{"id":91,"date":"2021-12-15T09:53:25","date_gmt":"2021-12-15T09:53:25","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/weitere-lernmaterialien-8\/"},"modified":"2021-12-15T09:53:25","modified_gmt":"2021-12-15T09:53:25","slug":"weitere-lernmaterialien-8","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/weitere-lernmaterialien-8\/","title":{"raw":"Weitere Lernmaterialien","rendered":"Weitere Lernmaterialien"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; 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font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; 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doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zb22152b5417f\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.6 <\/span> <a id=\"x1-2550006\"><\/a>Weitere Lernmaterialien<\/h3> <a id=\"x1-255001r254\"><\/a> <h4 id=\"zca4e9fa2ca86\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.6.1 <\/span> <a id=\"x1-2560001\"><\/a>Verwendung des Kapitels<\/h4> <p class=\"noindent\">Der Begriff der Ableitung und die Ableitungsregel sind fundamentales Grundwissen f\u00fcr alle weitere Untersuchungen in der Analysis I\/II-Vorlesung und vielen Anwendungen in Physik und anderen Wissenschaften. Die Berechnung der Ableitung einer vorgegebenen Funktion ist meist ziemlich einfach, da die wenigen Regeln f\u00fcr alle \u00fcblichen algebraischen Verkn\u00fcpfungen von bekannten Funktionen anwendbar sind. Bloss wenn eine Funktion durch eine Fallunterscheidung definiert wird, m\u00fcssen wir mitunter auf die urspr\u00fcngliche Definition zur\u00fcckgreifen und k\u00f6nnen damit vielleicht die Ableitung bei den Problempunkten berechnen. Wir empfehlen Ihnen dies zu \u00fcben bis Sie Ableitungen mit 100%-iger Sicherheit berechnen k\u00f6nnen. <\/p><p class=\"indent\">Wie wir gesehen haben, ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung <span class=\"ecti-1095\">das Hilfsmittel <\/span>f\u00fcr den Zusammenhang zwischen der Ableitung und dem Verhalten der urspr\u00fcnglichen Funktion auf einem Intervall. F\u00fcr den Beweis des Mittelwertsatzes ben\u00f6tigten wir (\u00fcber den Umweg des Satzes von Rolle) den Satz \u00fcber die Existenz des Maximums auf einem kompakten Intervall, wo wiederum das Supremum und damit die Vollst\u00e4ndigkeit der reellen Zahlen notwendig waren. Insbesondere bildet der Mittelwertsatz die Grundlage von allen Kurvendiskussionen, welche Monotonieeigenschaften aber auch Kr\u00fcmmungseigenschaften in der Form von Konvexit\u00e4t und Konkavit\u00e4t einer vorgegebenen Funktion beschreiben. Obwohl viele Ableitungsregeln und auch viele weitere Eigenschaften, die eine Funktion mit ihrer Ableitung verkn\u00fcpft, auch f\u00fcr komplex-wertige Funktionen gelten, gilt der Mittelwertsatz nicht f\u00fcr komplex-wertige Funktionen. <\/p><p class=\"indent\">Die Kurvenbesprechung verwendeten wir zum Beispiel f\u00fcr den Sinus, den Kosinus und den Tangens, was zu der Definition der inversen Funktionen Arkussinus, Arkusconsinus und Arkustangens f\u00fchrte. Wir werden diese Funktionen, deren Eigenschaften, Definitionsbereiche und Ableitungen ab nun auch ohne Verweise auf Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-2380003\">8.3<\/a> verwenden. Wir haben damit die \u00fcblichen Funktionen eingef\u00fchrt und kennen auch die Ableitungen von all diesen Funktionen.<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Wir meinen mit \u201e \u00fcblichen Funktionen\u201c solche, die sowohl auf den meisten Taschenrechnern vorhanden sind und auch im Gymnasium unterrichtet werden. Abgesehen davon unterscheiden sich diese Funktionen aber kaum von anderen Funktionen, die wir zum Teil noch kennenlernen werden und sich vielleicht nicht durch die \u00fcblichen Funktionen ausdr\u00fccken lassen.<\/span><\/span> Wir werden aber auch noch weiteren Ihnen wahrscheinlich unbekannten, aber in gewissen Anwendungen wichtigen Funktionen begegnen. <\/p><p class=\"indent\">Des Weiteren haben wir mit der Regel von de l\u2019H\u00f4pital <span class=\"ecti-1095\">das Hilfsmittel <\/span>f\u00fcr die Berechnung von Grenzwerten gefunden. Dies ist hilfreich, da die Berechnung von Ableitungen im Vergleich sehr einfach ist. In gewissen F\u00e4llen wie zum Beispiel <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2198<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/munder><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erfordert die Anwendung der Regel von de l\u2019H\u00f4pital ein wenig Geschick, da man zuerst den Ausdruck                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo>  <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> als einen Bruch darstellen muss. Doch auch dies ist mit ein wenig \u00dcbung nicht schwierig, da man hier einfach der \u201eschwierigeren Funktion <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> den Vortritt gibt\u201c um stattdessen <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <\/math> zu betrachten und dies nach einmaliger Anwendung der Regel von de l\u2019H\u00f4pital zum Erfolg f\u00fchrt. Dies ist auch hilfreich zur Berechnung von Grenzwerten von Folgen, falls diese durch eine konkrete Formel <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> definiert ist und f\u00fcr diese Formel der Grenzwert <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> berechnet werden kann. <\/p><p class=\"indent\">Wir haben auch den Begriff der Differentialgleichung eingef\u00fchrt und einige erste Anfangswertprobleme l\u00f6sen k\u00f6nnen. Diese Begriffe sind ebenso von fundamentaler Bedeutung f\u00fcr die Physik und viele weitere Wissenschaften. Denn immer wenn eine Gr\u00f6sse <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> von einem Zeitparamter <math display=\"inline\"><mi>t<\/mi><\/math> abh\u00e4ngt und gewisse Gesetzm\u00e4ssigkeiten f\u00fcr das \u00c4nderungsverhalten <math display=\"inline\"><mi>\u1e8f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> in Abh\u00e4ngigkeit von <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und dem Zeitparameter <math display=\"inline\"><mi>t<\/mi><\/math> bekannt sind, ergibt sich daraus eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung. Wir werden im zweiten Semester nochmals zu diesem Thema zur\u00fcckkehren, die Frage der eindeutigen L\u00f6sbarkeit von Anfangswertproblemen aufwerfen und in grosser Allgemeinheit positiv beantworten k\u00f6nnen. <a id=\"x1-256001r256\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z0ce860ae92f3\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.6.2 <\/span> <a id=\"x1-2570002\"><\/a>\u00dcbungen<\/h4> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z84f4f9c5f4be\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie eine differenzierbare Funktion auf einem offenen Intervall <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass ein Punkt <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert, aber <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">kein lokales Extremum annimmt.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6830fabfbe6e\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Vielfachheit von Nullstellen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Polynom<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir erinnern<\/span> <span class=\"ecti-1095\">daran, dass eine <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-fache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Nullstelle von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist mit der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Eigenschaft, dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">teilt, aber <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht teilt. Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r einen Punkt<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent sind:<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist eine <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-fache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Nullstelle von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Daraus folgt beispielsweise, dass eine <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-fache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Nullstelle von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">-fache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Nullstelle von <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist (wieso?). Die zweite Eigenschaft (ii) l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich direkt auf beliebige, glatte Funktionen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erweitern. Mit etwas mehr stimmt dies auch f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i) und man erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt wiederum eine <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalente<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Charakterisierung.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Allerdings muss nicht jede Nullstelle einer von Null verschiedenen, glatten Funktion<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine endliche<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Vielfachheit besitzen. Finden Sie ein nicht-triviales Beispiel einer solchen Funktion. Das heisst, finden Sie eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">glatte Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einer Nullstelle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">aber <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>U<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Umgebungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>U<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3ccca9f12eac\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Satz von Darboux)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein kompaktes Intervall mit Endpunkten <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine differenzierbare Funktion. Dann nimmt <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwischen<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>b<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">alle Werte zwischen <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">an.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Gehen Sie wie folgt vor, um einen Beweis zu erhalten.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>c<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwischen <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Betrachten Sie die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>c<\/mi><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">um zu argumentieren, dass man ohne Beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkung der Allgemeinheit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sowie <\/span><math display=\"inline\"><mi>c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">annehmen kann.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie nun den Extremwertsatz (Korollar <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/stetige-funktionen-auf-kompakten-intervallen#x1-101001r71\"><span class=\"ecti-1095\">3.71<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) und Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-229002r17\"><span class=\"ecti-1095\">8.17<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">um zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zeigen, dass ein Punkt <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z42e20fbdc78f\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Funktion<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mn>0<\/mn> <\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">glatt ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zb77416e3032d\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion auf einer Teilmenge <\/span><math display=\"inline\"><mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>D<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt. Wir erinnern daran, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar ist, falls der Grenzwert <\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>a<\/mi><\/mrow><\/munder><mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert. Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar ist, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">Re<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> Im<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar sind.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z0bc5f4db3d5b\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Challenge)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In dieser <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten wir eine differenzierbare Funktion<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konstruieren, deren Ableitung an allen (und insbesondere <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berabz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar vielen) Punkten in der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Cantor-Menge nicht stetig ist. Als Ausgangspunkt betrachten wir dazu die Funktion<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u03c6<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mn>0<\/mn> <\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03c6<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar ist, aber dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u03c6<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stetig ist.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Cantor-Menge.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wir verwenden die Notation <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">aus Abschnitt<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/ziffernentwicklungen-und-fraktale-konstruktionen*#x1-2200002\"><span class=\"ecti-1095\">7.8.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und definieren damit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/msup><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>\u03c6<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen Sie,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist und dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei<\/span> <span class=\"ecti-1095\">keinem Punkt in <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">stetig ist. <\/span><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Es lohnt sich jeweils, zu unterscheiden, ob<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein rechter (resp.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">linker) Endpunkt in <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist oder nicht (vergleiche Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/ziffernentwicklungen-und-fraktale-konstruktionen*#x1-2180008\"><span class=\"ecti-1095\">7.8<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">).<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">In der folgenden \u00dcbung m\u00f6chten wir eine zahlentheoretische Anwendung des Mittelwertsatzes pr\u00e4sentieren. Wir erinnnern uns daran, dass in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-810002\">3.2<\/a> der Begriff der algebraischen und transzendenten Zahlen eingef\u00fchrt wurde. Dabei heisst eine komplexe Zahl algebraisch, wenn sie die Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, und transzendent sonst. Wir m\u00f6chten in folgender \u00dcbung zeigen, dass die Zahl <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">oder Zahlen mit \u00e4hnlichen Eigenschaften transzendent sind. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z1de45de65449\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Eine irrationale reelle Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine Liouville-Zahl, falls f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine rationale Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert mit<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">In einem gewissen Sinne ist eine Liouville-Zahl also eine irrationale Zahl, die sich sehr gut durch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">rationale Zahlen approximieren l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Liouville-Zahl ist. Verwenden Sie die Ziffernentwicklung zur Basis <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/ziffernentwicklungen-und-fraktale-konstruktionen*#x1-218003r91\"><span class=\"ecti-1095\">7.91<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wollen nun zeigen, dass jede Liouville-Zahl (und damit auch<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">transzendent ist. Dazu behaupten wir, dass es f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jede algebraische Zahl<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Konstante <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt, so dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-257006r19\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.19)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b2<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und Grad<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sei weiters <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">keine Nullstelle von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Argumentieren Sie mit dem Mittelwertsatz, dass <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03be<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03be<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwischen <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Schliessen Sie, dass es ein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt mit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und folgern Sie<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-257006r19\">8.19<\/a>)<span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass jede Liouville-Zahl transzendent ist.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z92fea927cf88\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Konvexit\u00e4t und Mittelpunktseigenschaft)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Intervall und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine stetige Funktion.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvex ist, wenn f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Ungleichung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>y<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gilt. Begr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">nden Sie auch intuitiv, wieso letztere Ungleichung implizit in<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-235002r6\">8.6<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">enthalten ist und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">somit (zumindest auf den ersten Blick) die schw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chere Annahme ist. Sie k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen dazu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit einem Bild arbeiten. Zeigen Sie unter Verwendung obiger Charakterisierung, dass<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvexe Funktion ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z92b0d6611b9a\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In dieser <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten wir zeigen, dass konvexe Funktionen fast <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berall differenzierbar sind. Sei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein nicht-leeres<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Intervall und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvex.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die links- und rechtsseitigen Ableitungen <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msubsup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei jedem <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ausser vielleicht bei den Endpunkten von <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existieren.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glicherweise abgesehen von den Endpunkten von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stetig ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass es eine h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chstens abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbare Ausnahmemenge <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt, so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei jedem <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar ist.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis: F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i) k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-235005r39\"><span class=\"ecti-1095\">8.39<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">verwenden, um eine Monotonie der Differenzenquotienten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu zeigen. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (ii) k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie folgendes Bild als Hinweis verwenden.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=323&amp;url=Pictures\/ableitung\/hintalmostdiffconvex.pdf\"><img id=\"z9290bcf53cf9\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/hintalmostdiffconvex.svg\" width=\"323\"><\/div>  <\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (iii) verwenden Sie <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-105014r81\"><span class=\"ecti-1095\">3.81<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msubsup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"za5c6324dc755\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Newton-Verfahren f\u00fcr konvexe Funktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei reelle Zahlen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine differenzierbare,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvexe Funktion mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine eindeutig bestimmte Nullstelle <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besitzt.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten nun das Newton-Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen. Sei<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dabei ist<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Nullstelle der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Tangente an <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">jedes <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">;<\/span> <span class=\"ecti-1095\">siehe dazu folgendes Bild.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=620&amp;url=Pictures\/ableitung\/newtonverfahren.pdf\"><img id=\"zc209603241e2\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/newtonverfahren.svg\" width=\"620\"><\/div>  <\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Nun wollen wir zeigen, dass die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegen <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Grenzwert <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">hat, falls sie konvergiert.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">monoton wachsend ist und dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und somit auch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt ist. Schliessen Sie damit auf die Konvergenz des Newton-Verfahrens mit Startpunkt<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir werden sp<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ter mit Hilfe zus<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzlicher Werkzeuge das Newton-Verfahren in einem allgemeineren<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Kontext besprechen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen \u2013 siehe Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/taylor-approximation#x1-278001r53\"><span class=\"ecti-1095\">9.53<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-235005r39\"><span class=\"ecti-1095\">8.39<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i) und (iii).<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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}\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zb22152b5417f\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.6 <\/span> <a id=\"x1-2550006\"><\/a>Weitere Lernmaterialien<\/h3> <a id=\"x1-255001r254\"><\/a> <h4 id=\"zca4e9fa2ca86\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.6.1 <\/span> <a id=\"x1-2560001\"><\/a>Verwendung des Kapitels<\/h4> <p class=\"noindent\">Der Begriff der Ableitung und die Ableitungsregel sind fundamentales Grundwissen f\u00fcr alle weitere Untersuchungen in der Analysis I\/II-Vorlesung und vielen Anwendungen in Physik und anderen Wissenschaften. Die Berechnung der Ableitung einer vorgegebenen Funktion ist meist ziemlich einfach, da die wenigen Regeln f\u00fcr alle \u00fcblichen algebraischen Verkn\u00fcpfungen von bekannten Funktionen anwendbar sind. Bloss wenn eine Funktion durch eine Fallunterscheidung definiert wird, m\u00fcssen wir mitunter auf die urspr\u00fcngliche Definition zur\u00fcckgreifen und k\u00f6nnen damit vielleicht die Ableitung bei den Problempunkten berechnen. Wir empfehlen Ihnen dies zu \u00fcben bis Sie Ableitungen mit 100%-iger Sicherheit berechnen k\u00f6nnen. <\/p><p class=\"indent\">Wie wir gesehen haben, ist der Mittelwertsatz der Differentialrechnung <span class=\"ecti-1095\">das Hilfsmittel <\/span>f\u00fcr den Zusammenhang zwischen der Ableitung und dem Verhalten der urspr\u00fcnglichen Funktion auf einem Intervall. F\u00fcr den Beweis des Mittelwertsatzes ben\u00f6tigten wir (\u00fcber den Umweg des Satzes von Rolle) den Satz \u00fcber die Existenz des Maximums auf einem kompakten Intervall, wo wiederum das Supremum und damit die Vollst\u00e4ndigkeit der reellen Zahlen notwendig waren. Insbesondere bildet der Mittelwertsatz die Grundlage von allen Kurvendiskussionen, welche Monotonieeigenschaften aber auch Kr\u00fcmmungseigenschaften in der Form von Konvexit\u00e4t und Konkavit\u00e4t einer vorgegebenen Funktion beschreiben. Obwohl viele Ableitungsregeln und auch viele weitere Eigenschaften, die eine Funktion mit ihrer Ableitung verkn\u00fcpft, auch f\u00fcr komplex-wertige Funktionen gelten, gilt der Mittelwertsatz nicht f\u00fcr komplex-wertige Funktionen. <\/p><p class=\"indent\">Die Kurvenbesprechung verwendeten wir zum Beispiel f\u00fcr den Sinus, den Kosinus und den Tangens, was zu der Definition der inversen Funktionen Arkussinus, Arkusconsinus und Arkustangens f\u00fchrte. Wir werden diese Funktionen, deren Eigenschaften, Definitionsbereiche und Ableitungen ab nun auch ohne Verweise auf Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-2380003\">8.3<\/a> verwenden. Wir haben damit die \u00fcblichen Funktionen eingef\u00fchrt und kennen auch die Ableitungen von all diesen Funktionen.<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Wir meinen mit \u201e \u00fcblichen Funktionen\u201c solche, die sowohl auf den meisten Taschenrechnern vorhanden sind und auch im Gymnasium unterrichtet werden. Abgesehen davon unterscheiden sich diese Funktionen aber kaum von anderen Funktionen, die wir zum Teil noch kennenlernen werden und sich vielleicht nicht durch die \u00fcblichen Funktionen ausdr\u00fccken lassen.<\/span><\/span> Wir werden aber auch noch weiteren Ihnen wahrscheinlich unbekannten, aber in gewissen Anwendungen wichtigen Funktionen begegnen. <\/p><p class=\"indent\">Des Weiteren haben wir mit der Regel von de l\u2019H\u00f4pital <span class=\"ecti-1095\">das Hilfsmittel <\/span>f\u00fcr die Berechnung von Grenzwerten gefunden. Dies ist hilfreich, da die Berechnung von Ableitungen im Vergleich sehr einfach ist. In gewissen F\u00e4llen wie zum Beispiel <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2198<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/munder><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erfordert die Anwendung der Regel von de l\u2019H\u00f4pital ein wenig Geschick, da man zuerst den Ausdruck                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo>  <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> als einen Bruch darstellen muss. Doch auch dies ist mit ein wenig \u00dcbung nicht schwierig, da man hier einfach der \u201eschwierigeren Funktion <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> den Vortritt gibt\u201c um stattdessen <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <\/math> zu betrachten und dies nach einmaliger Anwendung der Regel von de l\u2019H\u00f4pital zum Erfolg f\u00fchrt. Dies ist auch hilfreich zur Berechnung von Grenzwerten von Folgen, falls diese durch eine konkrete Formel <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> definiert ist und f\u00fcr diese Formel der Grenzwert <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> berechnet werden kann. <\/p><p class=\"indent\">Wir haben auch den Begriff der Differentialgleichung eingef\u00fchrt und einige erste Anfangswertprobleme l\u00f6sen k\u00f6nnen. Diese Begriffe sind ebenso von fundamentaler Bedeutung f\u00fcr die Physik und viele weitere Wissenschaften. Denn immer wenn eine Gr\u00f6sse <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> von einem Zeitparamter <math display=\"inline\"><mi>t<\/mi><\/math> abh\u00e4ngt und gewisse Gesetzm\u00e4ssigkeiten f\u00fcr das \u00c4nderungsverhalten <math display=\"inline\"><mi>\u1e8f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> in Abh\u00e4ngigkeit von <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und dem Zeitparameter <math display=\"inline\"><mi>t<\/mi><\/math> bekannt sind, ergibt sich daraus eine gew\u00f6hnliche Differentialgleichung. Wir werden im zweiten Semester nochmals zu diesem Thema zur\u00fcckkehren, die Frage der eindeutigen L\u00f6sbarkeit von Anfangswertproblemen aufwerfen und in grosser Allgemeinheit positiv beantworten k\u00f6nnen. <a id=\"x1-256001r256\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z0ce860ae92f3\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.6.2 <\/span> <a id=\"x1-2570002\"><\/a>\u00dcbungen<\/h4> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z84f4f9c5f4be\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie eine differenzierbare Funktion auf einem offenen Intervall <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass ein Punkt <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert, aber <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">kein lokales Extremum annimmt.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6830fabfbe6e\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Vielfachheit von Nullstellen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Polynom<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir erinnern<\/span> <span class=\"ecti-1095\">daran, dass eine <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-fache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Nullstelle von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist mit der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Eigenschaft, dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">teilt, aber <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht teilt. Zeigen Sie, dass folgende Eigenschaften f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r einen Punkt<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent sind:<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist eine <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-fache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Nullstelle von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Daraus folgt beispielsweise, dass eine <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-fache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Nullstelle von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">-fache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Nullstelle von <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist (wieso?). Die zweite Eigenschaft (ii) l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich direkt auf beliebige, glatte Funktionen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erweitern. Mit etwas mehr stimmt dies auch f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i) und man erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt wiederum eine <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalente<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Charakterisierung.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Allerdings muss nicht jede Nullstelle einer von Null verschiedenen, glatten Funktion<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine endliche<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Vielfachheit besitzen. Finden Sie ein nicht-triviales Beispiel einer solchen Funktion. Das heisst, finden Sie eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">glatte Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einer Nullstelle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">aber <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>U<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Umgebungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>U<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3ccca9f12eac\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Satz von Darboux)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein kompaktes Intervall mit Endpunkten <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine differenzierbare Funktion. Dann nimmt <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwischen<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>b<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">alle Werte zwischen <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">an.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Gehen Sie wie folgt vor, um einen Beweis zu erhalten.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>c<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwischen <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Betrachten Sie die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>c<\/mi><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">um zu argumentieren, dass man ohne Beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkung der Allgemeinheit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sowie <\/span><math display=\"inline\"><mi>c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">annehmen kann.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie nun den Extremwertsatz (Korollar <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/stetige-funktionen-auf-kompakten-intervallen#x1-101001r71\"><span class=\"ecti-1095\">3.71<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) und Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-229002r17\"><span class=\"ecti-1095\">8.17<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">um zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zeigen, dass ein Punkt <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z42e20fbdc78f\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Funktion<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mn>0<\/mn> <\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">glatt ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zb77416e3032d\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion auf einer Teilmenge <\/span><math display=\"inline\"><mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>D<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt. Wir erinnern daran, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar ist, falls der Grenzwert <\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>a<\/mi><\/mrow><\/munder><mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>a<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert. Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar ist, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">Re<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> Im<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar sind.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z0bc5f4db3d5b\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Challenge)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In dieser <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten wir eine differenzierbare Funktion<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konstruieren, deren Ableitung an allen (und insbesondere <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berabz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar vielen) Punkten in der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Cantor-Menge nicht stetig ist. Als Ausgangspunkt betrachten wir dazu die Funktion<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u03c6<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mn>0<\/mn> <\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03c6<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar ist, aber dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u03c6<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stetig ist.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Cantor-Menge.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wir verwenden die Notation <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">aus Abschnitt<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/ziffernentwicklungen-und-fraktale-konstruktionen*#x1-2200002\"><span class=\"ecti-1095\">7.8.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und definieren damit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/msup><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>\u03c6<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen Sie,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist und dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei<\/span> <span class=\"ecti-1095\">keinem Punkt in <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">stetig ist. <\/span><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Es lohnt sich jeweils, zu unterscheiden, ob<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein rechter (resp.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">linker) Endpunkt in <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist oder nicht (vergleiche Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/ziffernentwicklungen-und-fraktale-konstruktionen*#x1-2180008\"><span class=\"ecti-1095\">7.8<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">).<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">In der folgenden \u00dcbung m\u00f6chten wir eine zahlentheoretische Anwendung des Mittelwertsatzes pr\u00e4sentieren. Wir erinnnern uns daran, dass in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-810002\">3.2<\/a> der Begriff der algebraischen und transzendenten Zahlen eingef\u00fchrt wurde. Dabei heisst eine komplexe Zahl algebraisch, wenn sie die Nullstelle eines von Null verschiedenen Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, und transzendent sonst. Wir m\u00f6chten in folgender \u00dcbung zeigen, dass die Zahl <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">oder Zahlen mit \u00e4hnlichen Eigenschaften transzendent sind. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z1de45de65449\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Eine irrationale reelle Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine Liouville-Zahl, falls f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine rationale Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert mit<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">In einem gewissen Sinne ist eine Liouville-Zahl also eine irrationale Zahl, die sich sehr gut durch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">rationale Zahlen approximieren l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Liouville-Zahl ist. Verwenden Sie die Ziffernentwicklung zur Basis <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/ziffernentwicklungen-und-fraktale-konstruktionen*#x1-218003r91\"><span class=\"ecti-1095\">7.91<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wollen nun zeigen, dass jede Liouville-Zahl (und damit auch<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">transzendent ist. Dazu behaupten wir, dass es f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jede algebraische Zahl<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Konstante <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt, so dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-257006r19\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.19)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b2<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und Grad<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sei weiters <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">keine Nullstelle von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Argumentieren Sie mit dem Mittelwertsatz, dass <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03be<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03be<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwischen <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Schliessen Sie, dass es ein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt mit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und folgern Sie<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-257006r19\">8.19<\/a>)<span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass jede Liouville-Zahl transzendent ist.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z92fea927cf88\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Konvexit\u00e4t und Mittelpunktseigenschaft)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Intervall und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine stetige Funktion.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvex ist, wenn f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Ungleichung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>y<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gilt. Begr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">nden Sie auch intuitiv, wieso letztere Ungleichung implizit in<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-235002r6\">8.6<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">enthalten ist und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">somit (zumindest auf den ersten Blick) die schw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chere Annahme ist. Sie k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen dazu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit einem Bild arbeiten. Zeigen Sie unter Verwendung obiger Charakterisierung, dass<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvexe Funktion ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z92b0d6611b9a\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In dieser <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten wir zeigen, dass konvexe Funktionen fast <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berall differenzierbar sind. Sei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein nicht-leeres<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Intervall und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvex.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die links- und rechtsseitigen Ableitungen <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msubsup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei jedem <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ausser vielleicht bei den Endpunkten von <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existieren.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glicherweise abgesehen von den Endpunkten von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stetig ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass es eine h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chstens abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbare Ausnahmemenge <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt, so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei jedem <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">differenzierbar ist.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis: F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i) k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-235005r39\"><span class=\"ecti-1095\">8.39<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">verwenden, um eine Monotonie der Differenzenquotienten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu zeigen. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (ii) k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie folgendes Bild als Hinweis verwenden.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=323&amp;url=Pictures\/ableitung\/hintalmostdiffconvex.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z9290bcf53cf9\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/hintalmostdiffconvex.svg\" width=\"323\" \/><\/div>  <\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (iii) verwenden Sie <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-105014r81\"><span class=\"ecti-1095\">3.81<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msubsup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"za5c6324dc755\"> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung <\/span>(Newton-Verfahren f\u00fcr konvexe Funktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei reelle Zahlen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine differenzierbare,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvexe Funktion mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine eindeutig bestimmte Nullstelle <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besitzt.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten nun das Newton-Verfahren zur numerischen Bestimmung von Nullstellen. Sei<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dabei ist<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Nullstelle der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Tangente an <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">jedes <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">;<\/span> <span class=\"ecti-1095\">siehe dazu folgendes Bild.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=620&amp;url=Pictures\/ableitung\/newtonverfahren.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"zc209603241e2\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/newtonverfahren.svg\" width=\"620\" \/><\/div>  <\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Nun wollen wir zeigen, dass die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegen <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Grenzwert <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">hat, falls sie konvergiert.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">monoton wachsend ist und dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und somit auch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt ist. Schliessen Sie damit auf die Konvergenz des Newton-Verfahrens mit Startpunkt<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir werden sp<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ter mit Hilfe zus<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzlicher Werkzeuge das Newton-Verfahren in einem allgemeineren<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Kontext besprechen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen \u2013 siehe Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/taylor-approximation#x1-278001r53\"><span class=\"ecti-1095\">9.53<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-235005r39\"><span class=\"ecti-1095\">8.39<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i) und (iii).<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> \n","protected":false},"author":1089,"menu_order":6,"template":"","meta":{"pb_show_title":"","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-91","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":85,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/91","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/91\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/85"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/91\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=91"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=91"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=91"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=91"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}