{"id":76,"date":"2021-12-15T09:53:16","date_gmt":"2021-12-15T09:53:16","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/reihen\/"},"modified":"2021-12-15T09:53:16","modified_gmt":"2021-12-15T09:53:16","slug":"reihen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/reihen\/","title":{"raw":"Reihen","rendered":"Reihen"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; border-left: 0; border-right: 0; }\ncenter { margin-top:1em; margin-bottom:1em; }\ntd center { margin-top:0em; margin-bottom:0em; }\n.Canvas { position:relative; }\nmath { text-indent: 0em; }\nli p.indent { text-indent: 0em }\nli p:first-child{ margin-top:0em; }\nli p:last-child, li div:last-child { margin-bottom:0.5em; }\nli p~ul:last-child, li p~ol:last-child{ margin-bottom:0.5em; }\n.enumerate1 {list-style-type:decimal;}\n.enumerate2 {list-style-type:lower-alpha;}\n.enumerate3 {list-style-type:lower-roman;}\n.enumerate4 {list-style-type:upper-alpha;}\n.obeylines-h,.obeylines-v {white-space: nowrap; }\ndiv.obeylines-v p { margin-top:0; margin-bottom:0; }\n.overline{ text-decoration:overline; }\n.overline img{ border-top: 1px solid black; }\ntd.displaylines {text-align:center; white-space:nowrap;}\n.centerline {text-align:center;}\n.rightline {text-align:right;}\npre.verbatim {font-family: monospace,monospace; text-align:left; clear:both; }\n.fbox {padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style>\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zf2f4ac32ee49\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1 <\/span> <a id=\"x1-1870001\"><\/a>Reihen<\/h3> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zf3f4e1c712ac\"> <a id=\"x1-187001r1\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 7.1 <\/span>(Reihen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die <span class=\"ecbx-1095\">(unendliche) Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> betrachten, wobei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> das <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecbx-1095\">-te Glied <\/span>oder der <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecbx-1095\">-te Summand <\/span>der Reihe genannt wird. F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist die <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math>-te <span class=\"ecbx-1095\">Partialsumme<\/span> der Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> gegeben. Wir nennen die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">konvergent<\/span>, falls der Grenzwert <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">in <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> existiert, wobei wir diesen dann als <span class=\"ecbx-1095\">Wert der Reihe <\/span>bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe                                                                                                                                                                           <span class=\"ecbx-1095\">divergent<\/span>. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Eine kleine Warnung: Mit \u201eSei <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine Reihe \u2026\u201c meinen wir trotz der Notation nicht wirklich, dass <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> effektiv eine Zahl darstellt. Vor allem bevor wir wissen, ob die Reihe konvergent ist, ist <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> vielmehr als formales Objekt zu verstehen (gewissermassen als die Folge der Partialsummen), dessen Konvergenzeigenschaften wir untersuchen wollen.<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Manche Autoren verwenden in diesem Zusammenhang auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr die Reihe als formales Objekt, welches mit der Folge der Partialsummen identifiziert werden kann, und <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr den Wert der Reihe.<\/span><\/span> Der erste Summand der Reihe muss nicht immer dem Index <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> zugeordnet sein und obige Definition ist in solchen F\u00e4llen entsprechend anzupassen. <\/p><p class=\"indent\">Eine einfache aber auch sehr wichtige Eigenschaft konvergenter Reihen ist in folgender Proposition enthalten. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z10d3fe2ac3f3\"> <a id=\"x1-187002r2\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 7.2 <\/span>(Nullfolgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert, dann ist die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Nullfolge<\/span><span class=\"ecti-1095\">, das heisst <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Nach  Annahme  haben  die Partialsummen&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> einen Grenzwert&nbsp;<math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"qopname\"> \u2211<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und damit gilt ebenso                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zcd78947d76d4\"> <a id=\"x1-187003r3\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.3 <\/span>(Geometrische Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">geometrische Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(oder<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">) konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">genau dann, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist. In diesem Fall ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">In der Tat impliziert Konvergenz der Reihe mittels Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187002r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Umgekehrt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf Grund der geometrischen Summenformel in Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-80001r8\"><span class=\"ecti-1095\">3.8<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und der Konvergenz der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">geometrischen Folge in Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-146012r34\"><span class=\"ecti-1095\">5.34<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z39e611825fc7\"> <a id=\"x1-187004r4\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.4 <\/span>(Harmonische Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Umkehrung von Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187002r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">gilt nicht. Beispielsweise ist die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">harmonische Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">divergent.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir beweisen die Divergenz mit einer konkreten Absch<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzung.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sei<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt die Partialsumme der harmonischen Reihe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Absch<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>7<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>9<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><munder accentunder=\"false\"><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><mo>\ufe38<\/mo><\/munder> <\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/munder> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><munder accentunder=\"false\"><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><mo>\ufe38<\/mo><\/munder> <\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/munder> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><munder accentunder=\"false\"><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><mo>\ufe38<\/mo><\/munder> <\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/munder> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Da<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">beliebig war, erkennen wir, dass die Partialsummen nicht beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt sind, und daher ist die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">harmonische Reihe divergent.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir pr\u00e4sentieren noch eine kleine Anwendung der Divergenz der harmonischen Reihe aus dem Alltag. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z686ab685e49b\"> <a id=\"x1-187005r5\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.5 <\/span>(Harmonischer Springturm)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wollen am Rande des Z<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">richsees einen Springturm bauen, der aus einzelnen quaderf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rmigen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Bausteinen (von gleicher Form und gleichem Material) besteht und m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glichst weit in den<\/span> <span class=\"ecti-1095\">See hineinragen soll. Wie weit k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir kommen, ohne die Bausteine aneinander oder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">an das ebene, <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">usserst stabile, am Uferrand liegende Fundament zu befestigen? Wir wollen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Bausteine von 2 Metern L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nge verwenden und rechnen von oben weg jeweils aus, wie weit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Bausteine  zueinander  verschoben  sein  d<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rfen,  ohne  dass  der  Turm  einst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rzt.  F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sehen wir          in          Figur          <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187006r1\"><span class=\"ecti-1095\">7.1<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">,          dass          der          Baustein<\/span> <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in den See ragen kann.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=494&amp;url=Pictures\/reihen\/springturm1.pdf\"><img id=\"z253a2ea952b2\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/reihen\/springturm1.svg\" width=\"494\"><\/div> <a id=\"x1-187006r1\"><\/a> <a id=\"x1-187007\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;7.1:                             <\/span><span class=\"content\">Der                             Schwerpunkt               <math display=\"inline\"><mi>s<\/mi><\/math>             des  Bausteins  muss  oberhalb  des  Ufers  liegen,  denn  sonst  kippt  der               Stein in den See. Wir wollen im Folgenden immer den Grenzfall, wo               der  Schwerpunkt  genau  \u00fcber  dem  Uferrand  liegt,  ebenso  als  stabil               erkl\u00e4ren.                                                                                 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir schieben jetzt einen Baustein von unten ein und wollen beide Bausteine soweit wie m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glich<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in den See schieben.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=718&amp;url=Pictures\/reihen\/springturm23.pdf\"><img id=\"z54b8f2a770ba\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/reihen\/springturm23.svg\" width=\"718\"><\/div> <a id=\"x1-187008r2\"><\/a> <a id=\"x1-187009\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;7.2: <\/span><span class=\"content\">Bei beiden Steinen gibt es jetzt auch zwei Punkte, bei denen               der Turm kippen und zumindest teilweise in den See st\u00fcrzen k\u00f6nnte.               Der obere Kipppunkt ist kein Problem, da wir beide Steine gemeinsam               verschoben haben und somit den Schwerpunkt des oberen Steins genau               am Rand des unteren liegt.                                                          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Um zu bestimmen, wie weit man beide Steine in Richtung See schieben darf,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">berechnen wir den Schwerpunkt der beiden Steine gemeinsam. Hierf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r verwenden wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein geeignetes Koordinatensystem; n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mlich messen wir nach rechts vom Uferrand (also<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der linken Kante des unteren Steins) aus \u2013 siehe dazu das linke Bild in Figur <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187008r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Der Schwerpunkt des oberen Steins hat in diesem Koordinatensystem die Koordinate<\/span> <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">, der untere die Koordinate<\/span> <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und damit beide zusammen die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Koordinate <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math><span class=\"ecti-1095\">. Also k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">beide <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in Richtung See verschieben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und kommen somit total <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in den See hinein.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir heben jetzt diese beiden an und f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">gen einen weiteren Stein so hinzu, dass die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">linke Kante genau unter dem Schwerpunkt der ersten zwei und damit am Uferrand<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu liegen kommt. Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen also wieder den gemeinsamen Schwerpunkt dieser<\/span> <span class=\"ecti-1095\">drei Steine bestimmen. Die oberen beiden haben den gemeinsamen Schwerpunkt<\/span> <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">, der untere hat<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Koordinate <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und somit haben alle drei zusammen den Schwerpunkt<\/span> <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir verschieben also alle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">drei um <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in Richtung See, was<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine totale Verschiebung von <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ergibt, und wiederholen den Vorgang so oft wie wir wollen. Da aber die Partialsummen der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">harmonischen Reihe unbeschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt sind, k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir damit beliebig weit in den See hineinbauen.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Eine interaktive Darstellung dieses Vorgehens findet man unter diesem <\/span><a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/CTgwbbPc\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span class=\"ecti-1095\">Link<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und ein Video unter<\/span> <a href=\"http:\/\/www.etudes.ru\/en\/etudes\/stairway\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span class=\"ecti-1095\">diesem<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Praxis ist diese Methode kaum zu empfehlen, zum einen haben wir das Gewicht des Turmspringers<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ignoriert, und weiters haben wir nicht beschrieben, wie hoch der Turm wirklich wird, wenn wir auch nur<\/span> <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in den See hineinreichen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wollen (da in diesem Fall <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>2<\/mn><mn>3<\/mn><mn>6<\/mn><mn>7<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Bausteine notwendig sind).<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Die folgenden drei Lemmata sind einfache Konsequenzen der Definition der Konvergenz von Reihen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z8facb8a5fb18\"> <a id=\"x1-187010r6\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 7.6 <\/span>(Linearit\u00e4t)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergente<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Reihen und <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sind die Reihen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent und es gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Also bilden konvergente Reihen einen Vektorraum<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und der Wert der Reihe stellt eine lineare Abbildung auf diesem Vektorraum<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nach<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">dar.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zc8fe99aa0cf5\"> <a id=\"x1-187011r7\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.7.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187010r6\"><span class=\"ecti-1095\">7.6<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zfdf281c16e97\"> <a id=\"x1-187012r8\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 7.8 <\/span>(Indexverschiebung f\u00fcr Reihen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Reihe.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist die Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>N<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann konvergent,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wenn die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent ist. In diesem Fall gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Insbesondere zeigt Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187012r8\">7.8<\/a>, dass das Konvergenzverhalten einer Reihe sich nicht \u00e4ndert, wenn endlich viele Glieder der Reihe weggelassen, hinzugef\u00fcgt oder ge\u00e4ndert werden. Wir werden diese zentrale Eigenschaft oft und deswegen mitunter auch implizit verwenden. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> gilt                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Insbesondere konvergieren die Partialsummen von <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> genau dann, wenn die Partialsummen von <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> konvergieren und das Lemma folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z8c158bd95fc6\"> <a id=\"x1-187013r9\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 7.9 <\/span>(Zusammenfassen von <span class=\"ecti-1095\">benachbarten <\/span>Gliedern)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvergente Reihe und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine streng monoton wachsende Folge nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlicher Zahlen. Definiere<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Die <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math>-te Partialsumme von <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>K<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>K<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>K<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>K<\/mi><\/mrow><\/msub> <\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Somit bilden die Partialsummen von <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine Teilfolge der konvergenten Folge der Partialsummen von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z29d1d01ae336\"> <a id=\"x1-187014r10\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.10.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Umkehrung von Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187013r9\"><span class=\"ecti-1095\">7.9<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">gilt im Allgemeinen nicht. Beispielsweise ist die Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nach Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187002r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">divergent, aber die Reihe <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die aus zusammengef<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">gten Gliedern von <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besteht, ist konvergent, da jedes Glied Null ist.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-187015r185\"><\/a> <h4 id=\"zc7565730823e\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1.1 <\/span> <a id=\"x1-1880001\"><\/a>Reihen mit nicht-negativen Gliedern<\/h4> <p class=\"noindent\">F\u00fcr Reihen mit nicht-negativen Gliedern gilt folgende fundamentale Eigenschaft. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zfd1f56a74f94\"> <a id=\"x1-188001r11\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 7.11 <\/span>(Monotone Partialsummen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nicht-negativen Gliedern <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bilden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Partialsummen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine monoton wachsende Folge. Falls diese Folge der Partialsummen beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt ist, dann konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Reihe <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ansonsten gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Insbesondere k\u00f6nnen wir f\u00fcr die harmonische Reihe in Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187004r4\">7.4<\/a> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">schreiben. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Aus&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> folgt&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls die Partialsummen&nbsp;<math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> zus\u00e4tzlich noch beschr\u00e4nkt sind, dann sind diese (und damit auch die Reihe) konvergent nach Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-158001r5\">6.5<\/a>. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zcc94befa140a\"> <a id=\"x1-188002r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Korollar 7.12 <\/span>(Vergleichssatz)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei Reihen mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Eigenschaft <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und insbesondere gelten die Implikationen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;konvergent&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;konvergent&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;divergent&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;divergent&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Diese beiden Implikationen treffen auch dann zu, wenn<\/span> <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nur f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">hinreichend grossen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Man nennt unter den Annahmen des Korollars die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine Majorante der Reihe <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und letztere auch eine Minorante der Reihe <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>                                                                                                                                                                           Daher spricht man auch von dem <span class=\"ecbx-1095\">Majoranten- <\/span>und dem <span class=\"ecbx-1095\">Minorantenkriterium<\/span>. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Aus <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> folgt <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Somit gilt nach Monotonie der Folge der Partialsummen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Die letzte Aussage der Proposition ist nun eine Konsequenz von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187012r8\">7.8<\/a> (wieso?). <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z8c1426840882\"> <a id=\"x1-188003r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.13.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Annahme in Korollar <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188002r12\"><span class=\"ecti-1095\">7.12<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass die Reihen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht-negative Glieder haben, notwendig ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z067ad79fa92a\"> <a id=\"x1-188004r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.14 <\/span>(Reihe der Kehrwerte der Quadratzahlen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvergent. Tats<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chlich gilt <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist konvergent,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">da deren <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-te<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Partialsumme unter Aufl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen einer Teleskopsumme (siehe Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-780001\"><span class=\"ecti-1095\">3.1.1<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zcecb4d957655\"> <a id=\"x1-188005r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.15 <\/span>(Reihenkonvergenz und Folgenasymptotik)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten die Reihe<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und wollen zeigen, dass diese konvergiert. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r dies bemerken wir,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">im Wesentlichen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sich wie<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verhalten sollte.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Genauer formuliert gilt<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>O<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(siehe Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/landau-notation#x1-1820006\"><span class=\"ecti-1095\">6.6<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) da<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2215<\/mo><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Daher gibt es ein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>M<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wieso?)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und ein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Verwenden wir nun Korollar<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188002r12\"><span class=\"ecti-1095\">7.12<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und Beispiel<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188004r14\"><span class=\"ecti-1095\">7.14<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">ergibt sich die Konvergenz<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z95bd2438deeb\"> <a id=\"x1-188006r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 7.16 <\/span>(Verdichtung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Eine                                                                                                  Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit nicht-negativen,             monoton             abnehmenden             Gliedern<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist                   genau                   dann                   konvergent,                   wenn<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent ist.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Es gelten auf Grund der angenommenen Monotonie von <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> die Ungleichungen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mn>2<\/mn><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>2<\/mn><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>8<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>7<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und allgemeiner <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> F\u00fcr die Summen ergibt sich daher die Ungleichung                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und wir erhalten die Proposition durch den Grenz\u00fcbergang <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> und Korollar&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188002r12\">7.12<\/a>. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z35780c8dfb13\"> <a id=\"x1-188007r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.17 <\/span>(<math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><\/math>-Test)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">genau dann, wenn <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist<\/span> <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die Reihe nach Proposition<\/span> <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187002r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">somit divergent. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die Reihe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">divergiert nach Korollar <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188002r12\"><span class=\"ecti-1095\">7.12<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, da die harmonische Reihe divergiert. Wir wenden nun Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188006r16\"><span class=\"ecti-1095\">7.16<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">an. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><math display=\"inline\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><msub><mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine monoton abnehmende Folge und wir erhalten aus Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188006r16\"><span class=\"ecti-1095\">7.16<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann konvergiert, wenn<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">konvergiert. Diese geometrische Reihe konvergiert aber nach Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187003r3\"><span class=\"ecti-1095\">7.3<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">genau dann, wenn<\/span> <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3bc44242c1fb\"> <a id=\"x1-188008r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.18.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass die Reihe<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann konvergiert, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Ist die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>3<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"qopname\">log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent oder divergent?<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zfd337a1a763c\"> <a id=\"x1-188011r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.19 <\/span>(q-\u00e4re Darstellungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. In<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-79003r7\"><span class=\"ecti-1095\">3.7<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">haben wir gezeigt, dass jede ganze Zahl eine Ziffernentwicklung zur Basis<\/span> <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besitzt.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">In dieser <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung wollen wir die analoge Aussage f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r reelle Zahlen formulieren und beweisen. Sei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wegen <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-79003r7\"><span class=\"ecti-1095\">3.7<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">wollen wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sogar annehmen, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sie, dass eine Folge von Ziffern <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert, so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert und <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">darstellt im Sinne von<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Sind die Ziffern <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oben eindeutig bestimmt?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">\u230a<\/mo><mi>q<\/mi><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">\u230b<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann gilt<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac> <mrow> <msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wieso?).<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Betrachten Sie nun <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">\u230a<\/mo><mi>q<\/mi><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">\u230b<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">\u230a<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">\u230b<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wieder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac> <mrow> <msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><span class=\"ecti-1095\">, was<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nun aber <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren Sie diese Argumentation iterativ fort und finden Sie eine Folge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-188012r188\"><\/a> <h4 id=\"z3368ea8662f0\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1.2 <\/span> <a id=\"x1-1890002\"><\/a>Bedingte Konvergenz<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir sagen, dass eine Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> mit komplexen Summanden <span class=\"ecbx-1095\">absolut konvergiert<\/span>, falls die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> konvergiert. Die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist <span class=\"ecbx-1095\">bedingt konvergent<\/span>, falls sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. <\/p><p class=\"indent\">Wie wir im n\u00e4chsten Abschnitt besprechen werden, haben absolut konvergente Reihen, im Gegensatz zu bedingt konvergenten Folgen, sehr robuste Eigenschaften. Inwiefern letztere \u00fcber gewisse (widerspr\u00fcchlich erscheinende) Eigenheiten verf\u00fcgen, wollen wir in diesem Teilabschnitt erkl\u00e4ren. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z1d6396b32136\"> <a id=\"x1-189001r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.20 <\/span>(Alternierende harmonische Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wollen zuerst zeigen, dass die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">alternierende harmonische Reihe<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">bedingt konvergiert. Nach Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187004r4\"><span class=\"ecti-1095\">7.4<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">divergiert die harmonische Reihe<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">(nach unendlich). Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen also nur noch Konvergenz der alternierenden Reihe beweisen. Wir betrachten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zuerst zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die <\/span><math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-te<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Partialsumme<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist somit monoton wachsend und beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt (wegen Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188004r14\"><span class=\"ecti-1095\">7.14<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) und konvergiert damit. Wegen<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert aber ebenso<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und gegen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">den gleichen Limes.<\/span><button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 <span class=\"ecti-1095\">Wir werden den Wert dieser Reihe erst sp<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ter berechnen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen.<\/span><\/span><\/span> <span class=\"ecti-1095\">Also konvergiert die Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wieso?). Des Weiteren<\/span> <span class=\"ecti-1095\">folgt <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><span class=\"ecti-1095\">, da nach obigem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Argument die Partialsumme <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als Summe von positiven Summanden geschrieben werden kann, wovon der erste Term gleich<\/span> <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Folgender Satz mag zuerst \u00fcberraschend sein und zeigt, dass man mit bedingter Konvergenz vorsichtig umgehen muss, da diese sehr zerbrechliche Eigenschaften besitzt. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6643cd5920c3\"> <a id=\"x1-189002r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 7.21 <\/span>(Riemannscher Umordnungssatz)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern. Dann gibt es zu jedem <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine bijektive Funktion (eine Umordnung) <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03c6<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bedingt konvergiert und <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist. Weiters gibt es eine Umordnung der Reihe, die divergiert.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z995a04c25a4e\"> <a id=\"x1-189003r22\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.22 <\/span>(Umordnen der alternierenden harmonischen Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir ordnen die alternierende harmonische Reihe um und erhalten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir bemerken, dass die so erhaltene Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und den halben Wert der alternierenden harmonischen Reihe annimmt. Hierbei sind die Klammern<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als Hilfestellung gedacht, denn rechnet man die Klammern aus, so erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man die Reihe in der jeder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Summand genau die H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lfte der Summanden der alternierenden harmonischen Reihe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ausmacht. L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst man hingegen die Klammern weg, so erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man die umgeordnete Reihe der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alternierenden harmonischen Reihe. Des Weiteren weiss man f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r diese Reihe, dass die Teilfolge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">der Partialsummen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert. Da aber <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Nullfolgen sind, k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir daraus schliessen, dass die umgeordnete Reihe konvergiert und den<\/span> <span class=\"ecti-1095\">halben Wert der urspr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">nglichen Reihe hat.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Da dieser Satz eher negativer Natur ist, begn\u00fcgen wir uns mit einer Beweisskizze und verweisen auf <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xwalter\">Wal04<\/a>, Satz 5.17]<\/span>. Sei also <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine bedingt konvergente Reihe (wobei es helfen k\u00f6nnte, an <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math> zu denken). Dann gilt <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> nach Annahme. Wir teilen die nat\u00fcrlichen Zahlen <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in die zwei Mengen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">auf. Dann m\u00fcssen <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> beide unendliche Kardinalit\u00e4t haben, denn wenn zum Beispiel <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> endlich w\u00e4re, dann w\u00fcrden sich <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> nur um endlich viele Terme unterscheiden. (F\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math>                                                                                                                                                                           w\u00e4re <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>) Wir z\u00e4hlen die Elemente in <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> so auf, dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Weiters ist <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Denn falls beide Summen endlich w\u00e4ren, dann w\u00e4re <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> W\u00e4re zum Beispiel <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> aber <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann w\u00e4re auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> (F\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math> sind diese beiden Reihen <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>)                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr ein gegebenes <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> konstruieren wir die bijektive Abbildung <math display=\"inline\"><mi>\u03c6<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gemeinsam mit der Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> auf folgende Weise. <\/p><p class=\"indent\">Wir beginnen die Reihe mit den ersten nicht-negativen Gliedern <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und w\u00e4hlen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> minimal, so dass die obige Summe gr\u00f6sser als <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> ist (was wegen<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math> m\u00f6glich ist). Anschliessend addieren wir die ersten negativen Glieder und w\u00e4hlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass die Summe <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">kleiner als <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> ist. Als n\u00e4chstes addieren wir, beginnend mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> nicht-negative Terme, um die Summe gr\u00f6sser als <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> werden zu lassen. Wir f\u00fchren dies fort und weil <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           k\u00f6nnen wir immer wieder nach endlich vielen Summanden von der einen Seite von <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> zu der anderen Seite von <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> wechseln. Da noch dazu <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> gilt, werden die einzelnen Schritte \u00fcber <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> hinweg immer kleiner und wir k\u00f6nnen auf diese Art <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> als Grenzwert der umgeordneten Folge realisieren. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zbafa6ff54254\"> <a id=\"x1-189004r23\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.23.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen Sie die unterlassenen Schritte am Ende der obigen Beweisskizze ein, um einen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigen Beweis von Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189002r21\"><span class=\"ecti-1095\">7.21<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">zu erhalten.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Falls Sie jetzt denken, dass der Riemann\u2019sche Umordnungssatz (Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189002r21\">7.21<\/a>) einen Widerspruch in der Mathematik darstellt, dann t\u00e4uschen Sie sich. Denn wir haben eine klare Definition f\u00fcr den Wert einer Reihe in Definition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187001r1\">7.1<\/a> ausformuliert. Wir haben auch besprochen, wie sich das Zusammenfassen von benachbarten (!) Gliedern einer Reihe f\u00fcr diese Definition auswirkt (siehe Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187013r9\">7.9<\/a>) \u2013 hierbei geht man von der urspr\u00fcnglichen Folge der Partialsummen zu einer Teilfolge der Partialsummen \u00fcber und weder das Konvergenzverhalten noch der Wert \u00e4ndern sich hier. Was hingegen passiert mit der Folge der Partialsummen, wenn sie die Summanden mittels einer beliebigen Bijektion&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u03c6<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> permutieren? Dies ist unm\u00f6glich zu beantworten, denn es gibt im Allgemeinen \u00fcberhaupt keinen Zusammenhang zwischen der Folge&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> der Partialsummen der urspr\u00fcnglichen Reihe&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und der Folge&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> der Partialsummen der permutierten Reihe&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> (da der Riemann\u2019sche Umordnungssatz ja zeigt, dass wir das Konvergenzverhalten auf diese Weise komplett \u00e4ndern k\u00f6nnen). <\/p><p class=\"indent\">Wir sind immer mittels formaler Definitionen und Beweise vorgegangen und versuchen nat\u00fcrlich auch ein intuitives Verst\u00e4ndnis f\u00fcr die so entstehenden Theorien zu entwickeln, doch wenn es (wie zum Beispiel hier) zu einer Diskrepanz zwischen unseren S\u00e4tzen und unserer Anschauung kommt, dann m\u00fcssen wir daran arbeiten unsere Anschauung den gegebenen Fakten (also Definitionen und S\u00e4tzen) anzupassen. F\u00fcr den Fall einer bedingt konvergenten Reihe m\u00fcssen wir uns daran erinnern, dass der Wert der Reihe nicht als die Summe aller Summanden definiert wurde \u2013 wie sollen wir denn unendlich viele Additionen gleichzeitig durchf\u00fchren? Stattdessen wurde der Wert der Reihe als der Grenzwert der Partialsummen definiert und f\u00fcr diese Definition m\u00fcssen wir die                                                                                                                                                                           Reihenfolge der Summanden kennen. \u00c4ndert sich die Reihenfolge, dann k\u00f6nnte sich dies auf die Definition auswirken (was bei bedingt konvergenten Reihen auf Grund von Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189002r21\">7.21<\/a> in der Tat der Fall ist). <\/p><p class=\"indent\">Bedingt konvergente Reihen sind f\u00fcr uns am Rande interessant, da wir zum Beispiel zeigen werden, dass die alternierende harmonische Reihe den Wert&nbsp;<math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo>  <mn>2<\/mn><\/math> hat. Doch die weitaus meisten Reihen, die wir betrachten werden, werden absolut konvergent sein und robusteres Verhalten zeigen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zdbfe4fc7ca4a\"> <a id=\"x1-189005r24\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 7.24 <\/span>(Drei Reihen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><\/p><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"400px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/qW7hfXfQ\/width\/688\/height\/400\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir stellen in diesem Applet die harmonische Reihe, die alternierende harmonische Reihe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und die Reihe mit den reziproken Quadratzahlen gegen<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber und sehen drei unterschiedliche<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Verhaltensweisen. Erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren Sie diese Unterschiede. Wie nennen wir diese Verhaltensweisen?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">(*)<\/span><\/p><\/details><span class=\"ecti-1095\">Wir schreiben im Fall der alternierenden harmonischen Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Summe der positiven beziehungsweise negativen Summanden in der Partialsumme<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msubsup><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msubsup><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>  <\/div> <a id=\"x1-189006r189\"><\/a> <h4 id=\"z384dc7669520\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1.3 <\/span> <a id=\"x1-1900003\"><\/a>Alternierende Reihen<\/h4> <p class=\"noindent\">Das in Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189001r20\">7.20<\/a> aufgetretene Ph\u00e4nomen tritt auch in folgendem Resultat auf (welches wegen der sehr einfachen Absch\u00e4tzung auch f\u00fcr absolut konvergente Reihen von Interesse sein wird). F\u00fcr eine Folge&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> positiver Zahlen bezeichnen wir die Reihe&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> als eine <span class=\"ecbx-1095\">alternierende <\/span>Reihe. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"ze2f034d3c25b\"> <a id=\"x1-190001r25\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 7.25 <\/span>(Leibniz-Kriterium)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Gegeben sei eine monoton fallende Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">positiver Zahlen, die gegen Null konvergiert. Dann konvergiert die zugeh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rige alternierende Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt, dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-190002r1\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(7.1)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Weiters ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Absch\u00e4tzungen des Typs (<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-190002r1\">7.1<\/a>) werden meist auch als Fehlerabsch\u00e4tzungen oder Fehlerschranken bezeichnet. Intuitiv beschreibt man damit, wie gross der Fehler h\u00f6chstens ist, wenn man anstatt des Wertes der Reihe nur die Summe bis zu einem gewissen Glied (als Approximation gewissermassen) betrachtet. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">\u00c4hnlich wie in Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189001r20\">7.20<\/a> spielen wir die Folge der Partialsummen zu geraden und ungeraden Indices gegeneinander aus. F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Es gilt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Insbesondere ist die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> monoton fallend und die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist monoton wachsend. Wegen&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und der Monotonieeigenschaften gilt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Somit ist <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> von oben beschr\u00e4nkt und damit konvergent. Analog ist auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> von unten beschr\u00e4nkt und konvergent. Wir fassen die erhaltenen Erkenntnisse in folgendem Bild zusammen. <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=574&amp;url=Pictures\/reihen\/leibnizkrit1.pdf\"><img id=\"za80b80e049df\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/reihen\/leibnizkrit1.svg\" width=\"574\"><\/div>  <\/div> <p class=\"indent\">Da aber <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> gegen Null konvergiert, haben die Folgen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> wegen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> den gleichen Grenzwert. Insbesondere konvergiert die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> (wieso?). <\/p><p class=\"indent\">Wir zeigen nun die Fehlerabsch\u00e4tzung und die behauptete Ungleichung. F\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt auf Grund der besprochenen Monotonieeigenschaften, dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">F\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/math> ist aber&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> und wir erhalten&nbsp;(<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-190002r1\">7.1<\/a>) . F\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ungerade, gilt ebenso&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> woraus sich&nbsp;(<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-190002r1\">7.1<\/a>) ergibt. Dies beweist die Fehlerabsch\u00e4tzung sowohl f\u00fcr einen geraden als auch f\u00fcr einen ungeraden Index und damit die Proposition. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <a id=\"x1-190003r190\"><\/a> <h4 id=\"zf807985fe74d\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1.4 <\/span> <a id=\"x1-1910004\"><\/a>Das Cauchy-Kriterium<\/h4> <p class=\"noindent\">Der n\u00e4chste Satz \u00fcbernimmt den Grossteil unserer Vorarbeiten \u00fcber reellwertige und komplexwertige Folgen und gibt uns f\u00fcr den weiteren Aufbau der Theorie ein sehr wichtiges und genaues Kriterium f\u00fcr die Konvergenz von Reihen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zb07e1b518e53\"> <a id=\"x1-191001r26\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 7.26 <\/span>(Cauchy-Kriterium)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">genau dann, wenn es zu jedem <\/span><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt, so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt ist.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Dies folgt aus dem Cauchy-Kriterium f\u00fcr Folgen (Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/cauchy-folgen#x1-163001r26\">6.26<\/a>) angewendet auf die Folge der Partialsummen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"maketag\"><mtext \/><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle class=\"label\" id=\"x1-191003r1\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z65b5e839cd6a\"> <a id=\"x1-191004r27\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.27 <\/span>(Harmonische Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Um die Divergenz der harmonischen Reihe zu sehen, k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir auch das Cauchy-Kriterium verwenden.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wir setzen dazu <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein beliebiges <\/span><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt dann<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>N<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>N<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>N<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">was wegen dem Cauchy-Kriterium f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Reihen (Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-191001r26\"><span class=\"ecti-1095\">7.26<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) die Divergenz impliziert.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-191005r187\"><\/a> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: 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{border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zf2f4ac32ee49\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1 <\/span> <a id=\"x1-1870001\"><\/a>Reihen<\/h3> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zf3f4e1c712ac\"> <a id=\"x1-187001r1\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 7.1 <\/span>(Reihen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Wir wollen die <span class=\"ecbx-1095\">(unendliche) Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> betrachten, wobei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> das <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecbx-1095\">-te Glied <\/span>oder der <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><span class=\"ecbx-1095\">-te Summand <\/span>der Reihe genannt wird. F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist die <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math>-te <span class=\"ecbx-1095\">Partialsumme<\/span> der Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> gegeben. Wir nennen die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">konvergent<\/span>, falls der Grenzwert <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">in <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> existiert, wobei wir diesen dann als <span class=\"ecbx-1095\">Wert der Reihe <\/span>bezeichnen. Ansonsten nennen wir die Reihe                                                                                                                                                                           <span class=\"ecbx-1095\">divergent<\/span>. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Eine kleine Warnung: Mit \u201eSei <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine Reihe \u2026\u201c meinen wir trotz der Notation nicht wirklich, dass <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> effektiv eine Zahl darstellt. Vor allem bevor wir wissen, ob die Reihe konvergent ist, ist <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> vielmehr als formales Objekt zu verstehen (gewissermassen als die Folge der Partialsummen), dessen Konvergenzeigenschaften wir untersuchen wollen.<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Manche Autoren verwenden in diesem Zusammenhang auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr die Reihe als formales Objekt, welches mit der Folge der Partialsummen identifiziert werden kann, und <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr den Wert der Reihe.<\/span><\/span> Der erste Summand der Reihe muss nicht immer dem Index <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> zugeordnet sein und obige Definition ist in solchen F\u00e4llen entsprechend anzupassen. <\/p><p class=\"indent\">Eine einfache aber auch sehr wichtige Eigenschaft konvergenter Reihen ist in folgender Proposition enthalten. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z10d3fe2ac3f3\"> <a id=\"x1-187002r2\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 7.2 <\/span>(Nullfolgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert, dann ist die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Nullfolge<\/span><span class=\"ecti-1095\">, das heisst <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Nach  Annahme  haben  die Partialsummen&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> einen Grenzwert&nbsp;<math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"qopname\"> \u2211<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und damit gilt ebenso                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zcd78947d76d4\"> <a id=\"x1-187003r3\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.3 <\/span>(Geometrische Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">geometrische Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(oder<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">) konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">genau dann, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist. In diesem Fall ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">In der Tat impliziert Konvergenz der Reihe mittels Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187002r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Umgekehrt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf Grund der geometrischen Summenformel in Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-80001r8\"><span class=\"ecti-1095\">3.8<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und der Konvergenz der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">geometrischen Folge in Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-146012r34\"><span class=\"ecti-1095\">5.34<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z39e611825fc7\"> <a id=\"x1-187004r4\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.4 <\/span>(Harmonische Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Umkehrung von Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187002r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">gilt nicht. Beispielsweise ist die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">harmonische Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">divergent.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir beweisen die Divergenz mit einer konkreten Absch<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzung.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sei<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt die Partialsumme der harmonischen Reihe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Absch<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>7<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>9<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><munder accentunder=\"false\"><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><mo>\ufe38<\/mo><\/munder> <\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/munder> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><munder accentunder=\"false\"><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><mo>\ufe38<\/mo><\/munder> <\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/munder> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><munder accentunder=\"false\"><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><mo>\ufe38<\/mo><\/munder> <\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/munder> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Da<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">beliebig war, erkennen wir, dass die Partialsummen nicht beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt sind, und daher ist die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">harmonische Reihe divergent.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir pr\u00e4sentieren noch eine kleine Anwendung der Divergenz der harmonischen Reihe aus dem Alltag. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z686ab685e49b\"> <a id=\"x1-187005r5\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.5 <\/span>(Harmonischer Springturm)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wollen am Rande des Z<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">richsees einen Springturm bauen, der aus einzelnen quaderf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rmigen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Bausteinen (von gleicher Form und gleichem Material) besteht und m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glichst weit in den<\/span> <span class=\"ecti-1095\">See hineinragen soll. Wie weit k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir kommen, ohne die Bausteine aneinander oder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">an das ebene, <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">usserst stabile, am Uferrand liegende Fundament zu befestigen? Wir wollen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Bausteine von 2 Metern L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nge verwenden und rechnen von oben weg jeweils aus, wie weit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Bausteine  zueinander  verschoben  sein  d<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rfen,  ohne  dass  der  Turm  einst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rzt.  F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sehen wir          in          Figur          <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187006r1\"><span class=\"ecti-1095\">7.1<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">,          dass          der          Baustein<\/span> <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in den See ragen kann.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=494&amp;url=Pictures\/reihen\/springturm1.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z253a2ea952b2\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/reihen\/springturm1.svg\" width=\"494\" \/><\/div> <a id=\"x1-187006r1\"><\/a> <a id=\"x1-187007\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;7.1:                             <\/span><span class=\"content\">Der                             Schwerpunkt               <math display=\"inline\"><mi>s<\/mi><\/math>             des  Bausteins  muss  oberhalb  des  Ufers  liegen,  denn  sonst  kippt  der               Stein in den See. Wir wollen im Folgenden immer den Grenzfall, wo               der  Schwerpunkt  genau  \u00fcber  dem  Uferrand  liegt,  ebenso  als  stabil               erkl\u00e4ren.                                                                                 &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir schieben jetzt einen Baustein von unten ein und wollen beide Bausteine soweit wie m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glich<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in den See schieben.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=718&amp;url=Pictures\/reihen\/springturm23.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z54b8f2a770ba\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/reihen\/springturm23.svg\" width=\"718\" \/><\/div> <a id=\"x1-187008r2\"><\/a> <a id=\"x1-187009\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;7.2: <\/span><span class=\"content\">Bei beiden Steinen gibt es jetzt auch zwei Punkte, bei denen               der Turm kippen und zumindest teilweise in den See st\u00fcrzen k\u00f6nnte.               Der obere Kipppunkt ist kein Problem, da wir beide Steine gemeinsam               verschoben haben und somit den Schwerpunkt des oberen Steins genau               am Rand des unteren liegt.                                                          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Um zu bestimmen, wie weit man beide Steine in Richtung See schieben darf,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">berechnen wir den Schwerpunkt der beiden Steine gemeinsam. Hierf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r verwenden wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein geeignetes Koordinatensystem; n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mlich messen wir nach rechts vom Uferrand (also<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der linken Kante des unteren Steins) aus \u2013 siehe dazu das linke Bild in Figur <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187008r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Der Schwerpunkt des oberen Steins hat in diesem Koordinatensystem die Koordinate<\/span> <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">, der untere die Koordinate<\/span> <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und damit beide zusammen die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Koordinate <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math><span class=\"ecti-1095\">. Also k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">beide <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in Richtung See verschieben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und kommen somit total <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in den See hinein.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir heben jetzt diese beiden an und f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">gen einen weiteren Stein so hinzu, dass die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">linke Kante genau unter dem Schwerpunkt der ersten zwei und damit am Uferrand<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu liegen kommt. Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen also wieder den gemeinsamen Schwerpunkt dieser<\/span> <span class=\"ecti-1095\">drei Steine bestimmen. Die oberen beiden haben den gemeinsamen Schwerpunkt<\/span> <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">, der untere hat<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Koordinate <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und somit haben alle drei zusammen den Schwerpunkt<\/span> <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir verschieben also alle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">drei um <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in Richtung See, was<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine totale Verschiebung von <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ergibt, und wiederholen den Vorgang so oft wie wir wollen. Da aber die Partialsummen der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">harmonischen Reihe unbeschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt sind, k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir damit beliebig weit in den See hineinbauen.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Eine interaktive Darstellung dieses Vorgehens findet man unter diesem <\/span><a href=\"https:\/\/www.geogebra.org\/m\/CTgwbbPc\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span class=\"ecti-1095\">Link<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und ein Video unter<\/span> <a href=\"http:\/\/www.etudes.ru\/en\/etudes\/stairway\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span class=\"ecti-1095\">diesem<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Praxis ist diese Methode kaum zu empfehlen, zum einen haben wir das Gewicht des Turmspringers<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ignoriert, und weiters haben wir nicht beschrieben, wie hoch der Turm wirklich wird, wenn wir auch nur<\/span> <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in den See hineinreichen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wollen (da in diesem Fall <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>2<\/mn><mn>3<\/mn><mn>6<\/mn><mn>7<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Bausteine notwendig sind).<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Die folgenden drei Lemmata sind einfache Konsequenzen der Definition der Konvergenz von Reihen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z8facb8a5fb18\"> <a id=\"x1-187010r6\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 7.6 <\/span>(Linearit\u00e4t)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergente<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Reihen und <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sind die Reihen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent und es gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u03b1<\/mi><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Also bilden konvergente Reihen einen Vektorraum<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und der Wert der Reihe stellt eine lineare Abbildung auf diesem Vektorraum<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nach<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">dar.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zc8fe99aa0cf5\"> <a id=\"x1-187011r7\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.7.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187010r6\"><span class=\"ecti-1095\">7.6<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zfdf281c16e97\"> <a id=\"x1-187012r8\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 7.8 <\/span>(Indexverschiebung f\u00fcr Reihen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Reihe.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist die Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>N<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann konvergent,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wenn die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent ist. In diesem Fall gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Insbesondere zeigt Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187012r8\">7.8<\/a>, dass das Konvergenzverhalten einer Reihe sich nicht \u00e4ndert, wenn endlich viele Glieder der Reihe weggelassen, hinzugef\u00fcgt oder ge\u00e4ndert werden. Wir werden diese zentrale Eigenschaft oft und deswegen mitunter auch implizit verwenden. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> gilt                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Insbesondere konvergieren die Partialsummen von <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> genau dann, wenn die Partialsummen von <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> konvergieren und das Lemma folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z8c158bd95fc6\"> <a id=\"x1-187013r9\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 7.9 <\/span>(Zusammenfassen von <span class=\"ecti-1095\">benachbarten <\/span>Gliedern)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvergente Reihe und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine streng monoton wachsende Folge nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlicher Zahlen. Definiere<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Die <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math>-te Partialsumme von <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>K<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>K<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>K<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>K<\/mi><\/mrow><\/msub> <\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Somit bilden die Partialsummen von <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine Teilfolge der konvergenten Folge der Partialsummen von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z29d1d01ae336\"> <a id=\"x1-187014r10\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.10.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Umkehrung von Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187013r9\"><span class=\"ecti-1095\">7.9<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">gilt im Allgemeinen nicht. Beispielsweise ist die Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nach Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187002r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">divergent, aber die Reihe <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die aus zusammengef<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">gten Gliedern von <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besteht, ist konvergent, da jedes Glied Null ist.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-187015r185\"><\/a> <h4 id=\"zc7565730823e\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1.1 <\/span> <a id=\"x1-1880001\"><\/a>Reihen mit nicht-negativen Gliedern<\/h4> <p class=\"noindent\">F\u00fcr Reihen mit nicht-negativen Gliedern gilt folgende fundamentale Eigenschaft. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zfd1f56a74f94\"> <a id=\"x1-188001r11\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 7.11 <\/span>(Monotone Partialsummen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nicht-negativen Gliedern <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bilden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Partialsummen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine monoton wachsende Folge. Falls diese Folge der Partialsummen beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt ist, dann konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Reihe <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ansonsten gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Insbesondere k\u00f6nnen wir f\u00fcr die harmonische Reihe in Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187004r4\">7.4<\/a> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">schreiben. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Aus&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> folgt&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls die Partialsummen&nbsp;<math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> zus\u00e4tzlich noch beschr\u00e4nkt sind, dann sind diese (und damit auch die Reihe) konvergent nach Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-158001r5\">6.5<\/a>. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zcc94befa140a\"> <a id=\"x1-188002r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Korollar 7.12 <\/span>(Vergleichssatz)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei Reihen mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Eigenschaft <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und insbesondere gelten die Implikationen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;konvergent&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;konvergent&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;divergent&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;divergent&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Diese beiden Implikationen treffen auch dann zu, wenn<\/span> <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nur f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">hinreichend grossen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Man nennt unter den Annahmen des Korollars die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine Majorante der Reihe <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und letztere auch eine Minorante der Reihe <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>                                                                                                                                                                           Daher spricht man auch von dem <span class=\"ecbx-1095\">Majoranten- <\/span>und dem <span class=\"ecbx-1095\">Minorantenkriterium<\/span>. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Aus <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> folgt <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Somit gilt nach Monotonie der Folge der Partialsummen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Die letzte Aussage der Proposition ist nun eine Konsequenz von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187012r8\">7.8<\/a> (wieso?). <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z8c1426840882\"> <a id=\"x1-188003r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.13.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Annahme in Korollar <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188002r12\"><span class=\"ecti-1095\">7.12<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass die Reihen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht-negative Glieder haben, notwendig ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z067ad79fa92a\"> <a id=\"x1-188004r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.14 <\/span>(Reihe der Kehrwerte der Quadratzahlen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvergent. Tats<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chlich gilt <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist konvergent,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">da deren <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-te<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Partialsumme unter Aufl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen einer Teleskopsumme (siehe Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-780001\"><span class=\"ecti-1095\">3.1.1<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zcecb4d957655\"> <a id=\"x1-188005r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.15 <\/span>(Reihenkonvergenz und Folgenasymptotik)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten die Reihe<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und wollen zeigen, dass diese konvergiert. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r dies bemerken wir,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">im Wesentlichen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sich wie<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verhalten sollte.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Genauer formuliert gilt<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>O<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(siehe Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/landau-notation#x1-1820006\"><span class=\"ecti-1095\">6.6<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) da<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2215<\/mo><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Daher gibt es ein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>M<\/mi><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wieso?)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und ein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Verwenden wir nun Korollar<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188002r12\"><span class=\"ecti-1095\">7.12<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und Beispiel<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188004r14\"><span class=\"ecti-1095\">7.14<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">ergibt sich die Konvergenz<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z95bd2438deeb\"> <a id=\"x1-188006r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 7.16 <\/span>(Verdichtung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Eine                                                                                                  Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit nicht-negativen,             monoton             abnehmenden             Gliedern<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist                   genau                   dann                   konvergent,                   wenn<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Es gelten auf Grund der angenommenen Monotonie von <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> die Ungleichungen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mn>2<\/mn><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>2<\/mn><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>8<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>7<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und allgemeiner <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> F\u00fcr die Summen ergibt sich daher die Ungleichung                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msup><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und wir erhalten die Proposition durch den Grenz\u00fcbergang <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> und Korollar&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188002r12\">7.12<\/a>. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z35780c8dfb13\"> <a id=\"x1-188007r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.17 <\/span>(<math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><\/math>-Test)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">genau dann, wenn <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist<\/span> <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die Reihe nach Proposition<\/span> <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187002r2\"><span class=\"ecti-1095\">7.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">somit divergent. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die Reihe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">divergiert nach Korollar <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188002r12\"><span class=\"ecti-1095\">7.12<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, da die harmonische Reihe divergiert. Wir wenden nun Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188006r16\"><span class=\"ecti-1095\">7.16<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">an. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><math display=\"inline\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><msub><mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine monoton abnehmende Folge und wir erhalten aus Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188006r16\"><span class=\"ecti-1095\">7.16<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann konvergiert, wenn<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">konvergiert. Diese geometrische Reihe konvergiert aber nach Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187003r3\"><span class=\"ecti-1095\">7.3<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">genau dann, wenn<\/span> <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3bc44242c1fb\"> <a id=\"x1-188008r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.18.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass die Reihe<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann konvergiert, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Ist die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>3<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"qopname\">log<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent oder divergent?<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zfd337a1a763c\"> <a id=\"x1-188011r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.19 <\/span>(q-\u00e4re Darstellungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. In<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-79003r7\"><span class=\"ecti-1095\">3.7<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">haben wir gezeigt, dass jede ganze Zahl eine Ziffernentwicklung zur Basis<\/span> <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besitzt.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">In dieser <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung wollen wir die analoge Aussage f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r reelle Zahlen formulieren und beweisen. Sei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wegen <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-79003r7\"><span class=\"ecti-1095\">3.7<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">wollen wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sogar annehmen, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sie, dass eine Folge von Ziffern <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert, so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert und <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">darstellt im Sinne von<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Sind die Ziffern <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oben eindeutig bestimmt?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">\u230a<\/mo><mi>q<\/mi><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">\u230b<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann gilt<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac> <mrow> <msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wieso?).<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Betrachten Sie nun <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">\u230a<\/mo><mi>q<\/mi><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">\u230b<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">\u230a<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">\u230b<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wieder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac> <mrow> <msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><span class=\"ecti-1095\">, was<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nun aber <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren Sie diese Argumentation iterativ fort und finden Sie eine Folge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>\u03b1<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-188012r188\"><\/a> <h4 id=\"z3368ea8662f0\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1.2 <\/span> <a id=\"x1-1890002\"><\/a>Bedingte Konvergenz<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir sagen, dass eine Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> mit komplexen Summanden <span class=\"ecbx-1095\">absolut konvergiert<\/span>, falls die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> konvergiert. Die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist <span class=\"ecbx-1095\">bedingt konvergent<\/span>, falls sie konvergiert, aber nicht absolut konvergiert. <\/p><p class=\"indent\">Wie wir im n\u00e4chsten Abschnitt besprechen werden, haben absolut konvergente Reihen, im Gegensatz zu bedingt konvergenten Folgen, sehr robuste Eigenschaften. Inwiefern letztere \u00fcber gewisse (widerspr\u00fcchlich erscheinende) Eigenheiten verf\u00fcgen, wollen wir in diesem Teilabschnitt erkl\u00e4ren. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z1d6396b32136\"> <a id=\"x1-189001r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.20 <\/span>(Alternierende harmonische Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wollen zuerst zeigen, dass die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">alternierende harmonische Reihe<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo>\u2026<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">bedingt konvergiert. Nach Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187004r4\"><span class=\"ecti-1095\">7.4<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">divergiert die harmonische Reihe<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">(nach unendlich). Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen also nur noch Konvergenz der alternierenden Reihe beweisen. Wir betrachten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zuerst zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die <\/span><math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-te<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Partialsumme<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist somit monoton wachsend und beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt (wegen Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-188004r14\"><span class=\"ecti-1095\">7.14<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) und konvergiert damit. Wegen<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert aber ebenso<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und gegen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">den gleichen Limes.<\/span><button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 <span class=\"ecti-1095\">Wir werden den Wert dieser Reihe erst sp<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ter berechnen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen.<\/span><\/span><\/span> <span class=\"ecti-1095\">Also konvergiert die Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wieso?). Des Weiteren<\/span> <span class=\"ecti-1095\">folgt <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><span class=\"ecti-1095\">, da nach obigem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Argument die Partialsumme <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als Summe von positiven Summanden geschrieben werden kann, wovon der erste Term gleich<\/span> <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Folgender Satz mag zuerst \u00fcberraschend sein und zeigt, dass man mit bedingter Konvergenz vorsichtig umgehen muss, da diese sehr zerbrechliche Eigenschaften besitzt. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6643cd5920c3\"> <a id=\"x1-189002r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 7.21 <\/span>(Riemannscher Umordnungssatz)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine bedingt konvergente Reihe mit reellen Gliedern. Dann gibt es zu jedem <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine bijektive Funktion (eine Umordnung) <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u03c6<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bedingt konvergiert und <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist. Weiters gibt es eine Umordnung der Reihe, die divergiert.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z995a04c25a4e\"> <a id=\"x1-189003r22\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.22 <\/span>(Umordnen der alternierenden harmonischen Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir ordnen die alternierende harmonische Reihe um und erhalten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir bemerken, dass die so erhaltene Umordnung der alternierenden harmonischen Reihe konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und den halben Wert der alternierenden harmonischen Reihe annimmt. Hierbei sind die Klammern<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als Hilfestellung gedacht, denn rechnet man die Klammern aus, so erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man die Reihe in der jeder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Summand genau die H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lfte der Summanden der alternierenden harmonischen Reihe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ausmacht. L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst man hingegen die Klammern weg, so erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man die umgeordnete Reihe der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alternierenden harmonischen Reihe. Des Weiteren weiss man f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r diese Reihe, dass die Teilfolge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">der Partialsummen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert. Da aber <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Nullfolgen sind, k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir daraus schliessen, dass die umgeordnete Reihe konvergiert und den<\/span> <span class=\"ecti-1095\">halben Wert der urspr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">nglichen Reihe hat.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Da dieser Satz eher negativer Natur ist, begn\u00fcgen wir uns mit einer Beweisskizze und verweisen auf <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xwalter\">Wal04<\/a>, Satz 5.17]<\/span>. Sei also <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine bedingt konvergente Reihe (wobei es helfen k\u00f6nnte, an <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math> zu denken). Dann gilt <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> nach Annahme. Wir teilen die nat\u00fcrlichen Zahlen <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in die zwei Mengen <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">auf. Dann m\u00fcssen <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> beide unendliche Kardinalit\u00e4t haben, denn wenn zum Beispiel <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> endlich w\u00e4re, dann w\u00fcrden sich <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> nur um endlich viele Terme unterscheiden. (F\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math>                                                                                                                                                                           w\u00e4re <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>) Wir z\u00e4hlen die Elemente in <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> so auf, dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Weiters ist <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Denn falls beide Summen endlich w\u00e4ren, dann w\u00e4re <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> W\u00e4re zum Beispiel <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> aber <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann w\u00e4re auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> (F\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math> sind diese beiden Reihen <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>)                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr ein gegebenes <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> konstruieren wir die bijektive Abbildung <math display=\"inline\"><mi>\u03c6<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gemeinsam mit der Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> auf folgende Weise. <\/p><p class=\"indent\">Wir beginnen die Reihe mit den ersten nicht-negativen Gliedern <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und w\u00e4hlen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> minimal, so dass die obige Summe gr\u00f6sser als <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> ist (was wegen<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math> m\u00f6glich ist). Anschliessend addieren wir die ersten negativen Glieder und w\u00e4hlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass die Summe <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">kleiner als <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> ist. Als n\u00e4chstes addieren wir, beginnend mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> nicht-negative Terme, um die Summe gr\u00f6sser als <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> werden zu lassen. Wir f\u00fchren dies fort und weil <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           k\u00f6nnen wir immer wieder nach endlich vielen Summanden von der einen Seite von <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> zu der anderen Seite von <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> wechseln. Da noch dazu <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> gilt, werden die einzelnen Schritte \u00fcber <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> hinweg immer kleiner und wir k\u00f6nnen auf diese Art <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> als Grenzwert der umgeordneten Folge realisieren. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zbafa6ff54254\"> <a id=\"x1-189004r23\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 7.23.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen Sie die unterlassenen Schritte am Ende der obigen Beweisskizze ein, um einen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigen Beweis von Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189002r21\"><span class=\"ecti-1095\">7.21<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">zu erhalten.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Falls Sie jetzt denken, dass der Riemann\u2019sche Umordnungssatz (Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189002r21\">7.21<\/a>) einen Widerspruch in der Mathematik darstellt, dann t\u00e4uschen Sie sich. Denn wir haben eine klare Definition f\u00fcr den Wert einer Reihe in Definition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187001r1\">7.1<\/a> ausformuliert. Wir haben auch besprochen, wie sich das Zusammenfassen von benachbarten (!) Gliedern einer Reihe f\u00fcr diese Definition auswirkt (siehe Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-187013r9\">7.9<\/a>) \u2013 hierbei geht man von der urspr\u00fcnglichen Folge der Partialsummen zu einer Teilfolge der Partialsummen \u00fcber und weder das Konvergenzverhalten noch der Wert \u00e4ndern sich hier. Was hingegen passiert mit der Folge der Partialsummen, wenn sie die Summanden mittels einer beliebigen Bijektion&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u03c6<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> permutieren? Dies ist unm\u00f6glich zu beantworten, denn es gibt im Allgemeinen \u00fcberhaupt keinen Zusammenhang zwischen der Folge&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> der Partialsummen der urspr\u00fcnglichen Reihe&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und der Folge&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> der Partialsummen der permutierten Reihe&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u03c6<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> (da der Riemann\u2019sche Umordnungssatz ja zeigt, dass wir das Konvergenzverhalten auf diese Weise komplett \u00e4ndern k\u00f6nnen). <\/p><p class=\"indent\">Wir sind immer mittels formaler Definitionen und Beweise vorgegangen und versuchen nat\u00fcrlich auch ein intuitives Verst\u00e4ndnis f\u00fcr die so entstehenden Theorien zu entwickeln, doch wenn es (wie zum Beispiel hier) zu einer Diskrepanz zwischen unseren S\u00e4tzen und unserer Anschauung kommt, dann m\u00fcssen wir daran arbeiten unsere Anschauung den gegebenen Fakten (also Definitionen und S\u00e4tzen) anzupassen. F\u00fcr den Fall einer bedingt konvergenten Reihe m\u00fcssen wir uns daran erinnern, dass der Wert der Reihe nicht als die Summe aller Summanden definiert wurde \u2013 wie sollen wir denn unendlich viele Additionen gleichzeitig durchf\u00fchren? Stattdessen wurde der Wert der Reihe als der Grenzwert der Partialsummen definiert und f\u00fcr diese Definition m\u00fcssen wir die                                                                                                                                                                           Reihenfolge der Summanden kennen. \u00c4ndert sich die Reihenfolge, dann k\u00f6nnte sich dies auf die Definition auswirken (was bei bedingt konvergenten Reihen auf Grund von Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189002r21\">7.21<\/a> in der Tat der Fall ist). <\/p><p class=\"indent\">Bedingt konvergente Reihen sind f\u00fcr uns am Rande interessant, da wir zum Beispiel zeigen werden, dass die alternierende harmonische Reihe den Wert&nbsp;<math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> log<\/mi><mo>  <\/mo>  <mn>2<\/mn><\/math> hat. Doch die weitaus meisten Reihen, die wir betrachten werden, werden absolut konvergent sein und robusteres Verhalten zeigen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zdbfe4fc7ca4a\"> <a id=\"x1-189005r24\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 7.24 <\/span>(Drei Reihen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"400px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/qW7hfXfQ\/width\/688\/height\/400\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir stellen in diesem Applet die harmonische Reihe, die alternierende harmonische Reihe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und die Reihe mit den reziproken Quadratzahlen gegen<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber und sehen drei unterschiedliche<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Verhaltensweisen. Erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren Sie diese Unterschiede. Wie nennen wir diese Verhaltensweisen?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">(*)<\/span><\/p><\/details><span class=\"ecti-1095\">Wir schreiben im Fall der alternierenden harmonischen Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Summe der positiven beziehungsweise negativen Summanden in der Partialsumme<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msubsup><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msubsup><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>  <\/div> <a id=\"x1-189006r189\"><\/a> <h4 id=\"z384dc7669520\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1.3 <\/span> <a id=\"x1-1900003\"><\/a>Alternierende Reihen<\/h4> <p class=\"noindent\">Das in Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189001r20\">7.20<\/a> aufgetretene Ph\u00e4nomen tritt auch in folgendem Resultat auf (welches wegen der sehr einfachen Absch\u00e4tzung auch f\u00fcr absolut konvergente Reihen von Interesse sein wird). F\u00fcr eine Folge&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> positiver Zahlen bezeichnen wir die Reihe&nbsp;<math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> als eine <span class=\"ecbx-1095\">alternierende <\/span>Reihe. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"ze2f034d3c25b\"> <a id=\"x1-190001r25\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 7.25 <\/span>(Leibniz-Kriterium)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Gegeben sei eine monoton fallende Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">positiver Zahlen, die gegen Null konvergiert. Dann konvergiert die zugeh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rige alternierende Reihe<\/span> <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt, dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-190002r1\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(7.1)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Weiters ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Absch\u00e4tzungen des Typs (<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-190002r1\">7.1<\/a>) werden meist auch als Fehlerabsch\u00e4tzungen oder Fehlerschranken bezeichnet. Intuitiv beschreibt man damit, wie gross der Fehler h\u00f6chstens ist, wenn man anstatt des Wertes der Reihe nur die Summe bis zu einem gewissen Glied (als Approximation gewissermassen) betrachtet. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">\u00c4hnlich wie in Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-189001r20\">7.20<\/a> spielen wir die Folge der Partialsummen zu geraden und ungeraden Indices gegeneinander aus. F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Es gilt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Insbesondere ist die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> monoton fallend und die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist monoton wachsend. Wegen&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und der Monotonieeigenschaften gilt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Somit ist <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> von oben beschr\u00e4nkt und damit konvergent. Analog ist auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> von unten beschr\u00e4nkt und konvergent. Wir fassen die erhaltenen Erkenntnisse in folgendem Bild zusammen. <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=574&amp;url=Pictures\/reihen\/leibnizkrit1.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"za80b80e049df\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/reihen\/leibnizkrit1.svg\" width=\"574\" \/><\/div>  <\/div> <p class=\"indent\">Da aber <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> gegen Null konvergiert, haben die Folgen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> wegen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> den gleichen Grenzwert. Insbesondere konvergiert die Reihe <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> (wieso?). <\/p><p class=\"indent\">Wir zeigen nun die Fehlerabsch\u00e4tzung und die behauptete Ungleichung. F\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt auf Grund der besprochenen Monotonieeigenschaften, dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">F\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/math> ist aber&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> und wir erhalten&nbsp;(<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-190002r1\">7.1<\/a>) . F\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ungerade, gilt ebenso&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> woraus sich&nbsp;(<a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-190002r1\">7.1<\/a>) ergibt. Dies beweist die Fehlerabsch\u00e4tzung sowohl f\u00fcr einen geraden als auch f\u00fcr einen ungeraden Index und damit die Proposition. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <a id=\"x1-190003r190\"><\/a> <h4 id=\"zf807985fe74d\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">7.1.4 <\/span> <a id=\"x1-1910004\"><\/a>Das Cauchy-Kriterium<\/h4> <p class=\"noindent\">Der n\u00e4chste Satz \u00fcbernimmt den Grossteil unserer Vorarbeiten \u00fcber reellwertige und komplexwertige Folgen und gibt uns f\u00fcr den weiteren Aufbau der Theorie ein sehr wichtiges und genaues Kriterium f\u00fcr die Konvergenz von Reihen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zb07e1b518e53\"> <a id=\"x1-191001r26\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 7.26 <\/span>(Cauchy-Kriterium)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Reihe <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert<\/span> <span class=\"ecti-1095\">genau dann, wenn es zu jedem <\/span><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt, so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Dies folgt aus dem Cauchy-Kriterium f\u00fcr Folgen (Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/cauchy-folgen#x1-163001r26\">6.26<\/a>) angewendet auf die Folge der Partialsummen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>s<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"maketag\"><mtext \/><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle class=\"label\" id=\"x1-191003r1\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z65b5e839cd6a\"> <a id=\"x1-191004r27\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 7.27 <\/span>(Harmonische Reihe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Um die Divergenz der harmonischen Reihe zu sehen, k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir auch das Cauchy-Kriterium verwenden.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wir setzen dazu <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein beliebiges <\/span><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt dann<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo 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columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">was wegen dem Cauchy-Kriterium f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Reihen (Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reihen#x1-191001r26\"><span class=\"ecti-1095\">7.26<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) die Divergenz impliziert.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-191005r187\"><\/a> \n","protected":false},"author":1089,"menu_order":1,"template":"","meta":{"pb_show_title":"","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-76","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":75,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/76","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/76\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/75"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/76\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=76"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=76"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=76"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=76"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}