{"id":124,"date":"2024-02-23T10:01:35","date_gmt":"2024-02-23T10:01:35","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesignwip\/chapter\/strukturen\/"},"modified":"2024-06-28T14:42:47","modified_gmt":"2024-06-28T14:42:47","slug":"strukturen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesignwip\/chapter\/strukturen\/","title":{"raw":"Geometrische Strukturen","rendered":"Geometrische Strukturen"},"content":{"raw":"

Punktwolken<\/h1>\r\n
Eine Punktwolke<\/b>\u00a0(englisch<\/a>\u00a0point cloud<\/span>) ist eine Menge von Punkten eines\u00a0Vektorraums<\/a>, die eine unorganisierte r\u00e4umliche Struktur (\u201eWolke\u201c) aufweist.[1]<\/a><\/sup>\u00a0Eine Punktwolke ist durch die enthaltenen Punkte beschrieben, die jeweils durch ihre Raumkoordinaten erfasst sind. Punktwolken mit\u00a0Georeferenzierung<\/a>\u00a0enthalten Punkte in einem erdbezogenen Koordinatensystem. Zu den Punkten k\u00f6nnen zus\u00e4tzlich Attribute, wie z.\u00a0B. geometrische Normalen, Farbwerte, Aufnahmezeitpunkt oder Messgenauigkeit, erfasst sein.<\/div>\r\nDie Erzeugung kann grunds\u00e4tzlich \u00fcber Scanning-Verfahren (z. B. terrestrisches oder flugzeuggest\u00fctztes\u00a0Laserscanning<\/a>) oder\u00a0photogrammetrische Verfahren<\/a>[2]<\/a><\/sup>\u00a0erfolgen sowie allgemein mittels Abtastung von Objektoberfl\u00e4chen durch Systeme wie Koordinatenmessmaschinen oder tastende\u00a03D-Scanner<\/a>. Optische Scanner untergliedert man in\u00a0Lasertechnologie<\/a>, die nach dem Triangulationsprinzip arbeiten, und Normallicht-Scanner, die nach dem Streifenlichtverfahren (\u201ecoded-light\u201c) arbeiten. Einen zusammenfassenden \u00dcberblick \u00fcber die Vielfalt und Leistungsf\u00e4higkeit aktueller optischer Scanning-Methoden und die Weiterverarbeitung der resultierenden 3D-Daten\/Punktwolke gibt beispielsweise C. Teutsch.[3]<\/a><\/sup>\u00a0Durch die mehrfache Erfassung eines r\u00e4umlichen Ausschnitts zu unterschiedlichen Zeitpunkten l\u00e4sst sich ein vierdimensionales (zeitvariantes) diskretes r\u00e4umliches Modell einer Umgebung aufbauen.[4]<\/a><\/sup>\u00a0Jeder Punkt der Wolke wird dabei zeitlich und r\u00e4umlich (XYZ-Koordinaten<\/a>) lokalisiert und kann in weiterer Folge auch georeferenziert werden. (Quelle<\/a>)\r\n\r\n[h5p id=\"8\"]\r\n\r\nEs gibt viele M\u00f6glichkeiten um aus einer Punktwolke eine geschlossene 3D-Oberfl\u00e4che zu erstellen (z.B. Shrink Wrap<\/a>, Ball Pivoting<\/a> oder Point2CAD<\/a>). Punktewolken und deren Zur\u00fcckf\u00fchrung in bearbeitbare CAD-Geometrie gewinnt in der Architektur immer wie mehr an Bedeutung, da dies ein effizientes und genaues Mittel der Bestandesaufnahme von existierenden Geb\u00e4uden ist.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_120\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Animiertes Punktwolkenmodell eines Torus[\/caption]\r\n

Mesh - Diskrete Fl\u00e4chennetze<\/h1>\r\n
Untereinander mit Kanten und Fl\u00e4chen verbundene Punkte<\/a>\u00a0bilden in der\u00a0Computergrafik<\/a>\u00a0ein [pb_glossary id=\"193\"]Polygonnetz oder Mesh[\/pb_glossary]<\/b>, das die Gestalt eines\u00a0Polyeders<\/a>\u00a0definiert.\u00a0Dreiecksnetze<\/a>\u00a0und Vierecksnetze sind hier am gel\u00e4ufigsten.<\/div>\r\nIn der 3D-Computergrafik und der Volumenmodellierung ist ein Polygonnetz eine Sammlung von Scheitelpunkten, Kanten und Fl\u00e4chen, die die Form eines polyedrischen Objekts definieren. Die Fl\u00e4chen bestehen normalerweise aus Dreiecken (Triangle Mesh), Vierecken (Quads) oder anderen einfachen konvexen Polygonen (n-Gons), da dies das Rendern vereinfacht, k\u00f6nnen aber auch allgemeiner aus konkaven Polygonen oder sogar Polygonen mit L\u00f6chern zusammengesetzt sein.\r\n\r\nDie Untersuchung von Polygonnetzen ist ein gro\u00dfes Teilgebiet der 3D-Computergrafik und der geometrischen Modellierung. F\u00fcr unterschiedliche Anwendungen und Ziele werden unterschiedliche Darstellungen von Polygonnetzen verwendet. Die Vielfalt der an Netzen durchgef\u00fchrten Operationen kann umfassen: Boolesche Logik (konstruktive Festk\u00f6rpergeometrie), Gl\u00e4ttung, Vereinfachung und viele andere. Es gibt auch Algorithmen f\u00fcr Raytracing, Kollisionserkennung und Starrk\u00f6rperdynamik mit Polygonnetzen. Wenn die Kanten des Netzes anstelle der Fl\u00e4chen gerendert werden, wird das Modell zu einem Drahtgittermodell.\r\n\r\nVolumetrische Netze unterscheiden sich von Polygonnetzen dadurch, dass sie explizit sowohl die Oberfl\u00e4che als auch das Volumen einer Struktur darstellen, w\u00e4hrend Polygonnetze nur explizit die Oberfl\u00e4che darstellen (das Volumen ist implizit). Volumetrische Netze finden z.B. in der finiten Elementanalyse Methode (FEA) Anwendung wo zwecks Ermitteln der Verformung oder der Tragf\u00e4higkeit eines Elementes dessen Geometrie in viele kleine Polyeder (oft Tetraeder oder W\u00fcrfel) unterteilt wird.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_120\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Unterschiedliche Drahtgittermodelle, die einfachste M\u00f6glichkeit, ein Polygonnetz darzustellen.[\/caption]\r\n\r\n \r\n\r\n[embed]https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=O0lIlROWro8[\/embed]\r\n\r\nVideo von Rebecca Allen f\u00fcr Kraftwerk's \"Musique Non Stop\" (1986). Mehr information \u00fcber das making-of hier<\/a>.\r\n

Voxel - Diskrete Volumen<\/h1>\r\n
Bei einem r\u00e4umlichen Datensatz, der in diskretisierter<\/a> Form in kartesischen Koordinaten<\/a> vorliegt, bezeichnet Voxel den diskreten Wert<\/a> an einer XYZ-Koordinate des Datensatzes. [pb_glossary id=\"218\"]Voxel[\/pb_glossary]<\/b>(zusammengesetzt aus dem englischen\u00a0volume vox<\/i>\u00a0und\u00a0el<\/i>\u00a0von\u00a0elements<\/i>[1]<\/a><\/sup>, auch in Anlehnung an das 2D Pendant \"Pixel\") bezeichnet in der Computergrafik<\/a>\u00a0einen Gitterpunkt (\u201eBild\u201cpunkt, Datenelement) in einem dreidimensionalen\u00a0Gitter<\/a>. Dies entspricht einem\u00a0Pixel<\/a>\u00a0in einem 2D-Bild, einer\u00a0Rastergrafik<\/a>. Wie bei Pixeln wird bei Voxeln \u00fcblicherweise die Position nicht explizit gespeichert, sondern implizit aus der Position zu anderen Voxeln hergeleitet. Ein Voxelraum hat eine Aufl\u00f6sung (m,n,o), also Anzahl Zeilen, Spalten und Ebenen. Im Gegensatz dazu werden bei Punkten<\/a>\u00a0oder\u00a0Polygonen<\/a> die Positionen der Eckkoordinaten gespeichert. (Quelle<\/a>)<\/div>\r\n \r\n\r\n[caption id=\"attachment_120\" align=\"aligncenter\" width=\"262\"]\"\" Eine Menge von gestapelten Voxeln. Ein einziges ist hervorgehoben.[\/caption]\r\n

\"\"<\/p>\r\n\r\n

Implizite Fl\u00e4chen<\/h1>\r\n[pb_glossary id=\"196\"]Implizite Fl\u00e4chen[\/pb_glossary] sind Fl\u00e4chen, die im Raum benachbarte Punkte gleicher Merkmale oder Werte einer bestimmten Gr\u00f6\u00dfe wie zum Beispiel Temperatur oder Dichte miteinander verbinden. Sie sind das dreidimensionale Gegenst\u00fcck zu Isolinien<\/a>, die Punkte auf einer Fl\u00e4che verbinden. Die Bedeutung von Isofl\u00e4chen liegt in der computergraphischen Visualisierung von Skalarfeldern<\/a> bzw. Gittern. (Quelle<\/a>)\r\n\r\nIsolinien werden f\u00fcr die wissenschaftliche Visualisierung verwendet. In geografischen Karten wird die Topographie \u00fcblicherweise mit Hilfe von H\u00f6henstufen (d. h. Kurven konstanter H\u00f6he \u00fcber dem Meeresspiegel) visualisiert (Abbildung 12.41). In Wetterkarten wird die Visualisierung oft durch Isolinien wichtiger Messdaten wie Temperatur oder Luftdruck erg\u00e4nzt.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_120\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Video loop of isallobars showing the motion of a cold front[\/caption]\r\n\r\nEs gibt viele Wege, 3d Isofl\u00e4chen zu rendern<\/a>, die beiden gebr\u00e4uchlichsten sind\u00a0Raycasting<\/a>\u00a0und der\u00a0Marching-Cubes<\/a>-Algorithmus der die implizite Fl\u00e4che zuerst in ein Mesh \/ Polygonnetz \u00fcbersetzt.\r\n

Signed Distance Functions<\/h2>\r\n[pb_glossary id=\"197\"]Signed Distance Function[\/pb_glossary] oder kurz SDFs geben, wenn sie die Koordinaten eines Punktes im Raum \u00fcbergeben, den k\u00fcrzesten Abstand zwischen diesem Punkt und einer Oberfl\u00e4che zur\u00fcck. Das Vorzeichen des R\u00fcckgabewerts gibt an, ob sich der Punkt innerhalb oder au\u00dferhalb dieser Oberfl\u00e4che befindet (daher vorzeichenbehaftete Abstandsfunktion).\r\n
\r\n

Beispiel<\/h2>\r\nSchauen wir uns ein Beispiel an. Stellen Sie sich eine Kugel vor, die im Ursprung zentriert ist. Die Distanzfunktion der Kugel mit Zentrum C und radius r f\u00fcr Punkt P ist wie folgt:\r\n\r\n[latex]f(x,y,z) = \\sqrt {\\left( {x_C - x_P } \\right)^2 + \\left( {y_C - y_P } \\right)^2 + \\left( {z_C - z_P } \\right)^2} - r[\/latex]\r\n\r\nPunkte innerhalb der Kugel haben einen Abstand vom Ursprung, der kleiner als der Radius ist, Punkte auf der Kugel haben einen Abstand, der gleich dem Radius ist, und Punkte au\u00dferhalb der Kugel haben einen Abstand, der gr\u00f6\u00dfer als der Radius ist. Also sieht unsere erste SDF f\u00fcr eine Kugel mit Radius 1 am Ursprung zentriert so aus:\r\n\r\n[latex]f(1,0,0)=0 \\\\\r\nf(0,0,0.5)=\u22120.5 \\\\\r\nf(0,3,0)=2[\/latex]\r\n\r\n\u200bGro\u00dfartig, (1, 0, 0) befindet sich auf der Oberfl\u00e4che, (0, 0, 0.5) befindet sich innerhalb der Oberfl\u00e4che, wobei der n\u00e4chste Punkt auf der Oberfl\u00e4che 0.5 Einheiten entfernt ist , und (0, 3, 0) liegt au\u00dferhalb der Oberfl\u00e4che, wobei der n\u00e4chste Punkt auf der Oberfl\u00e4che 2 Einheiten entfernt ist.\r\n\r\n<\/div>\r\n[h5p id=\"6\"]\r\n\r\nMehr Informationen zum Modellieren mit SDFs gibt es hier: dbt.arch.ethz.ch\/research-stream\/volumetric-modelling<\/a>\r\n

Metaballs<\/h2>\r\n[pb_glossary id=\"198\"]Metakugeln. Metab\u00e4lle, Metaballs [\/pb_glossary], auch bekannt als \u201eBlobs\u201c oder \u201eweiche Objekte\u201c, folgen dem gleichen Prinzip. Ihre Form wird durch Eingabeformen gesteuert, bei denen es sich in der Regel um einfache Objekte wie Punkte, Linien und einfache Oberfl\u00e4chen handelt. Unter Verwendung des Abstands zu den Eingabeformen wird jede Eingabeform einer lokalen Feldfunktion zugeordnet. Diese lokalen Feldfunktionen werden summiert, was eine Funktion f(x,y,z) ergibt. Seine Niveaumengen f (x,y,z) = k sind die interessierenden Fl\u00e4chen. Ein Beispiel wird gezeigt.[footnote]Pottmann, Helmut; Asperl, Andreas ; H\u00f6fer, Michael; Kilian, Axel. Architekturgeometrie. Bentley Institute Press. Kindle-Edition.[\/footnote]\r\n\r\nEin\u00a0Metaball<\/b>\u00a0ist das Ergebnis eines\u00a0Algorithmus<\/a>, der eine dehnbare Oberfl\u00e4che erzeugt, die die Form einer Kugel (bei genau einem) oder eine Menge von ineinander gehenden Kugeln erzeugt. Der Algorithmus wurde in den fr\u00fchen 1980ern von\u00a0Jim Blinn<\/a> entwickelt. Ein Metaball ist als eine\u00a0Funktion<\/a> in\u00a0\"n\"<\/span> Dimensionen definiert, f\u00fcr die \u00fcblichen drei Dimensionen also entsprechend\u00a0\"f(x,y,z)\"<\/span>. Um ein\u00a0Volumen<\/a>\u00a0zu erzeugen wird ein\u00a0Schwellenwert<\/a> gew\u00e4hlt. (Quelle<\/a>)\r\n
\r\n \t
\"{\\displaystyle<\/span><\/dd>\r\n<\/dl>\r\ndefiniert dann, ob der von \"n\"<\/span> Metaballs definierte K\u00f6rper am Punkt\u00a0\"(x,y,z)\"<\/span> gef\u00fcllt ist. Eine typische Metaball-Funktion ist\r\n
\r\n \t
\"{\\displaystyle<\/span><\/dd>\r\n<\/dl>\r\nwobei \"(x_{0},y_{0},z_{0})\"<\/span> das Zentrum des Balles angibt und\u00a0\"(x,y,z)\"<\/span> den zu untersuchenden Punkt.\u00a0\"f(x,y,z)\"<\/span> gibt dann also die St\u00e4rke des Balles an diesem Punkt zur\u00fcck. Ist die Summe der St\u00e4rken aller B\u00e4lle an diesem Punkt gr\u00f6\u00dfer als der Schwellenwert, so ist der K\u00f6rper dort gef\u00fcllt, d.h. der Punkt liegt innerhalb des Blobs. Da die Funktion auf Grund der Division<\/a>\u00a0rechenintensiv ist, werden auch\u00a0polynomiale<\/a> Ann\u00e4herungen verwendet.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_120\" align=\"aligncenter\" width=\"246\"]\"\" Zwei positive Metaballs verschmelzen ineinander.[\/caption]\r\n

Bildtafeln<\/h1>\r\n[gallery link=\"file\" ids=\"121,122,123\"]\r\n\r\nhttps:\/\/www.youtube.com\/watch?v=apw8jMqWJJU&t=76s&ab_channel=ThePlaided\r\n\r\nhttps:\/\/vimeo.com\/208685202","rendered":"

6.1 \u2013 Punktwolken<\/h1>\n
Eine Punktwolke<\/b>\u00a0(englisch<\/a>\u00a0point cloud<\/span>) ist eine Menge von Punkten eines\u00a0Vektorraums<\/a>, die eine unorganisierte r\u00e4umliche Struktur (\u201eWolke\u201c) aufweist.[1]<\/a><\/sup>\u00a0Eine Punktwolke ist durch die enthaltenen Punkte beschrieben, die jeweils durch ihre Raumkoordinaten erfasst sind. Punktwolken mit\u00a0Georeferenzierung<\/a>\u00a0enthalten Punkte in einem erdbezogenen Koordinatensystem. Zu den Punkten k\u00f6nnen zus\u00e4tzlich Attribute, wie z.\u00a0B. geometrische Normalen, Farbwerte, Aufnahmezeitpunkt oder Messgenauigkeit, erfasst sein.<\/div>\n

Die Erzeugung kann grunds\u00e4tzlich \u00fcber Scanning-Verfahren (z. B. terrestrisches oder flugzeuggest\u00fctztes\u00a0Laserscanning<\/a>) oder\u00a0photogrammetrische Verfahren<\/a>[2]<\/a><\/sup>\u00a0erfolgen sowie allgemein mittels Abtastung von Objektoberfl\u00e4chen durch Systeme wie Koordinatenmessmaschinen oder tastende\u00a03D-Scanner<\/a>. Optische Scanner untergliedert man in\u00a0Lasertechnologie<\/a>, die nach dem Triangulationsprinzip arbeiten, und Normallicht-Scanner, die nach dem Streifenlichtverfahren (\u201ecoded-light\u201c) arbeiten. Einen zusammenfassenden \u00dcberblick \u00fcber die Vielfalt und Leistungsf\u00e4higkeit aktueller optischer Scanning-Methoden und die Weiterverarbeitung der resultierenden 3D-Daten\/Punktwolke gibt beispielsweise C. Teutsch.[3]<\/a><\/sup>\u00a0Durch die mehrfache Erfassung eines r\u00e4umlichen Ausschnitts zu unterschiedlichen Zeitpunkten l\u00e4sst sich ein vierdimensionales (zeitvariantes) diskretes r\u00e4umliches Modell einer Umgebung aufbauen.[4]<\/a><\/sup>\u00a0Jeder Punkt der Wolke wird dabei zeitlich und r\u00e4umlich (XYZ-Koordinaten<\/a>) lokalisiert und kann in weiterer Folge auch georeferenziert werden. (Quelle<\/a>)<\/p>\n

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Es gibt viele M\u00f6glichkeiten um aus einer Punktwolke eine geschlossene 3D-Oberfl\u00e4che zu erstellen (z.B. Shrink Wrap<\/a>, Ball Pivoting<\/a> oder Point2CAD<\/a>). Punktewolken und deren Zur\u00fcckf\u00fchrung in bearbeitbare CAD-Geometrie gewinnt in der Architektur immer wie mehr an Bedeutung, da dies ein effizientes und genaues Mittel der Bestandesaufnahme von existierenden Geb\u00e4uden ist.<\/p>\n

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Abbildung 6.1 \u2013 Animiertes Punktwolkenmodell eines Torus<\/p>\n<\/div>\n

6.2 \u2013 Mesh \u2013 Diskrete Fl\u00e4chennetze<\/h1>\n
Untereinander mit Kanten und Fl\u00e4chen verbundene Punkte<\/a>\u00a0bilden in der\u00a0Computergrafik<\/a>\u00a0ein Polygonnetz oder Mesh<\/b><\/a>, das die Gestalt eines\u00a0Polyeders<\/a>\u00a0definiert.\u00a0Dreiecksnetze<\/a>\u00a0und Vierecksnetze sind hier am gel\u00e4ufigsten.<\/div>\n

In der 3D-Computergrafik und der Volumenmodellierung ist ein Polygonnetz eine Sammlung von Scheitelpunkten, Kanten und Fl\u00e4chen, die die Form eines polyedrischen Objekts definieren. Die Fl\u00e4chen bestehen normalerweise aus Dreiecken (Triangle Mesh), Vierecken (Quads) oder anderen einfachen konvexen Polygonen (n-Gons), da dies das Rendern vereinfacht, k\u00f6nnen aber auch allgemeiner aus konkaven Polygonen oder sogar Polygonen mit L\u00f6chern zusammengesetzt sein.<\/p>\n

Die Untersuchung von Polygonnetzen ist ein gro\u00dfes Teilgebiet der 3D-Computergrafik und der geometrischen Modellierung. F\u00fcr unterschiedliche Anwendungen und Ziele werden unterschiedliche Darstellungen von Polygonnetzen verwendet. Die Vielfalt der an Netzen durchgef\u00fchrten Operationen kann umfassen: Boolesche Logik (konstruktive Festk\u00f6rpergeometrie), Gl\u00e4ttung, Vereinfachung und viele andere. Es gibt auch Algorithmen f\u00fcr Raytracing, Kollisionserkennung und Starrk\u00f6rperdynamik mit Polygonnetzen. Wenn die Kanten des Netzes anstelle der Fl\u00e4chen gerendert werden, wird das Modell zu einem Drahtgittermodell.<\/p>\n

Volumetrische Netze unterscheiden sich von Polygonnetzen dadurch, dass sie explizit sowohl die Oberfl\u00e4che als auch das Volumen einer Struktur darstellen, w\u00e4hrend Polygonnetze nur explizit die Oberfl\u00e4che darstellen (das Volumen ist implizit). Volumetrische Netze finden z.B. in der finiten Elementanalyse Methode (FEA) Anwendung wo zwecks Ermitteln der Verformung oder der Tragf\u00e4higkeit eines Elementes dessen Geometrie in viele kleine Polyeder (oft Tetraeder oder W\u00fcrfel) unterteilt wird.<\/p>\n

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Abbildung 6.2 \u2013 Unterschiedliche Drahtgittermodelle, die einfachste M\u00f6glichkeit, ein Polygonnetz darzustellen.<\/p>\n<\/div>\n

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