{"id":403,"date":"2022-03-03T17:18:15","date_gmt":"2022-03-03T17:18:15","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesigniii\/?post_type=chapter&p=403"},"modified":"2024-02-20T15:03:20","modified_gmt":"2024-02-20T15:03:20","slug":"digitale-geometrie-2","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/computationaldesigniii\/chapter\/digitale-geometrie-2\/","title":{"raw":"Parametrische Kurven und Fl\u00e4chen","rendered":"Parametrische Kurven und Fl\u00e4chen"},"content":{"raw":"

NURBS<\/h1>\r\n
[pb_glossary id=\"996\"]Non-uniform rational\u00a0B-Splines<\/a><\/b><\/span>\u00a0(deutsch:\u00a0nicht-uniforme rationale B-Splines<\/i>, kurz\u00a0NURBS<\/i>) [\/pb_glossary] sind mathematisch<\/a>\u00a0definierte\u00a0Kurven<\/a>\u00a0oder\u00a0Fl\u00e4chen<\/a>, die im\u00a0Computergrafik<\/a>-Bereich, beispielsweise im\u00a0CGI<\/a>\u00a0oder\u00a0CAD<\/a>, zur Modellierung beliebiger Formen verwendet werden. NURBS <\/strong>\u00a0sind mathematische Darstellungen, die beliebige Formen von einfachen 2D-Linien, -Kreisen, -Bogen oder -Kurven bis hin zu hoch komplexen organischen 3D-Freiformfl\u00e4chen und -Volumenk\u00f6rpern darstellen k\u00f6nnen. Aufgrund ihrer Flexibilit\u00e4t und Genauigkeit k\u00f6nnen NURBS-Modelle in allen Prozessen von Illustration und Animation bis hin zur Fertigung verwendet werden.<\/div>\r\nIn den\u00a01950er Jahren<\/a> wurden besonders im Automobil-<\/a>\u00a0und\u00a0Schiffbau<\/a>\u00a0f\u00fcr die fehlerfreie Reproduzierbarkeit technischer Bauteile mathematisch exakte Beschreibungen von\u00a0Freiformfl\u00e4chen<\/a>\u00a0ben\u00f6tigt. Vor dieser Zeit wurden derartige Oberfl\u00e4chen durch einzelne von einem\u00a0Konstrukteur<\/a>\u00a0hergestellte\u00a0physikalische<\/a>\u00a0Modelle<\/a> beschrieben. So begann unter anderem der\u00a0Ingenieur<\/a>\u00a0Pierre \u00c9tienne B\u00e9zier<\/a>, zu dieser Zeit bei\u00a0Renault<\/a>\u00a0in\u00a0Frankreich<\/a>, mit der Entwicklung der nach ihm benannten\u00a0B\u00e9zierkurve<\/a>. Unabh\u00e4ngig von B\u00e9zier arbeitete\u00a0Paul de Casteljau<\/a>, angestellt bei\u00a0Citro\u00ebn<\/a>, zur gleichen Zeit auch an diesem mathematischen Problem. Weil B\u00e9zier die Ergebnisse seiner Arbeit ver\u00f6ffentlichte, werden heutzutage in der graphischen Datenverarbeitung\u00a0Splines<\/a>, deren Kontrollpunkte nicht auf der\u00a0Kurve<\/a>\u00a0selbst liegen, als \u201eB\u00e9zier-Spline\u201c bezeichnet, w\u00e4hrend der Name von de Casteljau in dem nach ihm benannten\u00a0Algorithmus<\/a>\u00a0fortlebt, der f\u00fcr die\u00a0numerische<\/a>\u00a0Verarbeitung\u00a0parametrischer Fl\u00e4chen<\/a>\u00a0eingesetzt wird. In den 1960er Jahren wurde klar, dass\u00a0non-uniform rational B-Splines<\/b><\/span>\u00a0(NURBS<\/i>) eine Generalisierung von B\u00e9zier-Splines sind.\r\n\r\nNURBS-Kurven und -Fl\u00e4chen verhalten sich \u00e4hnlich und haben eine gemeinsame Terminologie. Da Kurven am einfachsten zu beschreiben sind, werden wir sie genauer betrachten. Eine NURBS-Kurve wird durch vier Dinge definiert: Grad, Kontrollpunkte, Knoten und Bewertungsregel.\r\n

Kurven<\/h1>\r\nNURBS-Kurven und -Fla\u0308chen sind die vorrangigen mathematischen Darstellungen, die Nurbsbasierte CAD Software wie Rhino zur Geometriedarstellung verwendet.\u00a0NURBS ist eine genaue mathematische Darstellung von Kurven, deren Bearbeitung sehr intuitiv geschieht. Freiformkurven ko\u0308nnen leicht unter Verwendung von NURBS dargestellt werden, und dank der Kontrollstruktur ist eine leichte und vorhersagbare Bearbeitung mo\u0308glich.\r\n

Kurvenparameter<\/h2>\r\nEin Parameter auf einer Kurve repra\u0308sentiert die Adresse eines Punkts auf dieser Kurve. Man kann sich die parametrische Kurve als einen innerhalb einer bestimmten Zeit zuru\u0308ckgelegten Weg zwischen zwei Punkten vorstellen, dies mit einer festgelegten oder variablen Geschwindigkeit. Wenn fu\u0308r die Wegstrecke der Zeitraum T beno\u0308tigt wird, dann repra\u0308sentiert der Parameter t eine Zeit innerhalb von T, welche als ein Standort (Punkt) auf der Kurve erscheint.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_828\" align=\"aligncenter\" width=\"273\"]\"\" Zeit ist der Parameter zur Bestimmung der Wegstrecke einer parametrischen Kurve . Der von Beginn bis Ende ben\u00f6tigte Zeitraum wird Kurvendom\u00e4ne oder Intervall genannt.[\/caption]\r\n

Kurvendoma\u0308ne oder Intervall<\/h2>\r\nEine Kurvendoma\u0308ne oder Intervall wird definiert als der Bereich von Parametern, die zu einem Punkt innerhalb dieser Kurve ausgewertet werden. Die Doma\u0308ne wird gewo\u0308hnlich mit zwei reellen Zahlen beschrieben, welche die in der Form\r\n(min bis max) oder (min, max) ausgedru\u0308ckten Doma\u0308nenbeschra\u0308nkungen definieren. Die Doma\u0308nenbeschra\u0308nkungen ko\u0308nnen zwei beliebige Werte sein, die auf die tatsa\u0308chliche La\u0308nge der Kurve bezogen sein ko\u0308nnen oder auch nicht. In einer ansteigenden Doma\u0308ne wird der Parameter der min-Doma\u0308ne zum Startpunkt der Kurve ausgewertet, und max-Doma\u0308ne zum Endpunkt der Kurve.\r\n

Kurvenauswertung<\/h2>\r\nWir haben gelernt, dass es sich bei einem Kurvenintervall um den Bereich aller Parameterwerte handelt, die zu Punkten innerhalb der 3D-Kurve ausgewertet werden. Es besteht jedoch keinerlei Garantie, dass beispielsweise die Auswertung auf der Mitte der Doma\u0308ne einen Punkt in der Mitte der Kurve ergibt.\r\nDie gleichfo\u0308rmige Parametrisierung einer Kurve ko\u0308nnen wir uns vorstellen, als wu\u0308rden wir eine Wegstrecke mit konstanter Geschwindigkeit zuru\u0308cklegen. Eine Linie von Grad 1 zwischen zwei Punkten wa\u0308re ein Beispiel, bei dem gleiche Intervalle von Parametern gleiche Intervalle einer Bogenla\u0308nge auf der Linie ergeben. In parametrischen Kurven werden gleiche Intervalle von Parametern nur selten zu gleichen Intervallen auf der 3D-Kurve ausgewertet.\r\n\r\n[caption id=\"attachment_536\" align=\"aligncenter\" width=\"400\"]\"\" Parameterspace (Dom\u00e4ne) von 0-10 einer Kurve. Gleiche Parameterintervalle ergeben typischerweise keine gleich langen Abst\u00e4nde auf einer parametrischen Kurven, etwa NURBS-Kurven.[\/caption]\r\n

Kurvengrad<\/h2>\r\nDer Kurvengrad ist eine ganze positive Zahl. Rhino ermo\u0308glicht das Arbeiten mit jeglicher Gradkurve, beginnend bei 1. Die Grade 1, 2, 3 und 5 sind die nu\u0308tzlichsten, Grad 4 und alle u\u0308ber Grad 5 hingegen finden in der wirklichen Welt wenig Anwendung. Manchmal werden die Begriffe linear (Grad 1), quadratisch (Grad 2), und kubisch verwendet (Grad 3).\u00a0Es folgen einige Beispiele fu\u0308r Kurven und ihren Grad:\r\n