7.1 – Topologie

Die (griechisch τόπος tópos, deutsch ‚Ort, Platz, Stelle‘ und -logie von griechisch logos, deutsch ‚die Lehre von…‘) behandelt die Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und ein fundamentales Teilgebiet der Mathematik. Sie beschäftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben. Es geht um die Beziehungen von Objekten untereinander, also z.B. welche Punkte mit einer Linie oder zu einer Polygonnetz-Fläche verbunden sind, nicht um die metrische Position im Raum dieser Punkte oder die Länge der Linie. (Quelle)

Abbildung 7.1 – Tasse und Donut (Torus) sind zueinander homöomorph. Anmerkung: Ein Homöomorphismus ist eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.

Abbildung 7.2 – Mathematisch gesehen ist das Möbiusband (links) eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit. Eine weitere Fläche, die in diese Kategorie gehört, ist die Kleinsche Flasche (rechts)

Unter dem Genus einer kompakten orientierbaren Fläche versteht man in der Topologie die Anzahl der „Löcher“ (oder der „Henkel“) der Fläche. Eine andere Definition ist die Anzahl kontinuierlicher Schnitte entlang der Oberfläche die man maximal ausführen kann, ohne das Objekt in mehrere Teile zu separieren.

Abbildung 7.3 – Flächen mit Genus 1, 2 und 3.

Die Mannigfaltigkeit einer Topologie erlaubt Rückschlüsse darauf, ob sich das Objekt 3D drucken lässt, denn diese gibt an, ob ein klar definiertes Innen und Aussen existiert, es sich also um ein wasserdicht (engl water tight) geschlossenes Objekt handelt.

Abbildung 7.4 – Auf der linken Seite sind Mannigfaltigkeiten ohne Rand und auf der rechten Seite sind Mannigfaltigkeiten mit Rand abgebildet. Diese sind nicht direkt 3D druckbar, weil kein Innen und Aussen definiert ist.

7.2 – Graphen

Ein ist in der Graphentheorie eine abstrakte Struktur, die eine Menge von Objekten zusammen mit den zwischen diesen Objekten bestehenden Verbindungen repräsentiert. Die mathematischen Abstraktionen der Objekte werden dabei Knoten des Graphen genannt. Die paarweisen Verbindungen zwischen Knoten heißen Kanten Die Kanten können gerichtet oder ungerichtet sein. Häufig werden Graphen anschaulich gezeichnet, indem die Knoten durch Punkte und die Kanten durch Linien dargestellt werden. (Quelle)

Beispiel

Anschauliche Beispiele für Graphen sind ein Stammbaum oder das U-Bahn-Netz einer Stadt (siehe Abbildungen). Bei einem Stammbaum stellt jeder Knoten ein Familienmitglied dar und jede Kante ist eine Verbindung zwischen einem Elternteil und einem Kind. In einem U-Bahn-Netz stellt jeder Knoten eine U-Bahn-Station dar und jede Kante eine direkte Zugverbindung zwischen zwei Stationen. In der Architektur sind Beispiele für Graphen das Strassennetz einer Stadt (Kreuzungen als Knoten), oder die Organisation von Grundrissen (Räume als Knoten, Türen als Kanten).