{"id":637,"date":"2022-03-06T09:59:47","date_gmt":"2022-03-06T09:59:47","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesigniii\/?post_type=chapter&p=637"},"modified":"2022-06-14T21:43:39","modified_gmt":"2022-06-14T21:43:39","slug":"graphen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesigniii\/chapter\/graphen\/","title":{"raw":"Topologie, Graphen und Netzwerke","rendered":"Topologie, Graphen und Netzwerke"},"content":{"raw":"

Topologie<\/h1>\r\nDie [pb_glossary id=\"1033\"]Topologie[\/pb_glossary]<\/b>\u00a0(griechisch<\/a>\u00a0\u03c4\u03cc\u03c0\u03bf\u03c2<\/span>\u00a0t\u00f3pos<\/span>, deutsch\u00a0\u201aOrt, Platz, Stelle\u2018<\/span>\u00a0und\u00a0-logie<\/a>) ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und ein fundamentales\u00a0Teilgebiet der Mathematik<\/a>. Sie besch\u00e4ftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der\u00a0Stetigkeit<\/a>\u00a0durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der\u00a0Geometrie<\/a>\u00a0und\u00a0Mengenlehre<\/a> hervor. Die\u00a0geometrische Topologie<\/b>\u00a0ist ein\u00a0Teilgebiet der Mathematik<\/a>, das sich mit\u00a0Mannigfaltigkeiten<\/a> (engl. Manifold) und deren Einbettungen<\/a> besch\u00e4ftigt.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_483\" align=\"aligncenter\" width=\"240\"]\"\" Tasse und Volltorus sind zueinander hom\u00f6omorph. Anmerkung: Ein Hom\u00f6omorphismus ist eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.[\/caption]\r\n\r\n[caption id=\"attachment_597\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Mathematisch gesehen ist das M\u00f6biusband (links) eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit. Eine weitere Fl\u00e4che, die in diese Kategorie geh\u00f6rt, ist die Kleinsche Flasche (rechts)[\/caption]\r\n\r\nUnter dem\u00a0Geschlecht<\/b>\u00a0einer\u00a0kompakten<\/a>\u00a0orientierbaren<\/a>\u00a0Fl\u00e4che<\/a>\u00a0versteht man in der\u00a0Topologie<\/a>\u00a0die Anzahl der \u201eL\u00f6cher\u201c (oder der \u201eHenkel\u201c) der Fl\u00e4che.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_598\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Fl\u00e4chen mit Geschlecht 1, 2 und 3.[\/caption]\r\n\r\nDie Mannigfaltigkeit einer Topologie erlaubt R\u00fcckschl\u00fcsse darauf, ob sich das Objekt 3D drucken l\u00e4sst, denn diese gibt an, ob ein klar definiertes Innen und Aussen existiert.\r\n\r\n \r\n\r\n[caption id=\"attachment_507\" align=\"aligncenter\" width=\"273\"]\"\" Auf der linken Seite sind Mannigfaltigkeiten ohne Rand und auf der rechten Seite sind Mannigfaltigkeiten mit Rand abgebildet. Diese sind nicht direkt 3D druckbar, weil kein Innen und Aussen definiert ist.[\/caption]\r\n

Graphen<\/h1>\r\nEin [pb_glossary id=\"1036\"]Graph[\/pb_glossary]<\/b> ist in der\u00a0Graphentheorie<\/a>\u00a0eine abstrakte Struktur, die eine Menge von Objekten zusammen mit den zwischen diesen Objekten bestehenden Verbindungen repr\u00e4sentiert. Die mathematischen Abstraktionen der Objekte werden dabei\u00a0Knoten<\/a><\/i> \u00a0des Graphen genannt. Die paarweisen Verbindungen zwischen Knoten hei\u00dfen\u00a0Kanten<\/a><\/i> \u00a0Die Kanten k\u00f6nnen\u00a0gerichtet<\/a>\u00a0oder\u00a0ungerichtet<\/a>\u00a0sein. H\u00e4ufig werden Graphen anschaulich gezeichnet, indem die Knoten durch Punkte und die Kanten durch Linien dargestellt werden.[2]<\/a><\/sup>\r\n
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Beispiel<\/h2>\r\nAnschauliche Beispiele f\u00fcr Graphen sind ein\u00a0Stammbaum<\/a>\u00a0oder das\u00a0U-Bahn<\/a>-Netz einer Stadt (siehe Abbildungen). Bei einem Stammbaum stellt jeder Knoten ein Familienmitglied dar und jede Kante ist eine Verbindung zwischen einem Elternteil und einem Kind. In einem U-Bahn-Netz stellt jeder Knoten eine U-Bahn-Station dar und jede Kante eine direkte Zugverbindung zwischen zwei Stationen.\r\n\r\n<\/div>\r\n \r\n\r\n[caption id=\"attachment_745\" align=\"aligncenter\" width=\"640\"]\"\" Steadman, J. P. 1983. Architectural Morphology an Introduction to the Geometry of Building Plans[\/caption]\r\n\r\n[caption id=\"attachment_848\" align=\"aligncenter\" width=\"2560\"]\"\" Frank Lloyd Wright in Mitchell, William John. 1990. The Logic of Architecture. Mit Press[\/caption]\r\n\r\n \r\n\r\n[caption id=\"attachment_693\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Peter Eisenmann, THE MAX REINHARDT HAUS, Location: Berlin, Germany, Year: 1992[\/caption]\r\n\r\n[caption id=\"attachment_789\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" Un Studio, M\u00f6bius House[\/caption]\r\n\r\n[caption id=\"attachment_672\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" National Taichung Theater von Toyo Ito & Associates[\/caption]\r\n\r\n[caption id=\"attachment_676\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" NonLin\/Lin von Marc Fornes und The Very Many[\/caption]\r\n\r\n[caption id=\"attachment_674\" align=\"aligncenter\" width=\"300\"]\"\" OMA \u2014 Jussieu Library[\/caption]","rendered":"

7.1 \u2013 Topologie<\/h1>\n

Die Topologie<\/b><\/a>\u00a0(griechisch<\/a>\u00a0\u03c4\u03cc\u03c0\u03bf\u03c2<\/span>\u00a0t\u00f3pos<\/span>, deutsch\u00a0\u201aOrt, Platz, Stelle\u2018<\/span>\u00a0und\u00a0-logie<\/a>) ist die Lehre von der Lage und Anordnung geometrischer Gebilde im Raum und ein fundamentales\u00a0Teilgebiet der Mathematik<\/a>. Sie besch\u00e4ftigt sich mit den Eigenschaften mathematischer Strukturen, die unter stetigen Verformungen erhalten bleiben, wobei der Begriff der\u00a0Stetigkeit<\/a>\u00a0durch die Topologie in sehr allgemeiner Form definiert wird. Die Topologie ging aus den Konzepten der\u00a0Geometrie<\/a>\u00a0und\u00a0Mengenlehre<\/a> hervor. Die\u00a0geometrische Topologie<\/b>\u00a0ist ein\u00a0Teilgebiet der Mathematik<\/a>, das sich mit\u00a0Mannigfaltigkeiten<\/a> (engl. Manifold) und deren Einbettungen<\/a> besch\u00e4ftigt.<\/p>\n

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Abbildung 7.1 \u2013 Tasse und Volltorus sind zueinander hom\u00f6omorph. Anmerkung: Ein Hom\u00f6omorphismus ist eine direkte Abbildung zwischen den Punkten der Tasse und des Volltorus, die Zwischenstufen im zeitlichen Verlauf dienen nur der Illustration der Stetigkeit dieser Abbildung.<\/p>\n<\/div>\n

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Abbildung 7.2 \u2013 Mathematisch gesehen ist das M\u00f6biusband (links) eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit. Eine weitere Fl\u00e4che, die in diese Kategorie geh\u00f6rt, ist die Kleinsche Flasche (rechts)<\/p>\n<\/div>\n

Unter dem\u00a0Geschlecht<\/b>\u00a0einer\u00a0kompakten<\/a>\u00a0orientierbaren<\/a>\u00a0Fl\u00e4che<\/a>\u00a0versteht man in der\u00a0Topologie<\/a>\u00a0die Anzahl der \u201eL\u00f6cher\u201c (oder der \u201eHenkel\u201c) der Fl\u00e4che.<\/p>\n

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Abbildung 7.3 \u2013 Fl\u00e4chen mit Geschlecht 1, 2 und 3.<\/p>\n<\/div>\n

Die Mannigfaltigkeit einer Topologie erlaubt R\u00fcckschl\u00fcsse darauf, ob sich das Objekt 3D drucken l\u00e4sst, denn diese gibt an, ob ein klar definiertes Innen und Aussen existiert.<\/p>\n

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Abbildung 7.4 \u2013 Auf der linken Seite sind Mannigfaltigkeiten ohne Rand und auf der rechten Seite sind Mannigfaltigkeiten mit Rand abgebildet. Diese sind nicht direkt 3D druckbar, weil kein Innen und Aussen definiert ist.<\/p>\n<\/div>\n

7.2 \u2013 Graphen<\/h1>\n

Ein Graph<\/b><\/a> ist in der\u00a0Graphentheorie<\/a>\u00a0eine abstrakte Struktur, die eine Menge von Objekten zusammen mit den zwischen diesen Objekten bestehenden Verbindungen repr\u00e4sentiert. Die mathematischen Abstraktionen der Objekte werden dabei\u00a0Knoten<\/a><\/i> \u00a0des Graphen genannt. Die paarweisen Verbindungen zwischen Knoten hei\u00dfen\u00a0Kanten<\/a><\/i> \u00a0Die Kanten k\u00f6nnen\u00a0gerichtet<\/a>\u00a0oder\u00a0ungerichtet<\/a>\u00a0sein. H\u00e4ufig werden Graphen anschaulich gezeichnet, indem die Knoten durch Punkte und die Kanten durch Linien dargestellt werden.[2]<\/a><\/sup><\/p>\n

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Beispiel<\/h2>\n

Anschauliche Beispiele f\u00fcr Graphen sind ein\u00a0Stammbaum<\/a>\u00a0oder das\u00a0U-Bahn<\/a>-Netz einer Stadt (siehe Abbildungen). Bei einem Stammbaum stellt jeder Knoten ein Familienmitglied dar und jede Kante ist eine Verbindung zwischen einem Elternteil und einem Kind. In einem U-Bahn-Netz stellt jeder Knoten eine U-Bahn-Station dar und jede Kante eine direkte Zugverbindung zwischen zwei Stationen.<\/p>\n<\/div>\n

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