In der Architektur sind Beispiele f\u00fcr Graphen das Strassennetz einer Stadt (Kreuzungen als Knoten), oder die Organisation von Grundrissen (R\u00e4ume als Knoten, T\u00fcren als Kanten).<\/p>\n<\/div>\n

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Abbildung 7.5 \u2013 Steadman, J. P. 1983. Architectural Morphology an Introduction to the Geometry of Building Plans<\/p>\n<\/div>\n

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Abbildung 7.6 \u2013 Frank Lloyd Wright in Mitchell, William John. 1990. The Logic of Architecture. Mit Press<\/p>\n<\/div>\n

7.3 \u2013 Bildtafeln<\/h1>\n