{"id":90,"date":"2021-12-15T09:53:25","date_gmt":"2021-12-15T09:53:25","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/erste-differentialgleichungen\/"},"modified":"2021-12-15T09:53:25","modified_gmt":"2021-12-15T09:53:25","slug":"erste-differentialgleichungen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/erste-differentialgleichungen\/","title":{"raw":"Erste Differentialgleichungen","rendered":"Erste Differentialgleichungen"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; border-left: 0; border-right: 0; }\ncenter { margin-top:1em; margin-bottom:1em; }\ntd center { margin-top:0em; margin-bottom:0em; }\n.Canvas { position:relative; }\nmath { text-indent: 0em; }\nli p.indent { text-indent: 0em }\nli p:first-child{ margin-top:0em; }\nli p:last-child, li div:last-child { margin-bottom:0.5em; }\nli p~ul:last-child, li p~ol:last-child{ margin-bottom:0.5em; }\n.enumerate1 {list-style-type:decimal;}\n.enumerate2 {list-style-type:lower-alpha;}\n.enumerate3 {list-style-type:lower-roman;}\n.enumerate4 {list-style-type:upper-alpha;}\n.obeylines-h,.obeylines-v {white-space: nowrap; }\ndiv.obeylines-v p { margin-top:0; margin-bottom:0; }\n.overline{ text-decoration:overline; }\n.overline img{ border-top: 1px solid black; }\ntd.displaylines {text-align:center; white-space:nowrap;}\n.centerline {text-align:center;}\n.rightline {text-align:right;}\npre.verbatim {font-family: monospace,monospace; text-align:left; clear:both; }\n.fbox {padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style>\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zd822e87d40d2\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5 <\/span> <a id=\"x1-2500005\"><\/a>Erste Differentialgleichungen<\/h3> <p class=\"noindent\">Eine <span class=\"ecbx-1095\">Differentialgleichung <\/span>ist eine Gleichung der Form <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die eine reellwertige Funktion <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ihre Ableitung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo> <mi>y<\/mi><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> und die unabh\u00e4ngige Variable <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> mittels einer reellwertigen Abbildung <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> auf einer offenen Teilmenge von <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> verkn\u00fcpft. Gesucht sind die Funktionen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die die Gleichung <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> erf\u00fcllen, wobei der Definitionsbereich <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> der gesuchten Funktion&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> ein Intervall&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> sein soll. <\/p><p class=\"indent\">Da es normalerweise mehrere L\u00f6sungen gibt, verlangt man \u00fcblicherweise noch etwas mehr Information, n\u00e4mlich den Wert der Funktion <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> bei einem fest gew\u00e4hlten Ausgangspunkt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Eine Differentialgleichung <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> gemeinsam mit der Bedingung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> wird ein <span class=\"ecbx-1095\">Anfangswertproblem <\/span>genannt. <\/p><p class=\"indent\">Um genau zu sein, nennt man eine Differentialgleichung <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> eine <span class=\"ecbx-1095\">gew<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">hnliche Differentialgleichung erster Ordnung<\/span>. Hier steht \u201egew\u00f6hnlich\u201c daf\u00fcr, dass wir nur eine unabh\u00e4ngige Variable verwenden. \u201eErster Ordnung\u201c steht daf\u00fcr, dass nur die erste (und keine h\u00f6heren Ableitungen) der gesuchten L\u00f6sung in der durch <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> gegebenen Gleichung erscheint. Wir werden h\u00e4ufig Differentialgleichungen der <span class=\"ecbx-1095\">expliziten Form<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> betrachten, wobei dann <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> eine reellwertige Funktion darstellt, die auf einer offenen Teilmenge von <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> definiert sein soll. <\/p><p class=\"indent\">Ein Beispiel einer solchen gew\u00f6hnlichen Differentialgleichung erster Ordnung ist die Gleichung <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>x<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Durch Anstarren der Gleichung l\u00e4sst sich eine L\u00f6sung dieser Differentialgleichung erraten, n\u00e4mlich <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir stellen aber fest, dass es ausgehend von dieser L\u00f6sung nicht klar ist, ob es andere L\u00f6sungen gibt                                                                                                                                                                           und wie solche aussehen k\u00f6nnten. Auch unklar ist, wie viele L\u00f6sungen vor und nach Angabe eines Anfangswert existieren (und ob \u00fcberhaupt welche existieren). Wir begn\u00fcgen uns in diesem Abschnitt mit der Betrachtung von einigen Spezialf\u00e4llen und werden gegen Ende des zweiten Semesters nochmals ausf\u00fchrlicher auf das Thema der Differentialgleichungen eingehen. <\/p><p class=\"indent\">Wir m\u00f6chten kurz anmerken, dass gew\u00f6hnliche Differentialgleichungen (erster Ordnung und h\u00f6herer Ordnungen) in vielen Gebieten der Mathematik und der Naturwissenschaften auftreten. Beispielsweise hat das Zerfallsgesetz der Physik, mit dem (unter anderem) die Anzahl&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> Teilchen in einem radioaktiven Stoff beschrieben werden k\u00f6nnen, eine nat\u00fcrliche Beschreibung in der Differentialgleichung&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u1e44<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u03bb<\/mi><mi>N<\/mi><\/math> (f\u00fcr einen physikalischen Parameter&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u03bb<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>).<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Das macht exakt gesehen kaum Sinn, denn die Anzahl sollte ja eigentlich eine nat\u00fcrliche Zahl sein und eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall mit Werten in <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> ist konstant. Da aber die Anzahl sehr gross und die \u00c4nderung der Anzahl in einer kleinen Zeitspanne relativ gesehen klein ist, macht es aus praktischen Gr\u00fcnden doch Sinn, dies als Differentialgleichung aufzufassen. <\/span><\/span> <\/p><p class=\"indent\">Wir k\u00f6nnen  uns  die  rechte  Seite  der Differentialgleichung&nbsp;<math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> auch als Richtungsfeld vorstellen, welches bei jedem Punkt&nbsp;<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> eine vorgegebene Steigung der gesuchten L\u00f6sung der Differentialgleichung angibt. Dieses <span class=\"ecbx-1095\">Richtungsfeld <\/span>k\u00f6nnen wir mit kleinen Strichen in der richtigen Steigung in einem Bild visualisieren; die gesuchte L\u00f6sung sollte dann einen Graphen besitzen, der bei jedem Punkt des Graphen den vorgegebenen Strich bei dem Punkt als Tangente besitzt. Noch umgangssprachlicher formuliert, gibt das Richtungsfeld unendlich viele bereits fertig verlegte Schienen in der Ebene an und die gesuchte L\u00f6sung eines Anfangswertproblems zeigt uns, wohin der Zug f\u00e4hrt, wenn er in einem bestimmten Punkt wegf\u00e4hrt und den vorgegebenen Schienen folgt. In dieser Formulierung k\u00f6nnen wir fragen, ob wir immer angeben k\u00f6nnen, wohin der Zug f\u00e4hrt oder ob es nicht vielleicht auch \u201eWeichen im Richtungsfeld\u201c geben k\u00f6nnte. <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=425&amp;url=Pictures\/ableitung\/richtungsfeld.pdf\"><img id=\"z2f292982a641\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/richtungsfeld.svg\" width=\"425\"><\/div> <a id=\"x1-250001r8\"><\/a> <a id=\"x1-250002\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;8.8:       <\/span><span class=\"content\">Das       Richtungsfeld       zur       Differentialgleichung               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken noch, dass das L\u00f6sen der Differentialgleichung, also das Auffinden der L\u00f6sung <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> mitunter schwierig ist, doch das Nachpr\u00fcfen, ob eine L\u00f6sung vorliegt, auf Grund unserer Ableitungsregeln aus Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-2260001\">8.1<\/a> meist sehr einfach ist. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z95e5a3110def\"> <a id=\"x1-250003r57\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 8.57 <\/span>(Einige Richtungsfelder und Anfangswertprobleme)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><\/p><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"421px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/cjxQQGP5\/width\/688\/height\/421\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten einige Funktionen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die verschiedene Richtungsfelder angeben, und die dazugeh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rigen Anfangswertprobleme f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einen bewegbaren Startpunkt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-250004r249\"><\/a> <h4 id=\"z3571474b7ea2\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5.1 <\/span> <a id=\"x1-2510001\"><\/a>Differenzengleichungen<\/h4> <p class=\"noindent\">Ein diskretes Analogon der Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ist die Differenzengleichung <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr eine gesuchte Funktion <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> auf <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und eine gegebene Funktion <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> auf <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> F\u00fcr diese Gleichung kann man rekursiv eine L\u00f6sung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> bestimmen, wenn man eine Anfangswertbedingung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           gegeben hat (siehe die Besprechung der Rekursion in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-500002\">2.2<\/a>). In der Tat k\u00f6nnen wir <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">setzen und erhalten eine rekursiv bestimmte L\u00f6sung. Man beachte dabei, dass die L\u00f6sung eindeutig bestimmt ist (wieso?). <\/p><p class=\"indent\">Die Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> sollte als eine kontinuierliche Version der Differenzengleichung <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> aufgefasst werden. Diese Analogie ist wohlgemerkt nicht ausschliesslich oberfl\u00e4chlich, sondern kann sowohl in der Praxis als auch in der Theorie zu wichtigen Ergebnissen f\u00fchren. <\/p><p class=\"indent\">Es kann zum Beispiel sein, dass man eigentlich an einem diskreten Problem interessiert ist, aber die einzelnen Schritte n\u00e4herungsweise einer kleinen Zeitspanne <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>x<\/mi><\/math> in einem kontinuierlichen Problem entsprechen. In diesem Fall ist es manchmal einfacher, anstelle des diskreten Problems die entsprechende Differentialgleichung zu betrachten. <\/p><p class=\"indent\">Umgekehrt kann es sein, dass ein Anfangswertproblem <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> auf dem Intervall <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gegeben ist, aber die Funktion <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> zu kompliziert ist, um dieses mittels Standardfunktionen zu l\u00f6sen. Stattdessen kann man in diesem Fall die Differentialgleichung in eine Differenzengleichung verwandeln. Sei also <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> eine kleine positive Zahl. Dann kann man eine Funktion <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi><\/math> auf <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mi>h<\/mi><\/math> durch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definieren. Dabei hofft man, dass die gesuchte L\u00f6sung der Differentialgleichung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> und die L\u00f6sung obiger Differenzengleichung <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi><\/math> einander wegen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo> <mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>y<\/mi><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo> <mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>y<\/mi><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo> <mi>F<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u1ef9<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">\u00e4hnlich sind. <\/p><p class=\"indent\">Diese Beschreibung ist nat\u00fcrlich bloss eine Heuristik (das Zeichen <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo><\/math> sollte dies ersichtlich machen). Sie kann jedoch in gewissen F\u00e4llen zu einer approximativen numerischen L\u00f6sung oder gar zu einem Beweis der Existenz einer L\u00f6sung f\u00fchren. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z2efa8b04d2f8\"> <a id=\"x1-251001r58\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 8.58 <\/span>(Rekursive N\u00e4herung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass obige Heuristik f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das Anfangswertproblem <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu einer L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Teilen                         Sie                         das                         Intervall<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teile und f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren Sie obige Rekursion durch.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=460&amp;url=Pictures\/ableitung\/approxdiffglg.pdf\"><img id=\"z2d08864e13ea\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/approxdiffglg.svg\" width=\"460\"><\/div> <a id=\"x1-251002r9\"><\/a> <a id=\"x1-251003\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;8.9: <\/span><span class=\"content\">Vergleich der rekursiv definierten approximativen L\u00f6sung               <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi><\/math>             (rote Punkte) mit linearer Interpolation (ebenfalls in Rot) zur L\u00f6sung               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             in     Blau.     Das     betrachtete     Anfangswertproblem     ist     dabei               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span>               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span>               welches von <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msqrt><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math>               gel\u00f6st wird.                                                                             &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <a id=\"x1-251004r251\"><\/a> <h4 id=\"ze38a40d67ebd\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5.2 <\/span> <a id=\"x1-2520002\"><\/a>Stammfunktionen<\/h4> <p class=\"noindent\">Eine der einfachsten Differentialgleichungen ist eine Gleichung der Form <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr eine gegebene Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> auf einem Intervall <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Eine L\u00f6sung <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> das heisst, eine differenzierbare Funktion <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wird eine <span class=\"ecbx-1095\">Stammfunktion <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> genannt. Wir schreiben auch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo> \u222b  <\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wobei <math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> eine unbestimmte Konstante \u2013 die <span class=\"ecbx-1095\">Integrationskonstante <\/span>\u2013 ist. Wir bemerken, dass&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> auch&nbsp;<math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllt, falls&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> eine Stammfunktion und&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> eine Konstante ist. Wir bezeichnen <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\"> \u222b  <\/mi><mo> <\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/math> als das <span class=\"ecbx-1095\">unbestimmte Integral<\/span>. Dabei ist es noch nicht klar, inwiefern das unbestimmte Integral von der Wahl einer Stammfunktion von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> abh\u00e4ngt, und was die Integraldarstellung mit dem Riemann-Integral zu tun hat. Die Notation wird zum Teil in folgendem Lemma (und vollst\u00e4ndig in Kapitel <a href=\"..\/..\/part\/die-ableitung-und-das-riemann-integral#x1-2580009\">9<\/a>) erkl\u00e4rt. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z1da02629e67a\"> <a id=\"x1-252001r59\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 8.59 <\/span>(Integrationskonstante)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Intervall, <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion und <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Stammfunktionen von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann gibt es eine Konstante <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">In anderen Worten, alle L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen von<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind gegeben durch die Formel<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wenn wir die Konstante<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">variieren.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>F<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann ist <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>G<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msubsup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Aber nach Korollar <a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-234001r33\">8.33<\/a> des Mittelwertsatzes muss eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall mit Ableitung Null konstant sein. Somit folgt&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> f\u00fcr ein&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> und alle&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und damit ebenso die Aussage. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Das unbestimmte Integral bezeichnet per Definition die Umkehroperation zur Differentiation und die Integrationskonstante deutet an, dass wir jede weitere Stammfunktion erhalten k\u00f6nnen, indem wir zu einer bekannten Stammfunktion eine beliebige Konstante addieren. <\/p><p class=\"indent\">Da wir bereits viele Ableitungsregeln (siehe Abschnitte <a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-2260001\">8.1<\/a> und <a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-2380003\">8.3<\/a>) kennen, k\u00f6nnen wir diese r\u00fcckw\u00e4rts als Integrationsregeln (zur Bestimmung des unbestimmten Integrals) lesen. Wir werden dies systematisch im n\u00e4chsten Kapitel besprechen und wollen hier nur einige erste Regeln ansprechen. Zum Beispiel gilt f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> (oder sogar f\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math>) <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo> \u222b  <\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>s<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>s<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>s<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mi class=\"qopname\">log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi> <\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">nach Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-228023r15\">8.15<\/a>, <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo> \u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">sinh<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> cosh<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">cosh<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sinh<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msqrt><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> arcsin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> arctan<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msqrt><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> arsinh<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msqrt><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msqrt><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> arcosh<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msqrt><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">nach Beispiel&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-228001r3\">8.3<\/a>(iii), \u00dcbung&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-228005r4\">8.4<\/a>(ii) und den Abschnitten <a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-2380003\">8.3<\/a>\u2013<a href=\"..\/..\/chapter\/hyperbolische-funktionen#x1-2460004\">8.4<\/a>. <\/p><p class=\"indent\">Wir begn\u00fcgen uns vorerst mit dieser Liste und besprechen im n\u00e4chsten Kapitel weitere Methoden der Berechnung des unbestimmten Integrals, aber erst nachdem wir die Frage \u201eWas hat das so definierte unbestimmte Integral mit dem Riemann-Integral zu tun?\u201c beantwortet haben und dadurch noch mehr Motivation f\u00fcr die Betrachtung des unbestimmten Integral erhalten haben. <a id=\"x1-252002r252\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z3fb08ddec271\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5.3 <\/span> <a id=\"x1-2530003\"><\/a>Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung<\/h4> <p class=\"noindent\">Der n\u00e4chst einfache Typ einer Differentialgleichung besteht aus den <span class=\"ecbx-1095\">linearen Differentialgleichungen<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">erster Ordnung<\/span>, welche von der Form                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-253001r13\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.13)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr zwei gegebene Funktionen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>g<\/mi><\/math> besteht. In der Gleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> wird die Funktion <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> auch die <span class=\"ecbx-1095\">St<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">rfunktion <\/span>genannt. Falls die St\u00f6rfunktion Null ist, nennen wir (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253001r13\">8.13<\/a>) <span class=\"ecbx-1095\">homogen <\/span>und sonst <span class=\"ecbx-1095\">inhomogen<\/span>. <\/p><p class=\"indent\">Die Bezeichnung \u201elinear\u201c entstammt der Tatsache, dass sich Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253001r13\">8.13<\/a>) in der Tat als ein lineares Gleichungssystem auf geeigneten Vektorr\u00e4umen auffassen l\u00e4sst. Informell sieht man schnell, dass die Abbildung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><\/math> linear ist. Welche Vektorr\u00e4ume man dabei jedoch betrachten soll, h\u00e4ngt stark von den Eigenschaften der Funktionen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> ab. Wir werden sp\u00e4ter etwas genauer auf diese Fragestellung eingehen, wenn wir allgemeiner L\u00f6sbarkeit von Differentialgleichungen diskutieren. Nun m\u00f6chten wir aber eine L\u00f6sung von (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253001r13\">8.13<\/a>) finden, wobei wir zuerst den homogenen Fall thematisieren. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zee9e74c6a2a9\"> <a id=\"x1-253002r60\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 8.60 <\/span>(Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Intervall, <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion und <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Stammfunktion von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind genau die Vielfachen der Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr die Funktion <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zu <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> gilt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> und somit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Sei nun <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> eine beliebige L\u00f6sung der homogenen Differentialgleichung <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir definieren die Funktion <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und berechnen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>\u1ef9<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Daher ist auf Grund von Korollar <a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-234001r33\">8.33<\/a> <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> f\u00fcr eine Konstante <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> und somit                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> wie gew\u00fcnscht. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z114facab3a41\"> <a id=\"x1-253003r61\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 8.61 <\/span>(Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Intervall und seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Funktionen. Falls es eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der Differentialgleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt (die auch die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">partikul<\/span><span class=\"ecbi-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbi-1095\">re <\/span><span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung genannt wird), dann ist die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">inhom<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">von der Form <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">inhom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wobei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der homogenen Gleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"ze0b6542e5ec5\"> <a id=\"x1-253004r62\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 8.62.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\"><span class=\"ecti-1095\">8.61<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">. Vergleichen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\"><span class=\"ecti-1095\">8.61<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">des Weiteren mit folgender Tatsache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">aus der linearen Algebra. Ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>V<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>W<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine lineare Abbildung zwischen Vektorr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">umen <\/span><math display=\"inline\"><mi>V<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>W<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber einem K<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rper <\/span><math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>v<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>V<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>W<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>v<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>w<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann ist jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u1e7d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>V<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u1e7d<\/mi> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>w<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von der Form <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u1e7d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>v<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>v<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>v<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">im Kern der Abbildung <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen       Sie       zuerst,       dass       jede       Funktion       der       Form<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung            ist            und            betrachten            Sie            dann<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r                             eine                             weitere                             L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der inhomogenen Gleichung.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\">8.61<\/a> ist nat\u00fcrlich nur dann interessant, wenn eine partikul\u00e4re L\u00f6sung bekannt ist. Ein n\u00fctzlicher Trick, um eine solche zu finden, ist die <span class=\"ecbx-1095\">Variation der Konstanten<\/span>. Hierbei nimmt man an, dass in der L\u00f6sung <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> der homogenen Gleichung <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> eine differenzierbare Funktion der Variable <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> statt einer Konstante ist. Das heisst, wir setzen <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> berechnen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und wollen also <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> l\u00f6sen. Dies f\u00fchrt zu <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mo> \u222b  <\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Zusammenfassend kann man also eine partikul\u00e4re L\u00f6sung der inhomogenen Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> finden, indem man eine Stammfunktion <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> findet und dann <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">setzt. <\/p><p class=\"indent\">Die allgemeine L\u00f6sung <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">inhom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> der inhomogenen Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> enth\u00e4lt nach Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\">8.61<\/a> eine unbekannte Konstante (die in einer L\u00f6sung der homogenen Gleichung versteckt ist). Wenn nun zus\u00e4tzlich ein Anfangswert <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> gegeben ist, dann kann man diesen zur Bestimmung der Konstante verwenden und dadurch das Anfangswertproblem l\u00f6sen. <\/p><p class=\"indent\">Um sich obiges Verfahren f\u00fcr das Anfangswertproblem <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> zu merken, kann man auch folgendes \u201eKochrezept\u201c durchlaufen, die zum Teil die Leibniz-Notation                                                                                                                                                                           verwenden und wegen obiger Diskussion zum richtigen Resultat f\u00fchren. <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecbx-1095\">Trennung der Variablen in der homogenen Gleichung:<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msubsup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\"> hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo>\u222b  <\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"qopname\">ln<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><\/msup><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecbx-1095\">Variation der Konstanten: <\/span>Mit dem Ansatz <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und der Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <mrow> <mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> erh\u00e4lt man eine Differentialgleichung f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecbx-1095\">Bestimmung der Konstanten: <\/span>Setze                                                                                                                                                                           <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> um <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> zu bestimmen.<\/p><\/div><\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken allerdings, dass der erste Schritt obiges Kochrezepts eigentlich nicht alle L\u00f6sungen lieferte. In der Tat haben wir zur Vereinfachung der Notation&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00b1<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> gesetzt, dann aber einfach von der Konstante&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> gesprochen, wodurch wir die triviale L\u00f6sung der homogenen Differentialgleichung&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> wiedergewonnen haben. Dieses und auch \u00e4hnliche Kochrezepte sind sp\u00e4ter sehr n\u00fctzlich um L\u00f6sungen zu finden. Einmal gefunden, ist es normalerweise auch ein leichtes zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob eine Funktion eine L\u00f6sung darstellt (und dies wird \u00fcblicherweise auch der Fall sein). Doch sollten wir uns bewusst sein, dass das Kochrezept m\u00f6glicherweise nicht alle L\u00f6sungen liefert. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zcd9d02f7ea4b\"> <a id=\"x1-253005r63\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.63 <\/span>(Trennung der Variablen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten das Anfangswertproblem<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mi>y<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen.<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Nach Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253002r60\"><span class=\"ecti-1095\">8.60<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">berechnen wir zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><\/math> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen somit <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als Stammfunktion. Die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der homogenen Differentialgleichung<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist somit von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Form <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Um eine partikul<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">re L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung zu finden, brauchen wir eine Stammfunktion der Funktion<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">, wobei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir setzen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">somit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der inhomogenen Gleichung ist nach Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\"><span class=\"ecti-1095\">8.61<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">somit von der Form<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>x<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Unter Verwendung des<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Anfangswerts erhalten wir <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und somit ist die eindeutig bestimmte L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des obigen Anfangswertproblems<\/span> <span class=\"ecti-1095\">durch<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>x<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben. An dieser Stelle empfiehlt es sich durch Einsetzen zu <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berpr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">fen, dass<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">tats<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chlich eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung ist.<\/span><\/p><\/div><\/div> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3c4328f3f1f4\"> <a id=\"x1-253006r64\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 8.64.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Anfangswertproblems<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mi>y<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">auf dem Intervall <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>\u221e<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-253007r253\"><\/a> <h4 id=\"zec05350ad3a2\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5.4 <\/span> <a id=\"x1-2540004\"><\/a>Zweite Ordnung<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir wollen in diesem Unterabschnitt den einfachsten Typ einer gew\u00f6hnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung betrachten, n\u00e4mlich lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Hierbei wird f\u00fcr vorgegebene <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> die Gleichung <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254001r14\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.14)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">als <span class=\"ecbx-1095\">homogene lineare gew<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">hnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">mit konstanten Koeffizienten <\/span>bezeichnet. F\u00fcr eine vorgegebene Funktion <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> wird <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">als <span class=\"ecbx-1095\">inhomogene lineare gew<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">hnliche Differentialgleichungen<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und St<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">rfunktion<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> bezeichnet. <\/p><p class=\"indent\">Bevor wir das allgemeine Verfahren zur Berechnung der L\u00f6sungen dieser Differentialgleichungen vorstellen, wollen wir zuerst einige Spezialf\u00e4lle betrachten, welche auch als Motivation f\u00fcr das allgemeine Verfahren betrachtet werden sollten.                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z988724590d49\"> <a id=\"x1-254002r65\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.65 <\/span>(Einige homogene Gleichungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die folgenden Behauptungen sind sehr leicht mit Differentiation <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berpr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">fbar. (Die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Anmerkungen zu den betrachteten Polynomen soll gewisse <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bereinstimmungen andeuten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und sollte zumindest nach der Besprechung des allgemeinen Verfahrens f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Sie Sinn<\/span> <span class=\"ecti-1095\">machen.)<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Differentialgleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind die Funktionen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen. (Die <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist die einzige<\/span> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der Gleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">.)<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Differentialgleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind die Funktionen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen der Gleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind gegeben durch <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">.)<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Differentialgleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind die Funktionen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen. Ebenso sind die Funktionen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen, und auf Grund des Zusammenhangs zwischen der komplexen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Exponentialabbildung und den trigonometrischen Funktionen in Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-208003r72\"><span class=\"ecti-1095\">7.72<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">werden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dadurch die gleiche Menge an L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen beschrieben. (Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen der Gleichung<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind gegeben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo>  <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">.)<\/span><\/p><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Obige Beispiele legen den Ansatz <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr die L\u00f6sungen der Differentialgleichung nahe, wobei man <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> noch bestimmen muss (und dies nicht unbedingt alle L\u00f6sungen liefert). In der Tat das allgemeine Kochrezept f\u00fcr die L\u00f6sung der homogenen Differentialgleichung in (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>) besteht darin, dass wir die Koeffizienten der Differentialgleichung als Koeffizienten des sogenannten <span class=\"ecbx-1095\">charakteristischen<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Polynoms<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">verwenden. Anschliessend m\u00fcssen die Nullstellen der Gleichung <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> berechnet werden. <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls es zwei verschiedene Nullstellen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> gibt, so sind die Funktionen                                                                                                                                                                           <math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254006r15\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.15)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr beliebige Konstanten <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> L\u00f6sungen der homogenen Differentialgleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>). <\/p><\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls die Koeffizienten <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> reell sind und die Nullstellen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi><\/math> durch eine komplexe Zahl <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> und die Konjugierte <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><\/math> beschrieben werden, so sind die Funktionen <math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b2<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b3<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b2<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b3<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254007r16\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.16)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr beliebige Konstanten <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> L\u00f6sungen der homogenen Differentialgleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>). <\/p><\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls es nur eine Nullstelle <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> des charakteristischen Polynoms <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> gibt, so sind die Funktionen                                                                                                                                                                           <math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254008r17\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.17)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr beliebige Konstanten <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> L\u00f6sungen der homogenen Differentialgleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>).<\/p><\/div><\/div> <p class=\"indent\">Mit Hilfe der Ableitungsregeln l\u00e4sst sich nun \u00fcberpr\u00fcfen, dass dieses Verfahren in der Tat L\u00f6sungen liefert. Hierf\u00fcr ist der wichtigste Schritt die folgende Rechnung. Angenommen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> sind Konstanten, welche wir verwenden, um das Polynom <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> und die Funktion <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zu definieren. Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi><mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mi>y<\/mi><\/math> und deshalb <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was den Zusammenhang zwischen den Nullstellen des charakteristischen Polynom und den L\u00f6sungen der homogenen Differentialgleichung erkl\u00e4rt. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z8e389e6ac7c6\"> <a id=\"x1-254009r66\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 8.66 <\/span>(Homogene Gleichung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Menge der L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen der homogenen Differentialgleichung<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">auf<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einen Teilraum des Vektorraums aller zweimal differenzierbarer Funktionen auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bildet.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Funktionen in<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254006r15\">8.15<\/a>)<span class=\"ecti-1095\">,<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254007r16\">8.16<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">beziehungsweise<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254008r17\">8.17<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen von<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>)<span class=\"ecti-1095\">sind.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass wir in den Spezialf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen von Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254002r65\"><span class=\"ecti-1095\">8.65<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">tats<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chlich alle L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der jeweiligen Differentialgleichung gefunden haben.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Beweis von<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254007r16\">8.16<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">beweisen Sie zuerst<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254006r15\">8.15<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">und verwenden Sie anschliessend<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-208003r72\"><span class=\"ecti-1095\">7.72<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Beweis von<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254008r17\">8.17<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">berechnen Sie zuerst die erste und zweite Ableitung von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Beweis, dass in Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254002r65\"><span class=\"ecti-1095\">8.65<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">(c) alle L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen gefunden wurden,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">finden Sie lineare Differentialgleichungen erster Ordnung f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Funktionen<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo>  <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo>  <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bestimmen Sie alle L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen dieser Gleichungen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wir behandeln nun ein wichtiges Beispiel aus der Physik. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6deb81a6acb6\"> <a id=\"x1-254013r67\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.67 <\/span>(Ged\u00e4mpfte Schwingung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir bringen ein Gewicht an einer elastischen Feder an und w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen das Koordinatensystem, so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">dem Ruhezustand (wo sich das Gewicht nicht bewegt) entspricht.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=408&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator.pdf\"><img id=\"z878d1e9e961f\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator.svg\" width=\"408\"><\/div>  <\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wollen die Position <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">des<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Gewichts als Funktion der Zeit <\/span><math display=\"inline\"><mi>t<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">betrachten. Nach den Newtonschen Grundgesetzen der Bewegung ist die zweite Ableitung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u00ff<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(nach der Zeit)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">multipliziert mit der Masse <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">des Gewichts gleich der Kraft, die auf das Gewicht wirkt. Eine Komponente dieser Kraft entsteht durch die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ausdehnung der Feder und orientiert sich in Richtung Ruhezustand. Nach dem Hookeschen Gesetz ist diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Kraft durch <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben, wobei <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Federkonstante genannt wird. Weiter wirken <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">blicherweise Reibungkr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">fte auf<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Bewegung. Wir nehmen an, dass die entsprechende Krafteinwirkung durch<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist, wobei <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die D<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mpfungskonstante ist. Die Differentialgleichung, die die Bewegung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Masse beschreibt, ist somit<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>m<\/mi><mi>\u00ff<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u00ff<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mi>y<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">was also eine gew<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnliche lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. Wir setzen zur Vereinfachung<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Notation <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Das charakteristische Polynom obiger Differentialgleichung ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">mit Nullstellen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00b1<\/mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msqrt><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind dies komplex<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konjugierte Nullstellen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00b1<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wobei <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msqrt> <mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><\/msqrt><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">In diesem Fall erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man somit L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen von der Form<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>B<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">siehe auch folgendes Bild.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=783&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator1tot.pdf\"><img id=\"zbaa40da930a9\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator1tot.svg\" width=\"783\"><\/div> <a id=\"x1-254014r10\"><\/a> <a id=\"x1-254015\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;8.10:      <\/span><span class=\"content\">Die      unged\u00e4mpfte      Schwingung      links      (mit               <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>)               und            eine            ged\u00e4mpfte            Schwingung            (mit               <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>               und <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>)               rechts.                                                                                     &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls die Reibung stark ist und <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, dann wird die Schwingung zerst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rt \u2013 dies kann mit einem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">T<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rschliess-Mechanismus verglichen werden. Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen sind dann von der Form<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mi>t<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>B<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">, wobei<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msqrt><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msqrt> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msqrt> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Es gibt also<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in diesem Fall zwei potenziell sehr verschiedene L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen, die unterschiedlich schnell zum Ruhezustand der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Feder (also <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">streben.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Der Grenzfall <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist nochmals anders, da wir in diesem Fall bis jetzt nur eine eindimensionale L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungsmenge bestehend aus allen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Vielfachen von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gefunden haben. Mit obiger Anleitung erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man eine weitere L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">, die linear<\/span> <span class=\"ecti-1095\">unabh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngig zu <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist (wieso?). In der Tat gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u1e8f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow> <mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u00ff<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>t<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und somit<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u00ff<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><msub><mrow><mi>\u1e8f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>t<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir wenden uns nun dem inhomogenen Problem zu, wobei wir annehmen wollen, dass die St\u00f6rfunktion <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> sich als Summe von Produkten von Polynomen und Exponentialabbildungen (oder auch dem Sinus und Kosinus) schreiben l\u00e4sst. In diesen F\u00e4llen k\u00f6nnen wir spezifische Ans\u00e4tze verwenden, um eine                                                                                                                                                                           erste L\u00f6sung der inhomogenen Differentialgleichung <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254016r18\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.18)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">zu finden. Diese L\u00f6sung nennen wir auch die <span class=\"ecbx-1095\">partikul<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbx-1095\">re L<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">sung<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die allgemeine L\u00f6sung (mit zwei unbekannten Konstanten) der inhomogenen Differentialgleichung l\u00e4sst sich dann auf Grund der Linearit\u00e4t als Summe der allgemeinen L\u00f6sung der homogenen Differentialgleichung (mit zwei unbekannten Konstanten) und der partikul\u00e4ren L\u00f6sung schreiben. Wir beschreiben das Rezept zur Berechnung der partikul\u00e4ren L\u00f6sung, wobei <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> wiederum das charakteristische Polynom der homogenen Differentialgleichung darstellt: <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> vom Grad <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann definiert man <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wobei <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ein Polynom vom Grad&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> mit noch zu bestimmenden <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> Koeffizienten ist. Nun berechnet man die linke Seite von (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254016r18\">8.18<\/a>) setzt dies gleich <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> und verwendet diese Gleichung, um die Koeffizienten von <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> zu bestimmen. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> vom Grad <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann wiederholt man obiges Verfahren, allerdings mit dem Ansatz <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wobei <math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi><\/math> die Vielfachheit der Nullstelle <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> angibt. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> als eine Linearkombination von Ausdr\u00fccken wie oben dargestellt werden kann, dann k\u00f6nnen wir obiges Verfahren getrennt anwenden und die jeweiligen partikul\u00e4ren L\u00f6sungen der vereinfachten Differentialgleichungen addieren. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> ist und wir an reellwertigen L\u00f6sungen einer Differentialgleichung mit reellen Koeffizienten interessiert sind, dann kann man <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> in obigen Diskussionen durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b2<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b3<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b2<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b3<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math> ersetzen.<\/div><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z364d5c679abf\"> <a id=\"x1-254017r68\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.68 <\/span>(Partikul\u00e4re L\u00f6sungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten einige Spezialf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lle f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die obigen Ans<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tze.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zum Beispiel k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnten das charakteristische Polynom durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben sein. In diesem Fall ist der Skalar <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in der Exponentialfunktion des St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglieds keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und wir k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen den Ansatz <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r noch zu bestimmende Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">muss man allerdings den Ansatz <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r noch zu bestimmende Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden, da <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sehr wohl eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>T<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben ist, so muss man den Ansatz <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r noch zu bestimmende Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden, da <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(d)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>T<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben ist, so muss man den Ansatz <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r noch zu bestimmende Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden. Dies ergibt sich ebenso aus obigen F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen, denn <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und beide Skalaren <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind einfache Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Deswegen m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen wir den<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grad der Polynomfaktoren vor <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und vor <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">jeweils um <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">hen, was zu den getrennten Ans<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzen <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die partikul<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">re L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied <\/span><math display=\"inline\"> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><\/mfrac><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">beziehungsweise <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><\/mfrac><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrt. Wollen wir die Rechnung <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber die reellen Zahlen ausf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren, so betrachten wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stattdessen obigen Ansatz mit Sinus und Kosinus.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Wie bereits erw\u00e4hnt ergibt sich die allgemeine L\u00f6sung einer inhomogenen Differentialgleichung dann als die Summe einer partikul\u00e4ren L\u00f6sung und der allgemeinen L\u00f6sung der zugeh\u00f6rigen homogenen Differentialgleichung. Falls zus\u00e4tzlich Anfangsbedingungen in der Form <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> bekannt sind, so l\u00e4sst sich nun die L\u00f6sung des Anfangswertproblems mit Hilfe eines Gleichungssystems in den unbekannten Konstanten l\u00f6sen. Wir erproben dieses Verfahren im folgenden Beispiel. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z39da66162732\"> <a id=\"x1-254022r69\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.69 <\/span>(Ged\u00e4mpfte Schwingung mit periodischer Krafteinwirkung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir ver<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndern die homogene Differentialgleichung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u00ff<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">der ged<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mpften Schwingung aus Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254013r67\"><span class=\"ecti-1095\">8.67<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, indem wir eine periodische Krafteinwirkung der Form<\/span> <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">dem System hinzuf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">gen, wodurch wir die inhomogene Differentialgleichung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u00ff<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erhalten. Wir wollen nun eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Anfangswertproblems<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u00ff<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">finden, wobei die Anfangsbedingungen der unbewegten Ruhelage am Anfang entspricht.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der homogenen Differentialgleichung haben wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bereits in Beispiel<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254013r67\"><span class=\"ecti-1095\">8.67<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">diskutiert. Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten hier jedoch nur den Fall<\/span> <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besprechen. In diesem Fall ist die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>B<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wobei <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msqrt> <mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><\/msqrt><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die partikul<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">re L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung machen wir den Ansatz<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>C<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>D<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u1e8f<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>C<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>D<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u00ff<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>C<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>D<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten also <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>D<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">so bestimmen, dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u00ff<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><msub><mrow><mi>\u1e8f<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>D<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>C<\/mi><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>C<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>D<\/mi><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">oder nach Vergleich der Koeffizienten (wieso geht das?), dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mi>d<\/mi> <\/mtd> <mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>C<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>D<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>a<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">in Matrixschreibweise. Falls die Determinante<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Null ist, sehen wir nach Inversion, dass die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Gleichungssystems durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>C<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>D<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mi>d<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi> <\/mtd> <mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>a<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben ist, wodurch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir addieren zu <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der homogenen Differentialgleichung, um eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu erhalten. Nun<\/span> <span class=\"ecti-1095\">setzen wir <\/span><math display=\"inline\"><mi>t<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sowohl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in der L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als auch ihrer Ableitung und erhalten gemeinsam mit den Anfangsbedingungen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Somit w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen wir die Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>B<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>B<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>B<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>\u03b3<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>\u03b3<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>\u03b3<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Anfangswertproblems ist somit gegeben durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>\u03b3<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Man kann in diesem einfachen Modell bereits einige physikalische Beobachtungen wiedererkennen.<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Bei positiver D<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mpfung <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">strebt die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung gegen eine Schwingung mit Frequenz der vorgegebenen Krafteinwirkung.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Die Amplitude dieser Schwingung ist durch <\/span><math display=\"inline\"> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><msqrt><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben (siehe die entsprechende <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung in Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-2240002\"><span class=\"ecti-1095\">7.9.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) und h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngt also linear von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der vorgegeben Amplitude der Krafteinwirkung ab. Sie wird gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sser, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nahe bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nahe bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=458&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator2sol1.pdf\"><img id=\"z5e451c06ac1c\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator2sol1.svg\" width=\"458\"><\/div>  <\/div> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Bei verschwindender D<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mpfung <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ergibt sich eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung, die eine <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berlagerung der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Eigenschwingung<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">des<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Systems und der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">vorgegebenen Schwingung<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Krafteinwirkung ist. Falls<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nahe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, dann k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen sich diese Schwingungen manchmal gleichzeitig verst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rken und manchmal<\/span> <span class=\"ecti-1095\">fast ausl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">schen, siehe folgendes Bild.<\/span> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=441&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator2sol2.pdf\"><img id=\"z87f39475aa85\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator2sol2.svg\" width=\"441\"><\/div>  <\/div> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt obige Diskussion nicht mehr. In diesem Fall ist eine partikul<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">re L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung durch<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>t<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben (wieso?) und eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Anfangswertproblems durch<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>t<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Diese L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung ist also unbeschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt (unabh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngig davon wie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">klein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auch sein mag). Physikalisch begr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndet sich dies mit der Tatsache, dass die Krafteinwirkung<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit dem System im gleichen Takt ist und die Schwingung (bei Abwesenheit von Reibung)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">aufschaukelt.<\/span> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=408&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator2sol3.pdf\"><img id=\"zf932c76472e9\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator2sol3.svg\" width=\"408\"><\/div>  <\/div> <\/div><\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Ph<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nomene in diesem Beispiel werden als Resonanz bezeichnet und k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen in<\/span> <span class=\"ecti-1095\">verschiedenen Situationen beobachtet werden. Zum Beispiel kann sich die Schwingung von einer Saite<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einer Gitarre auf die gleiche Saite einer anderen Gitarre <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bertragen, ohne dass diese sich ber<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren<\/span> <span class=\"ecti-1095\">m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen. Denn durch Anzupfen der Saite auf der ersten Gitarre erzeugt man einen Ton,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der als Schwingung der Luft in einer gewissen Frequenz definiert werden kann. Diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Schwingung breitet sich aus und <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bt auf die gleiche Saite der zweiten Gitarre in der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">richtigen Frequenz eine Kraft aus, die zwar sehr klein ist, aber in der Frequenz mit der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Eigenschwingung der Saite der zweiten Gitarre <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bereinstimmt. Aus diesen Grund beginnt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Saite der zweiten Gitarre sichtbar zu schwingen. (Zur Not kann man dies auch nur<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit einer Gitarre beobachten, aber hierzu muss man auf zwei Saiten die gleiche Note<\/span> <span class=\"ecti-1095\">greifen.)<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z621a31caff70\"> <a id=\"x1-254023r70\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 8.70 <\/span>(Harmonischer Oszillator)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><\/p><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"408px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/QSRtrZrb\/width\/688\/height\/408\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sie k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen       sowohl       die       Koeffizienten       der       Differentialgleichung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u00ff<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mi>t<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als                          auch                          die                          Anfangsbedingungen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u1e8f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">einstellen.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-254024r250\"><\/a> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zd822e87d40d2\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5 <\/span> <a id=\"x1-2500005\"><\/a>Erste Differentialgleichungen<\/h3> <p class=\"noindent\">Eine <span class=\"ecbx-1095\">Differentialgleichung <\/span>ist eine Gleichung der Form <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die eine reellwertige Funktion <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ihre Ableitung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo> <mi>y<\/mi><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> und die unabh\u00e4ngige Variable <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> mittels einer reellwertigen Abbildung <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> auf einer offenen Teilmenge von <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> verkn\u00fcpft. Gesucht sind die Funktionen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die die Gleichung <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> erf\u00fcllen, wobei der Definitionsbereich <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> der gesuchten Funktion&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> ein Intervall&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> sein soll. <\/p><p class=\"indent\">Da es normalerweise mehrere L\u00f6sungen gibt, verlangt man \u00fcblicherweise noch etwas mehr Information, n\u00e4mlich den Wert der Funktion <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> bei einem fest gew\u00e4hlten Ausgangspunkt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Eine Differentialgleichung <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> gemeinsam mit der Bedingung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> wird ein <span class=\"ecbx-1095\">Anfangswertproblem <\/span>genannt. <\/p><p class=\"indent\">Um genau zu sein, nennt man eine Differentialgleichung <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> eine <span class=\"ecbx-1095\">gew<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">hnliche Differentialgleichung erster Ordnung<\/span>. Hier steht \u201egew\u00f6hnlich\u201c daf\u00fcr, dass wir nur eine unabh\u00e4ngige Variable verwenden. \u201eErster Ordnung\u201c steht daf\u00fcr, dass nur die erste (und keine h\u00f6heren Ableitungen) der gesuchten L\u00f6sung in der durch <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> gegebenen Gleichung erscheint. Wir werden h\u00e4ufig Differentialgleichungen der <span class=\"ecbx-1095\">expliziten Form<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> betrachten, wobei dann <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> eine reellwertige Funktion darstellt, die auf einer offenen Teilmenge von <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> definiert sein soll. <\/p><p class=\"indent\">Ein Beispiel einer solchen gew\u00f6hnlichen Differentialgleichung erster Ordnung ist die Gleichung <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>x<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Durch Anstarren der Gleichung l\u00e4sst sich eine L\u00f6sung dieser Differentialgleichung erraten, n\u00e4mlich <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir stellen aber fest, dass es ausgehend von dieser L\u00f6sung nicht klar ist, ob es andere L\u00f6sungen gibt                                                                                                                                                                           und wie solche aussehen k\u00f6nnten. Auch unklar ist, wie viele L\u00f6sungen vor und nach Angabe eines Anfangswert existieren (und ob \u00fcberhaupt welche existieren). Wir begn\u00fcgen uns in diesem Abschnitt mit der Betrachtung von einigen Spezialf\u00e4llen und werden gegen Ende des zweiten Semesters nochmals ausf\u00fchrlicher auf das Thema der Differentialgleichungen eingehen. <\/p><p class=\"indent\">Wir m\u00f6chten kurz anmerken, dass gew\u00f6hnliche Differentialgleichungen (erster Ordnung und h\u00f6herer Ordnungen) in vielen Gebieten der Mathematik und der Naturwissenschaften auftreten. Beispielsweise hat das Zerfallsgesetz der Physik, mit dem (unter anderem) die Anzahl&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> Teilchen in einem radioaktiven Stoff beschrieben werden k\u00f6nnen, eine nat\u00fcrliche Beschreibung in der Differentialgleichung&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u1e44<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>t<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u03bb<\/mi><mi>N<\/mi><\/math> (f\u00fcr einen physikalischen Parameter&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u03bb<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>).<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Das macht exakt gesehen kaum Sinn, denn die Anzahl sollte ja eigentlich eine nat\u00fcrliche Zahl sein und eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall mit Werten in <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> ist konstant. Da aber die Anzahl sehr gross und die \u00c4nderung der Anzahl in einer kleinen Zeitspanne relativ gesehen klein ist, macht es aus praktischen Gr\u00fcnden doch Sinn, dies als Differentialgleichung aufzufassen. <\/span><\/span> <\/p><p class=\"indent\">Wir k\u00f6nnen  uns  die  rechte  Seite  der Differentialgleichung&nbsp;<math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> auch als Richtungsfeld vorstellen, welches bei jedem Punkt&nbsp;<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> eine vorgegebene Steigung der gesuchten L\u00f6sung der Differentialgleichung angibt. Dieses <span class=\"ecbx-1095\">Richtungsfeld <\/span>k\u00f6nnen wir mit kleinen Strichen in der richtigen Steigung in einem Bild visualisieren; die gesuchte L\u00f6sung sollte dann einen Graphen besitzen, der bei jedem Punkt des Graphen den vorgegebenen Strich bei dem Punkt als Tangente besitzt. Noch umgangssprachlicher formuliert, gibt das Richtungsfeld unendlich viele bereits fertig verlegte Schienen in der Ebene an und die gesuchte L\u00f6sung eines Anfangswertproblems zeigt uns, wohin der Zug f\u00e4hrt, wenn er in einem bestimmten Punkt wegf\u00e4hrt und den vorgegebenen Schienen folgt. In dieser Formulierung k\u00f6nnen wir fragen, ob wir immer angeben k\u00f6nnen, wohin der Zug f\u00e4hrt oder ob es nicht vielleicht auch \u201eWeichen im Richtungsfeld\u201c geben k\u00f6nnte. <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=425&amp;url=Pictures\/ableitung\/richtungsfeld.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z2f292982a641\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/richtungsfeld.svg\" width=\"425\" \/><\/div> <a id=\"x1-250001r8\"><\/a> <a id=\"x1-250002\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;8.8:       <\/span><span class=\"content\">Das       Richtungsfeld       zur       Differentialgleichung               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken noch, dass das L\u00f6sen der Differentialgleichung, also das Auffinden der L\u00f6sung <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> mitunter schwierig ist, doch das Nachpr\u00fcfen, ob eine L\u00f6sung vorliegt, auf Grund unserer Ableitungsregeln aus Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-2260001\">8.1<\/a> meist sehr einfach ist. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z95e5a3110def\"> <a id=\"x1-250003r57\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 8.57 <\/span>(Einige Richtungsfelder und Anfangswertprobleme)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"421px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/cjxQQGP5\/width\/688\/height\/421\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten einige Funktionen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die verschiedene Richtungsfelder angeben, und die dazugeh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rigen Anfangswertprobleme f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einen bewegbaren Startpunkt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-250004r249\"><\/a> <h4 id=\"z3571474b7ea2\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5.1 <\/span> <a id=\"x1-2510001\"><\/a>Differenzengleichungen<\/h4> <p class=\"noindent\">Ein diskretes Analogon der Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ist die Differenzengleichung <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr eine gesuchte Funktion <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> auf <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und eine gegebene Funktion <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> auf <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> F\u00fcr diese Gleichung kann man rekursiv eine L\u00f6sung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> bestimmen, wenn man eine Anfangswertbedingung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           gegeben hat (siehe die Besprechung der Rekursion in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-500002\">2.2<\/a>). In der Tat k\u00f6nnen wir <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">setzen und erhalten eine rekursiv bestimmte L\u00f6sung. Man beachte dabei, dass die L\u00f6sung eindeutig bestimmt ist (wieso?). <\/p><p class=\"indent\">Die Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> sollte als eine kontinuierliche Version der Differenzengleichung <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> aufgefasst werden. Diese Analogie ist wohlgemerkt nicht ausschliesslich oberfl\u00e4chlich, sondern kann sowohl in der Praxis als auch in der Theorie zu wichtigen Ergebnissen f\u00fchren. <\/p><p class=\"indent\">Es kann zum Beispiel sein, dass man eigentlich an einem diskreten Problem interessiert ist, aber die einzelnen Schritte n\u00e4herungsweise einer kleinen Zeitspanne <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>x<\/mi><\/math> in einem kontinuierlichen Problem entsprechen. In diesem Fall ist es manchmal einfacher, anstelle des diskreten Problems die entsprechende Differentialgleichung zu betrachten. <\/p><p class=\"indent\">Umgekehrt kann es sein, dass ein Anfangswertproblem <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> auf dem Intervall <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gegeben ist, aber die Funktion <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> zu kompliziert ist, um dieses mittels Standardfunktionen zu l\u00f6sen. Stattdessen kann man in diesem Fall die Differentialgleichung in eine Differenzengleichung verwandeln. Sei also <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> eine kleine positive Zahl. Dann kann man eine Funktion <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi><\/math> auf <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mi>h<\/mi><\/math> durch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definieren. Dabei hofft man, dass die gesuchte L\u00f6sung der Differentialgleichung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> und die L\u00f6sung obiger Differenzengleichung <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi><\/math> einander wegen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo> <mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>y<\/mi><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo> <mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>y<\/mi><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo> <mi>F<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u1ef9<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>h<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>h<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">\u00e4hnlich sind. <\/p><p class=\"indent\">Diese Beschreibung ist nat\u00fcrlich bloss eine Heuristik (das Zeichen <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u2248<\/mo><\/math> sollte dies ersichtlich machen). Sie kann jedoch in gewissen F\u00e4llen zu einer approximativen numerischen L\u00f6sung oder gar zu einem Beweis der Existenz einer L\u00f6sung f\u00fchren. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z2efa8b04d2f8\"> <a id=\"x1-251001r58\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 8.58 <\/span>(Rekursive N\u00e4herung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass obige Heuristik f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das Anfangswertproblem <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu einer L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrt.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Teilen                         Sie                         das                         Intervall<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teile und f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren Sie obige Rekursion durch.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=460&amp;url=Pictures\/ableitung\/approxdiffglg.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z2d08864e13ea\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/approxdiffglg.svg\" width=\"460\" \/><\/div> <a id=\"x1-251002r9\"><\/a> <a id=\"x1-251003\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;8.9: <\/span><span class=\"content\">Vergleich der rekursiv definierten approximativen L\u00f6sung               <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi><\/math>             (rote Punkte) mit linearer Interpolation (ebenfalls in Rot) zur L\u00f6sung               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             in     Blau.     Das     betrachtete     Anfangswertproblem     ist     dabei               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span>               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span>               welches von <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msqrt><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math>               gel\u00f6st wird.                                                                             &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <a id=\"x1-251004r251\"><\/a> <h4 id=\"ze38a40d67ebd\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5.2 <\/span> <a id=\"x1-2520002\"><\/a>Stammfunktionen<\/h4> <p class=\"noindent\">Eine der einfachsten Differentialgleichungen ist eine Gleichung der Form <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr eine gegebene Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> auf einem Intervall <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Eine L\u00f6sung <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> das heisst, eine differenzierbare Funktion <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wird eine <span class=\"ecbx-1095\">Stammfunktion <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> genannt. Wir schreiben auch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo> \u222b  <\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wobei <math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> eine unbestimmte Konstante \u2013 die <span class=\"ecbx-1095\">Integrationskonstante <\/span>\u2013 ist. Wir bemerken, dass&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> auch&nbsp;<math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllt, falls&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> eine Stammfunktion und&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> eine Konstante ist. Wir bezeichnen <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\"> \u222b  <\/mi><mo> <\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/math> als das <span class=\"ecbx-1095\">unbestimmte Integral<\/span>. Dabei ist es noch nicht klar, inwiefern das unbestimmte Integral von der Wahl einer Stammfunktion von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> abh\u00e4ngt, und was die Integraldarstellung mit dem Riemann-Integral zu tun hat. Die Notation wird zum Teil in folgendem Lemma (und vollst\u00e4ndig in Kapitel <a href=\"..\/..\/part\/die-ableitung-und-das-riemann-integral#x1-2580009\">9<\/a>) erkl\u00e4rt. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z1da02629e67a\"> <a id=\"x1-252001r59\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 8.59 <\/span>(Integrationskonstante)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Intervall, <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion und <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Stammfunktionen von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann gibt es eine Konstante <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">In anderen Worten, alle L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen von<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind gegeben durch die Formel<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wenn wir die Konstante<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">variieren.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>F<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann ist <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>G<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msubsup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Aber nach Korollar <a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-234001r33\">8.33<\/a> des Mittelwertsatzes muss eine differenzierbare Funktion auf einem Intervall mit Ableitung Null konstant sein. Somit folgt&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> f\u00fcr ein&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> und alle&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und damit ebenso die Aussage. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Das unbestimmte Integral bezeichnet per Definition die Umkehroperation zur Differentiation und die Integrationskonstante deutet an, dass wir jede weitere Stammfunktion erhalten k\u00f6nnen, indem wir zu einer bekannten Stammfunktion eine beliebige Konstante addieren. <\/p><p class=\"indent\">Da wir bereits viele Ableitungsregeln (siehe Abschnitte <a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-2260001\">8.1<\/a> und <a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-2380003\">8.3<\/a>) kennen, k\u00f6nnen wir diese r\u00fcckw\u00e4rts als Integrationsregeln (zur Bestimmung des unbestimmten Integrals) lesen. Wir werden dies systematisch im n\u00e4chsten Kapitel besprechen und wollen hier nur einige erste Regeln ansprechen. Zum Beispiel gilt f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> (oder sogar f\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math>) <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo> \u222b  <\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>s<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>s<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>s<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mi class=\"qopname\">log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi> <\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">nach Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-228023r15\">8.15<\/a>, <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo> \u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">sinh<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> cosh<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mi class=\"qopname\">cosh<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sinh<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msqrt><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> arcsin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> arctan<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msqrt><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> arsinh<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msqrt><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msqrt><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> arcosh<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msqrt><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">nach Beispiel&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-228001r3\">8.3<\/a>(iii), \u00dcbung&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-ableitung#x1-228005r4\">8.4<\/a>(ii) und den Abschnitten <a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-2380003\">8.3<\/a>\u2013<a href=\"..\/..\/chapter\/hyperbolische-funktionen#x1-2460004\">8.4<\/a>. <\/p><p class=\"indent\">Wir begn\u00fcgen uns vorerst mit dieser Liste und besprechen im n\u00e4chsten Kapitel weitere Methoden der Berechnung des unbestimmten Integrals, aber erst nachdem wir die Frage \u201eWas hat das so definierte unbestimmte Integral mit dem Riemann-Integral zu tun?\u201c beantwortet haben und dadurch noch mehr Motivation f\u00fcr die Betrachtung des unbestimmten Integral erhalten haben. <a id=\"x1-252002r252\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z3fb08ddec271\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5.3 <\/span> <a id=\"x1-2530003\"><\/a>Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung<\/h4> <p class=\"noindent\">Der n\u00e4chst einfache Typ einer Differentialgleichung besteht aus den <span class=\"ecbx-1095\">linearen Differentialgleichungen<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">erster Ordnung<\/span>, welche von der Form                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-253001r13\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.13)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr zwei gegebene Funktionen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>g<\/mi><\/math> besteht. In der Gleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> wird die Funktion <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> auch die <span class=\"ecbx-1095\">St<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">rfunktion <\/span>genannt. Falls die St\u00f6rfunktion Null ist, nennen wir (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253001r13\">8.13<\/a>) <span class=\"ecbx-1095\">homogen <\/span>und sonst <span class=\"ecbx-1095\">inhomogen<\/span>. <\/p><p class=\"indent\">Die Bezeichnung \u201elinear\u201c entstammt der Tatsache, dass sich Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253001r13\">8.13<\/a>) in der Tat als ein lineares Gleichungssystem auf geeigneten Vektorr\u00e4umen auffassen l\u00e4sst. Informell sieht man schnell, dass die Abbildung <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><\/math> linear ist. Welche Vektorr\u00e4ume man dabei jedoch betrachten soll, h\u00e4ngt stark von den Eigenschaften der Funktionen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> ab. Wir werden sp\u00e4ter etwas genauer auf diese Fragestellung eingehen, wenn wir allgemeiner L\u00f6sbarkeit von Differentialgleichungen diskutieren. Nun m\u00f6chten wir aber eine L\u00f6sung von (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253001r13\">8.13<\/a>) finden, wobei wir zuerst den homogenen Fall thematisieren. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zee9e74c6a2a9\"> <a id=\"x1-253002r60\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 8.60 <\/span>(Homogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Intervall, <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion und <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Stammfunktion von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der homogenen linearen Differentialgleichung erster Ordnung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind genau die Vielfachen der Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr die Funktion <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zu <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> gilt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>F<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> und somit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Sei nun <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> eine beliebige L\u00f6sung der homogenen Differentialgleichung <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir definieren die Funktion <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und berechnen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>\u1ef9<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Daher ist auf Grund von Korollar <a href=\"..\/..\/chapter\/zentrale-saetze-der-differentialrechnung#x1-234001r33\">8.33<\/a> <math display=\"inline\"><mi>\u1ef9<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> f\u00fcr eine Konstante <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> und somit                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>\u1ef9<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> wie gew\u00fcnscht. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z114facab3a41\"> <a id=\"x1-253003r61\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 8.61 <\/span>(Inhomogene lineare Differentialgleichungen erster Ordnung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Intervall und seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Funktionen. Falls es eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der Differentialgleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt (die auch die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">partikul<\/span><span class=\"ecbi-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbi-1095\">re <\/span><span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung genannt wird), dann ist die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">inhom<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">von der Form <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">inhom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wobei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der homogenen Gleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"ze0b6542e5ec5\"> <a id=\"x1-253004r62\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 8.62.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\"><span class=\"ecti-1095\">8.61<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">. Vergleichen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\"><span class=\"ecti-1095\">8.61<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">des Weiteren mit folgender Tatsache<\/span> <span class=\"ecti-1095\">aus der linearen Algebra. Ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>V<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>W<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine lineare Abbildung zwischen Vektorr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">umen <\/span><math display=\"inline\"><mi>V<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>W<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber einem K<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rper <\/span><math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>v<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>V<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>W<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>v<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>w<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann ist jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u1e7d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>V<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u1e7d<\/mi> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>w<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von der Form <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u1e7d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>v<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>v<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>v<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">im Kern der Abbildung <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen       Sie       zuerst,       dass       jede       Funktion       der       Form<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung            ist            und            betrachten            Sie            dann<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r                             eine                             weitere                             L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der inhomogenen Gleichung.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\">8.61<\/a> ist nat\u00fcrlich nur dann interessant, wenn eine partikul\u00e4re L\u00f6sung bekannt ist. Ein n\u00fctzlicher Trick, um eine solche zu finden, ist die <span class=\"ecbx-1095\">Variation der Konstanten<\/span>. Hierbei nimmt man an, dass in der L\u00f6sung <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> der homogenen Gleichung <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> eine differenzierbare Funktion der Variable <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> statt einer Konstante ist. Das heisst, wir setzen <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> berechnen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und wollen also <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> l\u00f6sen. Dies f\u00fchrt zu <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mo> \u222b  <\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Zusammenfassend kann man also eine partikul\u00e4re L\u00f6sung der inhomogenen Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> finden, indem man eine Stammfunktion <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> findet und dann <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">setzt. <\/p><p class=\"indent\">Die allgemeine L\u00f6sung <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">inhom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> der inhomogenen Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> enth\u00e4lt nach Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\">8.61<\/a> eine unbekannte Konstante (die in einer L\u00f6sung der homogenen Gleichung versteckt ist). Wenn nun zus\u00e4tzlich ein Anfangswert <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> gegeben ist, dann kann man diesen zur Bestimmung der Konstante verwenden und dadurch das Anfangswertproblem l\u00f6sen. <\/p><p class=\"indent\">Um sich obiges Verfahren f\u00fcr das Anfangswertproblem <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> zu merken, kann man auch folgendes \u201eKochrezept\u201c durchlaufen, die zum Teil die Leibniz-Notation                                                                                                                                                                           verwenden und wegen obiger Diskussion zum richtigen Resultat f\u00fchren. <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecbx-1095\">Trennung der Variablen in der homogenen Gleichung:<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msubsup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\"> hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mfrac><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo>\u222b  <\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"qopname\">ln<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><\/msup><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecbx-1095\">Variation der Konstanten: <\/span>Mit dem Ansatz <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und der Differentialgleichung <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <mrow> <mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> erh\u00e4lt man eine Differentialgleichung f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecbx-1095\">Bestimmung der Konstanten: <\/span>Setze                                                                                                                                                                           <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> um <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> zu bestimmen.<\/p><\/div><\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken allerdings, dass der erste Schritt obiges Kochrezepts eigentlich nicht alle L\u00f6sungen lieferte. In der Tat haben wir zur Vereinfachung der Notation&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00b1<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> gesetzt, dann aber einfach von der Konstante&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> gesprochen, wodurch wir die triviale L\u00f6sung der homogenen Differentialgleichung&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> wiedergewonnen haben. Dieses und auch \u00e4hnliche Kochrezepte sind sp\u00e4ter sehr n\u00fctzlich um L\u00f6sungen zu finden. Einmal gefunden, ist es normalerweise auch ein leichtes zu \u00fcberpr\u00fcfen, ob eine Funktion eine L\u00f6sung darstellt (und dies wird \u00fcblicherweise auch der Fall sein). Doch sollten wir uns bewusst sein, dass das Kochrezept m\u00f6glicherweise nicht alle L\u00f6sungen liefert. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zcd9d02f7ea4b\"> <a id=\"x1-253005r63\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.63 <\/span>(Trennung der Variablen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten das Anfangswertproblem<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mi>y<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen.<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Nach Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253002r60\"><span class=\"ecti-1095\">8.60<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">berechnen wir zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><\/math> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo>\u222b  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi class=\"qopname\">d<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>C<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen somit <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als Stammfunktion. Die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der homogenen Differentialgleichung<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>x<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist somit von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Form <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Um eine partikul<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">re L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung zu finden, brauchen wir eine Stammfunktion der Funktion<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">, wobei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir setzen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">somit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der inhomogenen Gleichung ist nach Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-253003r61\"><span class=\"ecti-1095\">8.61<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">somit von der Form<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>x<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Unter Verwendung des<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Anfangswerts erhalten wir <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und somit ist die eindeutig bestimmte L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des obigen Anfangswertproblems<\/span> <span class=\"ecti-1095\">durch<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>x<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben. An dieser Stelle empfiehlt es sich durch Einsetzen zu <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berpr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">fen, dass<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">tats<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chlich eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung ist.<\/span><\/p><\/div><\/div> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3c4328f3f1f4\"> <a id=\"x1-253006r64\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 8.64.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Anfangswertproblems<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mi>y<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">auf dem Intervall <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>\u221e<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-253007r253\"><\/a> <h4 id=\"zec05350ad3a2\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">8.5.4 <\/span> <a id=\"x1-2540004\"><\/a>Zweite Ordnung<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir wollen in diesem Unterabschnitt den einfachsten Typ einer gew\u00f6hnlichen Differentialgleichung zweiter Ordnung betrachten, n\u00e4mlich lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten. Hierbei wird f\u00fcr vorgegebene <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> die Gleichung <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254001r14\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.14)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">als <span class=\"ecbx-1095\">homogene lineare gew<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">hnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">mit konstanten Koeffizienten <\/span>bezeichnet. F\u00fcr eine vorgegebene Funktion <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> wird <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">als <span class=\"ecbx-1095\">inhomogene lineare gew<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">hnliche Differentialgleichungen<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und St<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">rfunktion<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> bezeichnet. <\/p><p class=\"indent\">Bevor wir das allgemeine Verfahren zur Berechnung der L\u00f6sungen dieser Differentialgleichungen vorstellen, wollen wir zuerst einige Spezialf\u00e4lle betrachten, welche auch als Motivation f\u00fcr das allgemeine Verfahren betrachtet werden sollten.                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z988724590d49\"> <a id=\"x1-254002r65\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.65 <\/span>(Einige homogene Gleichungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die folgenden Behauptungen sind sehr leicht mit Differentiation <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berpr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">fbar. (Die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Anmerkungen zu den betrachteten Polynomen soll gewisse <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bereinstimmungen andeuten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und sollte zumindest nach der Besprechung des allgemeinen Verfahrens f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Sie Sinn<\/span> <span class=\"ecti-1095\">machen.)<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Differentialgleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind die Funktionen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen. (Die <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist die einzige<\/span> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der Gleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">.)<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Differentialgleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind die Funktionen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen der Gleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind gegeben durch <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">.)<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Differentialgleichung <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind die Funktionen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen. Ebenso sind die Funktionen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen, und auf Grund des Zusammenhangs zwischen der komplexen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Exponentialabbildung und den trigonometrischen Funktionen in Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-208003r72\"><span class=\"ecti-1095\">7.72<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">werden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dadurch die gleiche Menge an L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen beschrieben. (Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen der Gleichung<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind gegeben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo>  <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">.)<\/span><\/p><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Obige Beispiele legen den Ansatz <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr die L\u00f6sungen der Differentialgleichung nahe, wobei man <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> noch bestimmen muss (und dies nicht unbedingt alle L\u00f6sungen liefert). In der Tat das allgemeine Kochrezept f\u00fcr die L\u00f6sung der homogenen Differentialgleichung in (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>) besteht darin, dass wir die Koeffizienten der Differentialgleichung als Koeffizienten des sogenannten <span class=\"ecbx-1095\">charakteristischen<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Polynoms<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">verwenden. Anschliessend m\u00fcssen die Nullstellen der Gleichung <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> berechnet werden. <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls es zwei verschiedene Nullstellen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> gibt, so sind die Funktionen                                                                                                                                                                           <math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254006r15\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.15)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr beliebige Konstanten <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> L\u00f6sungen der homogenen Differentialgleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>). <\/p><\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls die Koeffizienten <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> reell sind und die Nullstellen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi><\/math> durch eine komplexe Zahl <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> und die Konjugierte <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><\/math> beschrieben werden, so sind die Funktionen <math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b2<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b3<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b2<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b3<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254007r16\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.16)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr beliebige Konstanten <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> L\u00f6sungen der homogenen Differentialgleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>). <\/p><\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls es nur eine Nullstelle <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> des charakteristischen Polynoms <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> gibt, so sind die Funktionen                                                                                                                                                                           <math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254008r17\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.17)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr beliebige Konstanten <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> L\u00f6sungen der homogenen Differentialgleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>).<\/p><\/div><\/div> <p class=\"indent\">Mit Hilfe der Ableitungsregeln l\u00e4sst sich nun \u00fcberpr\u00fcfen, dass dieses Verfahren in der Tat L\u00f6sungen liefert. Hierf\u00fcr ist der wichtigste Schritt die folgende Rechnung. Angenommen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> sind Konstanten, welche wir verwenden, um das Polynom <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> und die Funktion <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zu definieren. Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi><mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mi>y<\/mi><\/math> und deshalb <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was den Zusammenhang zwischen den Nullstellen des charakteristischen Polynom und den L\u00f6sungen der homogenen Differentialgleichung erkl\u00e4rt. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z8e389e6ac7c6\"> <a id=\"x1-254009r66\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 8.66 <\/span>(Homogene Gleichung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Menge der L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen der homogenen Differentialgleichung<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">auf<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einen Teilraum des Vektorraums aller zweimal differenzierbarer Funktionen auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bildet.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Funktionen in<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254006r15\">8.15<\/a>)<span class=\"ecti-1095\">,<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254007r16\">8.16<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">beziehungsweise<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254008r17\">8.17<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen von<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254001r14\">8.14<\/a>)<span class=\"ecti-1095\">sind.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass wir in den Spezialf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen von Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254002r65\"><span class=\"ecti-1095\">8.65<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">tats<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chlich alle L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der jeweiligen Differentialgleichung gefunden haben.<\/span><\/dd><\/dl> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Beweis von<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254007r16\">8.16<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">beweisen Sie zuerst<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254006r15\">8.15<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">und verwenden Sie anschliessend<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-208003r72\"><span class=\"ecti-1095\">7.72<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Beweis von<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254008r17\">8.17<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">berechnen Sie zuerst die erste und zweite Ableitung von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Beweis, dass in Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254002r65\"><span class=\"ecti-1095\">8.65<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">(c) alle L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen gefunden wurden,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">finden Sie lineare Differentialgleichungen erster Ordnung f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Funktionen<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo>  <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo>  <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bestimmen Sie alle L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen dieser Gleichungen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wir behandeln nun ein wichtiges Beispiel aus der Physik. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6deb81a6acb6\"> <a id=\"x1-254013r67\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.67 <\/span>(Ged\u00e4mpfte Schwingung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir bringen ein Gewicht an einer elastischen Feder an und w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen das Koordinatensystem, so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">dem Ruhezustand (wo sich das Gewicht nicht bewegt) entspricht.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=408&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z878d1e9e961f\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator.svg\" width=\"408\" \/><\/div>  <\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wollen die Position <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">des<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Gewichts als Funktion der Zeit <\/span><math display=\"inline\"><mi>t<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">betrachten. Nach den Newtonschen Grundgesetzen der Bewegung ist die zweite Ableitung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u00ff<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(nach der Zeit)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">multipliziert mit der Masse <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">des Gewichts gleich der Kraft, die auf das Gewicht wirkt. Eine Komponente dieser Kraft entsteht durch die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ausdehnung der Feder und orientiert sich in Richtung Ruhezustand. Nach dem Hookeschen Gesetz ist diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Kraft durch <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben, wobei <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Federkonstante genannt wird. Weiter wirken <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">blicherweise Reibungkr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">fte auf<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Bewegung. Wir nehmen an, dass die entsprechende Krafteinwirkung durch<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist, wobei <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die D<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mpfungskonstante ist. Die Differentialgleichung, die die Bewegung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Masse beschreibt, ist somit<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>m<\/mi><mi>\u00ff<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u00ff<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mi>y<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">was also eine gew<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnliche lineare homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung ist. Wir setzen zur Vereinfachung<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Notation <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Das charakteristische Polynom obiger Differentialgleichung ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">mit Nullstellen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00b1<\/mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msqrt><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind dies komplex<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konjugierte Nullstellen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00b1<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wobei <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msqrt> <mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><\/msqrt><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">In diesem Fall erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man somit L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen von der Form<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>B<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">siehe auch folgendes Bild.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=783&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator1tot.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"zbaa40da930a9\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator1tot.svg\" width=\"783\" \/><\/div> <a id=\"x1-254014r10\"><\/a> <a id=\"x1-254015\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;8.10:      <\/span><span class=\"content\">Die      unged\u00e4mpfte      Schwingung      links      (mit               <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>)               und            eine            ged\u00e4mpfte            Schwingung            (mit               <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>               und <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>)               rechts.                                                                                     &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls die Reibung stark ist und <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, dann wird die Schwingung zerst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rt \u2013 dies kann mit einem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">T<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rschliess-Mechanismus verglichen werden. Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen sind dann von der Form<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mi>t<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>B<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">, wobei<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msqrt><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msqrt> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msqrt><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msqrt> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Es gibt also<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in diesem Fall zwei potenziell sehr verschiedene L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungen, die unterschiedlich schnell zum Ruhezustand der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Feder (also <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">streben.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Der Grenzfall <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist nochmals anders, da wir in diesem Fall bis jetzt nur eine eindimensionale L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sungsmenge bestehend aus allen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Vielfachen von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gefunden haben. Mit obiger Anleitung erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man eine weitere L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><span class=\"ecti-1095\">, die linear<\/span> <span class=\"ecti-1095\">unabh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngig zu <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist (wieso?). In der Tat gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u1e8f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow> <mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u00ff<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>t<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und somit<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u00ff<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><msub><mrow><mi>\u1e8f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>t<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir wenden uns nun dem inhomogenen Problem zu, wobei wir annehmen wollen, dass die St\u00f6rfunktion <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> sich als Summe von Produkten von Polynomen und Exponentialabbildungen (oder auch dem Sinus und Kosinus) schreiben l\u00e4sst. In diesen F\u00e4llen k\u00f6nnen wir spezifische Ans\u00e4tze verwenden, um eine                                                                                                                                                                           erste L\u00f6sung der inhomogenen Differentialgleichung <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2033<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-254016r18\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(8.18)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">zu finden. Diese L\u00f6sung nennen wir auch die <span class=\"ecbx-1095\">partikul<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbx-1095\">re L<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbx-1095\">sung<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die allgemeine L\u00f6sung (mit zwei unbekannten Konstanten) der inhomogenen Differentialgleichung l\u00e4sst sich dann auf Grund der Linearit\u00e4t als Summe der allgemeinen L\u00f6sung der homogenen Differentialgleichung (mit zwei unbekannten Konstanten) und der partikul\u00e4ren L\u00f6sung schreiben. Wir beschreiben das Rezept zur Berechnung der partikul\u00e4ren L\u00f6sung, wobei <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> wiederum das charakteristische Polynom der homogenen Differentialgleichung darstellt: <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> vom Grad <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann definiert man <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wobei <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ein Polynom vom Grad&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> mit noch zu bestimmenden <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> Koeffizienten ist. Nun berechnet man die linke Seite von (<a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254016r18\">8.18<\/a>) setzt dies gleich <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> und verwendet diese Gleichung, um die Koeffizienten von <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> zu bestimmen. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> vom Grad <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann wiederholt man obiges Verfahren, allerdings mit dem Ansatz <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wobei <math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi><\/math> die Vielfachheit der Nullstelle <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> angibt. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> als eine Linearkombination von Ausdr\u00fccken wie oben dargestellt werden kann, dann k\u00f6nnen wir obiges Verfahren getrennt anwenden und die jeweiligen partikul\u00e4ren L\u00f6sungen der vereinfachten Differentialgleichungen addieren. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Falls <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> ist und wir an reellwertigen L\u00f6sungen einer Differentialgleichung mit reellen Koeffizienten interessiert sind, dann kann man <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b1<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> in obigen Diskussionen durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b2<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b3<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\">e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u03b2<\/mi><mi>x<\/mi><\/mrow><\/msup><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b3<\/mi><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u03b2<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b2<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math> ersetzen.<\/div><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z364d5c679abf\"> <a id=\"x1-254017r68\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.68 <\/span>(Partikul\u00e4re L\u00f6sungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten einige Spezialf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lle f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die obigen Ans<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tze.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zum Beispiel k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnten das charakteristische Polynom durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben sein. In diesem Fall ist der Skalar <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in der Exponentialfunktion des St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglieds keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und wir k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen den Ansatz <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r noch zu bestimmende Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">muss man allerdings den Ansatz <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r noch zu bestimmende Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden, da <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sehr wohl eine Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>T<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben ist, so muss man den Ansatz <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r noch zu bestimmende Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden, da <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(d)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>T<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben ist, so muss man den Ansatz <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r noch zu bestimmende Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>C<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden. Dies ergibt sich ebenso aus obigen F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen, denn <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und beide Skalaren <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind einfache Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Deswegen m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen wir den<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grad der Polynomfaktoren vor <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und vor <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">jeweils um <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">hen, was zu den getrennten Ans<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzen <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die partikul<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">re L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied <\/span><math display=\"inline\"> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><\/mfrac><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">beziehungsweise <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>D<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das St<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rglied <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><\/mfrac><mi>x<\/mi><mi class=\"qopname\">exp<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><mi>x<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrt. Wollen wir die Rechnung <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber die reellen Zahlen ausf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren, so betrachten wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stattdessen obigen Ansatz mit Sinus und Kosinus.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Wie bereits erw\u00e4hnt ergibt sich die allgemeine L\u00f6sung einer inhomogenen Differentialgleichung dann als die Summe einer partikul\u00e4ren L\u00f6sung und der allgemeinen L\u00f6sung der zugeh\u00f6rigen homogenen Differentialgleichung. Falls zus\u00e4tzlich Anfangsbedingungen in der Form <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> bekannt sind, so l\u00e4sst sich nun die L\u00f6sung des Anfangswertproblems mit Hilfe eines Gleichungssystems in den unbekannten Konstanten l\u00f6sen. Wir erproben dieses Verfahren im folgenden Beispiel. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z39da66162732\"> <a id=\"x1-254022r69\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 8.69 <\/span>(Ged\u00e4mpfte Schwingung mit periodischer Krafteinwirkung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir ver<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndern die homogene Differentialgleichung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u00ff<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">der ged<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mpften Schwingung aus Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254013r67\"><span class=\"ecti-1095\">8.67<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, indem wir eine periodische Krafteinwirkung der Form<\/span> <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">dem System hinzuf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">gen, wodurch wir die inhomogene Differentialgleichung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u00ff<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erhalten. Wir wollen nun eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Anfangswertproblems<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u00ff<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">finden, wobei die Anfangsbedingungen der unbewegten Ruhelage am Anfang entspricht.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung der homogenen Differentialgleichung haben wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bereits in Beispiel<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-differentialgleichungen#x1-254013r67\"><span class=\"ecti-1095\">8.67<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">diskutiert. Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten hier jedoch nur den Fall<\/span> <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besprechen. In diesem Fall ist die allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>A<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>B<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wobei <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msqrt> <mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><\/msqrt><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die partikul<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">re L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung machen wir den Ansatz<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>C<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>D<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u1e8f<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>C<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>D<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u00ff<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>C<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>D<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten also <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>D<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">so bestimmen, dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u00ff<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><msub><mrow><mi>\u1e8f<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>D<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>C<\/mi><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>C<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>D<\/mi><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">oder nach Vergleich der Koeffizienten (wieso geht das?), dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mi>d<\/mi> <\/mtd> <mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>C<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>D<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>a<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">in Matrixschreibweise. Falls die Determinante<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Null ist, sehen wir nach Inversion, dass die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Gleichungssystems durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>C<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>D<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mi>d<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi> <\/mtd> <mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mi>a<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>0<\/mn><\/mtd><\/mtr><\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none none none none none none none none none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>d<\/mi><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben ist, wodurch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir addieren zu <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">allgemeine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der homogenen Differentialgleichung, um eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu erhalten. Nun<\/span> <span class=\"ecti-1095\">setzen wir <\/span><math display=\"inline\"><mi>t<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sowohl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in der L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als auch ihrer Ableitung und erhalten gemeinsam mit den Anfangsbedingungen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>\u03b3<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Somit w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen wir die Konstanten <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>B<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>B<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>B<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>\u03b3<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>\u03b3<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>\u03b3<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Anfangswertproblems ist somit gegeben durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">hom<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>t<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msup><mrow><mi class=\"qopname\"> e<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mi>t<\/mi><\/mrow><\/msup> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>\u03b3<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><mi>d<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>\u03b3<\/mi><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Man kann in diesem einfachen Modell bereits einige physikalische Beobachtungen wiedererkennen.<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Bei positiver D<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mpfung <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">strebt die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung gegen eine Schwingung mit Frequenz der vorgegebenen Krafteinwirkung.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Die Amplitude dieser Schwingung ist durch <\/span><math display=\"inline\"> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><msqrt><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msup><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben (siehe die entsprechende <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung in Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-2240002\"><span class=\"ecti-1095\">7.9.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) und h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngt also linear von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der vorgegeben Amplitude der Krafteinwirkung ab. Sie wird gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sser, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nahe bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nahe bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=458&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator2sol1.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z5e451c06ac1c\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator2sol1.svg\" width=\"458\" \/><\/div>  <\/div> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Bei verschwindender D<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mpfung <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ergibt sich eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung, die eine <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berlagerung der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Eigenschwingung<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">des<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Systems und der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">vorgegebenen Schwingung<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Krafteinwirkung ist. Falls<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nahe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, dann k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen sich diese Schwingungen manchmal gleichzeitig verst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rken und manchmal<\/span> <span class=\"ecti-1095\">fast ausl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">schen, siehe folgendes Bild.<\/span> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=441&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator2sol2.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z87f39475aa85\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator2sol2.svg\" width=\"441\" \/><\/div>  <\/div> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt obige Diskussion nicht mehr. In diesem Fall ist eine partikul<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">re L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung durch<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">part<\/mi><mo>  <\/mo>  <\/mrow> <\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>t<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben (wieso?) und eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Anfangswertproblems durch<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>t<\/mi><mi class=\"qopname\">cos<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi class=\"qopname\"> sin<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>t<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Diese L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung ist also unbeschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt (unabh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngig davon wie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">klein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auch sein mag). Physikalisch begr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndet sich dies mit der Tatsache, dass die Krafteinwirkung<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit dem System im gleichen Takt ist und die Schwingung (bei Abwesenheit von Reibung)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">aufschaukelt.<\/span> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=408&amp;url=Pictures\/ableitung\/oscillator2sol3.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"zf932c76472e9\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/ableitung\/oscillator2sol3.svg\" width=\"408\" \/><\/div>  <\/div> <\/div><\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Ph<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nomene in diesem Beispiel werden als Resonanz bezeichnet und k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen in<\/span> <span class=\"ecti-1095\">verschiedenen Situationen beobachtet werden. Zum Beispiel kann sich die Schwingung von einer Saite<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einer Gitarre auf die gleiche Saite einer anderen Gitarre <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bertragen, ohne dass diese sich ber<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren<\/span> <span class=\"ecti-1095\">m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen. Denn durch Anzupfen der Saite auf der ersten Gitarre erzeugt man einen Ton,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der als Schwingung der Luft in einer gewissen Frequenz definiert werden kann. Diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Schwingung breitet sich aus und <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bt auf die gleiche Saite der zweiten Gitarre in der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">richtigen Frequenz eine Kraft aus, die zwar sehr klein ist, aber in der Frequenz mit der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Eigenschwingung der Saite der zweiten Gitarre <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bereinstimmt. Aus diesen Grund beginnt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Saite der zweiten Gitarre sichtbar zu schwingen. (Zur Not kann man dies auch nur<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit einer Gitarre beobachten, aber hierzu muss man auf zwei Saiten die gleiche Note<\/span> <span class=\"ecti-1095\">greifen.)<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z621a31caff70\"> <a id=\"x1-254023r70\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 8.70 <\/span>(Harmonischer Oszillator)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"408px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/QSRtrZrb\/width\/688\/height\/408\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sie k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen       sowohl       die       Koeffizienten       der       Differentialgleichung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u00ff<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi><mi>\u1e8f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>k<\/mi><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi class=\"qopname\">sin<\/mi><mo>  <\/mo><mi>t<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als                          auch                          die                          Anfangsbedingungen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u1e8f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">einstellen.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-254024r250\"><\/a> \n","protected":false},"author":1089,"menu_order":5,"template":"","meta":{"pb_show_title":"","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-90","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":85,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/90","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/90\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/85"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/90\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=90"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=90"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=90"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=90"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}