{"id":68,"date":"2021-12-15T09:53:13","date_gmt":"2021-12-15T09:53:13","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/reelle-folgen\/"},"modified":"2021-12-15T09:53:13","modified_gmt":"2021-12-15T09:53:13","slug":"reelle-folgen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/reelle-folgen\/","title":{"raw":"Reelle Folgen","rendered":"Reelle Folgen"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; 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font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; 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doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"z347d4d485fcf\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1 <\/span> <a id=\"x1-1570001\"><\/a>Reelle Folgen<\/h3> <p class=\"noindent\">Wie wir in Korollar&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-148009r45\">5.45<\/a> gesehen haben, l\u00e4sst sich die Konvergenz von komplexwertigen Folgen auf die Konvergenz von reellwertigen Folgen zur\u00fcckf\u00fchren. Unter anderem deswegen m\u00f6chten wir nun reelle Folgen (also Folgen in <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math>) genauer betrachten und beginnen damit, das Verhalten von Ungleichungen bei Konvergenz zu untersuchen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zde6bb6b3920f\"> <a id=\"x1-157001r1\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 6.1 <\/span>(Grenzwerte und Ungleichungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">reelle Folgen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit Grenzwerten <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann gilt auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann existiert ein <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Wir m\u00f6chten noch kurz anmerken, dass die Annahme der strikten Ungleichung in (i) nicht <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> impliziert. In der Tat gilt f\u00fcr die beiden reellen Folgen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass die Grenzwerte <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> \u00fcbereinstimmen. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir beginnen mit der zweiten Behauptung. Angenommen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann ist <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und es existiert ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> (definiert als ein Maximum), so dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da aber <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> nach Wahl von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ergibt sich <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Dies beweist auch die erste Behauptung. Denn falls <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> w\u00e4re, dann g\u00e4be es nach obigem Folgenglieder <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Sie sollten sich ein Bild zu obigem Beweis \u00fcberlegen, da das Bild es deutlich einfacher machen sollte, sich diesen Beweis (oder auch \u00e4hnliche Beweise) zu merken. Wir k\u00f6nnen Ungleichungen zwischen verschiedenen Folgen auch dazu verwenden, Konvergenz zu zeigen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z68673e1c7f72\"> <a id=\"x1-157004r2\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 6.2 <\/span>(Sandwich)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Es seien <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">drei reelle Folgen, so dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind konvergent und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann ist auch die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z363185de1687\"> <a id=\"x1-157005r3\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.3.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\"><span class=\"ecti-1095\">6.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie, dass<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent ist.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\">6.2<\/a> ist sehr n\u00fctzlich um Konvergenz spezifischer Folgen zu zeigen, wie wir in folgendem Beispiel illustrieren wollen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zf49bc2e932a8\"> <a id=\"x1-157006r4\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 6.4 <\/span>(Anwendungen von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\">6.2<\/a>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wissen bereits, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt jedoch <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und somit haben wir auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine beliebige Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definieren wir die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mroot><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wir behaupten, dass<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mroot><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wir definieren <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und wollen zeigen,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegen Null konvergiert. Es gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">nach der Bernoulli-Ungleichung (Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-79001r5\"><span class=\"ecti-1095\">3.5<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">). Daher ist<\/span> <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, womit<\/span> <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nach Lemma<\/span> <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\"><span class=\"ecti-1095\">6.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und damit <\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nach Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-146003r30\"><span class=\"ecti-1095\">5.30<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Der Fall <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">folgt auch aus obigem, denn nach Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-146003r30\"><span class=\"ecti-1095\">5.30<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mroot><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mroot><mrow><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Wir behaupten des Weiteren, dass<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mroot><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und argumentieren daf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnlich, verwenden aber statt der Bernoulli-Ungleichung den Binomialsatz (Satz<\/span> <a href=\"..\/..\/chapter\/die-fakultaet-und-der-binomialsatz#x1-88001r28\"><span class=\"ecti-1095\">3.28<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">). Definiere <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mroot><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfenced close=\")\" open=\"(\" separators><mfrac linethickness=\"0.0pt\"><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mfenced><msubsup><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mfenced close=\")\" open=\"(\" separators><mfrac linethickness=\"0.0pt\"><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mfenced><msubsup><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msubsup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <msubsup><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msubsup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dividieren durch<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und erhalten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><msqrt><mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/msqrt><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Da die Wurzelfunktion nach dem Umkehrsatz (Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/der-satz-ueber-die-umkehrabbildung#x1-97001r64\"><span class=\"ecti-1095\">3.64<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) stetig ist, konvergiert nach Proposition<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/stetigkeit#x1-150003r50\"><span class=\"ecti-1095\">5.50<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">( <\/mo><mrow> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Null. Verwenden wir nun die Indexverschiebung (Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-145005r25\"><span class=\"ecti-1095\">5.25<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) und das Sandwich-Lemma (Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\"><span class=\"ecti-1095\">6.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten wir <\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und unsere Behauptung folgt.<\/span><\/p><\/dd><\/dl> <\/div> <a id=\"x1-157010r155\"><\/a> <h4 id=\"zec07f7fd7b06\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1.1 <\/span> <a id=\"x1-1580001\"><\/a>Monotone Folgen<\/h4> <p class=\"noindent\">F\u00fcr monotone Folgen gibt es folgendes hinreichendes und notwendiges Kriterium, das den Nachweis von Konvergenz deutlich vereinfacht. Dies bringt das erste Mal das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom in Beziehung zur Konvergenz einer Folge. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z84ac01070a9d\"> <a id=\"x1-158001r5\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 6.5 <\/span>(Konvergenz von monotonen Folgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Eine monotone reelle Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert genau dann, wenn sie beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt ist. Falls die Folge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">monoton wachsend ist, gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">monoton fallend ist, gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Wir illustrieren den Satz an einem Bild. <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=674&amp;url=Pictures\/folgen\/monoton.pdf\"><img id=\"z088df8b87245\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/folgen\/monoton.svg\" width=\"674\"><\/div> <a id=\"x1-158002r1\"><\/a> <a id=\"x1-158003\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;6.1: <\/span><span class=\"content\">Die (durch <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>)               beschr\u00e4nkte,               monoton              wachsende              Folge               <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math>                im   Bild   hat   keine   andere   Wahl   als   gegen   das   Supremum               <math display=\"inline\"><mi>S<\/mi><\/math>             der    Folgenglieder    zu    konvergieren.    Wenn    Sie    sich    an    die               charakterisierenden  Eigenschaften  des  Supremums  erinnern  (was  wir               Ihnen empfehlen), dann k\u00f6nnen Sie den Beweis vielleicht schon selbst               durchf\u00fchren.                                                                           &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Falls <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> konvergent ist, ist <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> beschr\u00e4nkt nach Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-145007r27\">5.27<\/a>. Sei also <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge. Ohne Beschr\u00e4nkung der Allgemeinheit k\u00f6nnen wir annehmen, dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> monoton wachsend ist (sonst ersetzen wir einfach <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math>). Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert nach der Charakterisierung des Supremums in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/maximum-und-supremum#x1-64002r59\">2.59<\/a> f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> folgt damit aus der Monotonie von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">was zu zeigen war. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zfb95a2fcad2a\"> <a id=\"x1-158004r6\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.6 <\/span>(Eine rekursiv definierte konvergente Folge)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">rekursiv definierte<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folge. Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie zuerst unter Betrachtung der Rekursionsformel einen Kandidaten f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grenzwert.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3547898520bd\"> <a id=\"x1-158005r7\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.7 <\/span>(Gegengerichtete Folgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine monoton wachsende, reelle Folge und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine monoton fallende, reelle Folge mit <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass beide Folgen konvergieren und dass <\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie den Beweis vom Intervallschachtelungsprinzip (Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-70001r77\"><span class=\"ecti-1095\">2.77<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">).<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-158006r158\"><\/a> <h4 id=\"z418afcbf56d9\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1.2 <\/span> <a id=\"x1-1590002\"><\/a>Limes superior und Limes inferior<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir bringen nochmals das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom (in der Form der Existenz des Supremums&nbsp;\u2013 Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/maximum-und-supremum#x1-64002r59\">2.59<\/a>) in die Diskussion ein, aber betrachten im Gegensatz zum letzten Teilabschnitt eine allgemeine beschr\u00e4nkte reelle Folge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir bemerken, dass f\u00fcr die Definition der Konvergenz der Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> die sogenannten <span class=\"ecbx-1095\">Endabschnitte <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><\/math> der Folge (formal definiert durch die Einschr\u00e4nkung von <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> auf <math display=\"inline\"><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math>) eine entscheidende Rolle spielen. Deswegen definieren wir f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> das Supremum <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">\u00fcber den Endabschnitt&nbsp;<math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> der Folge. Wir schreiben diese Definition auch in der Kurzform                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> ist, folgt (siehe die Bemerkung direkt nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-integrationsgesetze#x1-112001r19\">4.19<\/a>), dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> ist also monoton fallend. Da <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> nach Annahme beschr\u00e4nkt ist, existiert ein <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> mit <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies impliziert f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> eine obere Schranke von <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> ist, und dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Unter dem Strich ist <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> also eine monoton fallende, beschr\u00e4nkte Folge und muss daher nach Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-158001r5\">6.5<\/a> gegen das Infimum der Folge konvergieren. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z520bdc1c44b1\"> <a id=\"x1-159001r8\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 6.8 <\/span>(Limes superior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine beschr\u00e4nkte reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist der <span class=\"ecbx-1095\">Limes superior <\/span>definiert durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder><mrow><mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><\/munder> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Es ergibt sich beispielsweise f\u00fcr die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> gegeben durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> unmittelbar <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und somit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge. Analog zu obiger Diskussion definiert <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> eine monoton wachsende, beschr\u00e4nkte Folge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-158001r5\">6.5<\/a> gegen <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> konvergiert. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z5ad5a24b5388\"> <a id=\"x1-159002r9\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 6.9 <\/span>(Limes inferior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist der <span class=\"ecbx-1095\">Limes inferior <\/span>definiert durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder><mrow><munder accentunder=\"false\" class=\"mml-underline\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mo accent=\"true\">\u0332<\/mo><\/munder><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><\/munder> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Wie zuvor erh\u00e4lt man beispielsweise <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir wollen die Begriffe Limes superior und Limes inferior an einem konkreten Zahlenbeispiel erproben.                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3106c085573f\"> <a id=\"x1-159003r10\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 6.10.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die reelle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folge definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stellen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in folgender Tabelle dar.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p> <div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-49\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-49-1g\"><col id=\"TBL-49-1\"><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-49-2g\"><col id=\"TBL-49-2\"><col id=\"TBL-49-3\"><col id=\"TBL-49-4\"><col id=\"TBL-49-5\"><col id=\"TBL-49-6\"><col id=\"TBL-49-7\"><col id=\"TBL-49-8\"><col id=\"TBL-49-9\"><col id=\"TBL-49-10\"><\/colgroup><tr id=\"TBL-49-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-4\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>3<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-5\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>4<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-6\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>5<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-7\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>6<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-8\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>7<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-9\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>8<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-10\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-49-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-4\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-5\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-6\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-7\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-8\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>7<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-9\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo 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class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-4\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-5\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-6\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-7\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-8\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-9\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-10\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-49-4-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-4\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-5\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-6\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-7\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-8\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-9\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-10\" style=\"text-align:center\"> <span class=\"ecti-1095\">\u2026                                                        <\/span><\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Man beachte dabei, dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gerade<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist und sonst <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Daher ist <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Weiters ist wegen<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">das Infimum<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wieso?), womit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=754&amp;url=Pictures\/folgen\/limsup.pdf\"><img id=\"zb081457d8324\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/folgen\/limsup.svg\" width=\"754\"><\/div>  <\/div> <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z90bf875b1aba\"> <a id=\"x1-159004r11\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 6.11 <\/span>(Eigenschaften des Limes superior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine reelle, beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt der Limes superior <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die folgenden Eigenschaften:<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt es nur endlich viele Folgenglieder <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt es unendlich viele Folgenglieder <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/div><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Intuitiv bleibt die Folge also nicht lange weit \u00fcber dem Limes superior und n\u00e4hert sich immer wieder dem Limes superior. Wir empfehlen Ihnen zur Veranschaulichung die Aussagen des Satzes im Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159003r10\">6.10<\/a> direkt zu \u00fcberpr\u00fcfen und im Bild dazu zu veranschaulichen. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Zur ersten Aussage: Sei <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> gegen <math display=\"inline\"><mi>S<\/mi><\/math> konvergiert f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> gibt es ein <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Damit ist <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was die erste Eigenschaft von <math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> beweist. <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr die zweite Aussage sei <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und wieder <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach Definition von <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/maximum-und-supremum#x1-64002r59\">2.59<\/a> existiert ein <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> beliebig war, beweist dies die zweite Eigenschaft des Limes superior. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zff5b0cc54340\"> <a id=\"x1-159005r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.12 <\/span>(Charakterisierung des Limes Superior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Formulieren Sie beide Aussagen von Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\"><span class=\"ecti-1095\">6.11<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">in Pr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">dikatenlogik.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie auch, dass die beiden Eigenschaften in Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\"><span class=\"ecti-1095\">6.11<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">den Limes superior einer<\/span> <span class=\"ecti-1095\">beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkten, reellen Folge eindeutig charakterisieren.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die beiden Aussagen in Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\"><span class=\"ecti-1095\">6.11<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">haben in Pr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">dikantenlogik die Form:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Der Limes Inferior hat zu dem Limes Superior analoge Eigenschaften (siehe \u00dcbung&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159006r13\">6.13<\/a>). <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zc5d770dcdd0b\"> <a id=\"x1-159006r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.13 <\/span>(Limes superior und Limes inferior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte reelle Folge.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie diese Gleichheit, um eine analoge Version von Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\"><span class=\"ecti-1095\">6.11<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Limes inferior<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu formulieren und zu beweisen.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass der Limes superior als Abbildung definiert auf dem Unterraum der beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkten Folgen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2115<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zielraum <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht linear ist. Genauer: Verifizieren Sie, dass sich der Limes superior weder unter Addition<\/span> <span class=\"ecti-1095\">noch unter skalarer Multiplikation geeignet verh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3d3430dede27\"> <a id=\"x1-159011r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Korollar 6.14 <\/span>(Charakterisierung der Konvergenz)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r                  eine                  reelle,                  beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte                  Folge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau                                               dann                                               wenn<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent ist.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Angenommen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert                                                                                                                                                                           nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\">6.11<\/a> ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2215<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> (auf Grund der Eigenschaften des Limes Superior) und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2215<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> (auf Grund der Eigenschaften des Limes Inferior). Zusammen erhalten wir <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was zu beweisen war. <\/p><p class=\"indent\">Wir nehmen nun an, dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> existiert. Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> so dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Aus <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> folgt nun <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und daher                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da dies f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> gilt, folgt daraus <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <a id=\"x1-159012r159\"><\/a> <h4 id=\"z13229fa0456e\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1.3 <\/span> <a id=\"x1-1600003\"><\/a>Konvergente Teilfolgen<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir betrachten wiederum eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und wollen die Konvergenz von Teilfolgen von <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> untersuchen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z839e813ab294\"> <a id=\"x1-160001r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 6.15 <\/span>(Konvergenz von Teilfolgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jede konvergente Teilfolge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einer beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkten, reellen Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Des Weiteren existiert eine konvergente Teilfolge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und eine konvergente<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Teilfolge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Betrachtet man die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so erf\u00fcllt beispielsweise die Teilfolge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und die Teilfolge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wie wir schon gesehen haben. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis von Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a>.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\"> Sei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine konvergente Teilfolge von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gibt es nach der ersten Eigenschaft in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\">6.11<\/a> ein <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-160002r1\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(6.1)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wenn n\u00f6tig k\u00f6nnen wir <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> noch gr\u00f6sser w\u00e4hlen, so dass ebenso gilt                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-160003r2\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(6.2)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> (siehe auch \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159006r13\">6.13<\/a>). Insbesondere gelten (<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160002r1\">6.1<\/a>) und (<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160003r2\">6.2<\/a>) auch f\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und gen\u00fcgend grosse <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> (zum Beispiel <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da dann <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math>). F\u00fcr den Limes der Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ergibt sich daraus <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">(siehe Proposition <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157001r1\">6.1<\/a> und Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-145005r25\">5.25<\/a>). Da <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> beliebig war und <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/math> nicht von <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> abh\u00e4ngt, ergibt sich daraus <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>S<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wie im Satz behauptet wurde. <\/p><p class=\"indent\">Wir wollen nun eine konvergente Teilfolge von <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> mit Grenzwert <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> finden. In anderen Worten wollen wir also zeigen, dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ein H\u00e4ufungspunkt der Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math>                                                                                                                                                                           ist. Wir bedienen uns dabei der zweiten \u00e4quivalenten Bedingung in Proposition <a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-147005r42\">5.42<\/a>. Sei also <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert ein <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>M<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Auf Grund der Definition des Supremums existiert damit ein <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> mit <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>M<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>M<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Der Beweis der Existenz einer Teilfolge mit Grenzwert <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist analog. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir wollen noch einen zweiten Beweis der Existenz von konvergenten Teilfolgen unter Verwendung des Intervallschachtelungsprinzips andeuten. Sei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> eine reelle, beschr\u00e4nkte Folge und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle                                                                                                                                                                           <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir definieren <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Als n\u00e4chsten Schritt teilen wir das Intervall <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> in zwei H\u00e4lften <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">auf und erkennen, dass zumindest eine der beiden H\u00e4lften unendlich viele Folgenglieder enthalten muss. Wir definieren <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mfrac> <mrow> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> f\u00fcr unendlich viele <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und ansonsten <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Insbesondere existiert ein <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wiederum teilen wir <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> in zwei H\u00e4lften auf und w\u00e4hlen eine H\u00e4lfte <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> aus, die unendlich viele Folgenglieder <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> enth\u00e4lt. Auch w\u00e4hlen wir <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Iterieren wir dieses Argument, so erhalten wir zwei weitere Folgen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und eine Teilfolge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-70001r77\">2.77<\/a> (wo ebenso wie in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a> die Existenz von Supremum und Infimum verwendet wurde) gibt es ein <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u22c2<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Aus <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> folgt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\">6.2<\/a> und Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-146012r34\">5.34<\/a> gilt nun <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dieses Argument beweist die Existenz von konvergenten Teilfolgen, ohne diese aber in Zusammenhang mit dem Limes Superior und dem Limes Inferior wie in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a> zu bringen. <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> liegen nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a> alle H\u00e4ufungspunkte zwischen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und diese beiden Punkte sind H\u00e4ufungspunkte von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> L\u00e4sst man die Annahme der Beschr\u00e4nktheit fallen, so muss eine Folge nicht unbedingt H\u00e4ufungspunkte besitzen. Ein Beispiel einer Folge ohne H\u00e4ufungspunkte ist <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Wir m\u00f6chten auch anmerken, dass die Menge der H\u00e4ufungspunkte einer Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> in <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> nicht gleich den H\u00e4ufungspunkten der Teilmenge <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math>                                                                                                                                                                           (siehe Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-69001r73\">2.73<\/a>) sein muss. Beispielsweise hat die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> gegeben durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die beiden H\u00e4ufungspunkte <math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und die Menge <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> hat aber keine H\u00e4ufungspunkte. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z095eff4911c7\"> <a id=\"x1-160004r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.16 <\/span>(H\u00e4ufungspunkte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie eine Folge<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass jede reelle Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Folge<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Folge in <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Menge <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auch ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Folge in <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und nehmen Sie an, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. Zeigen Sie, dass ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in diesem Fall auch ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Menge <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i).<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zb96f2e45d7ea\"> <a id=\"x1-160008r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.17 <\/span>(Mischung von drei Folgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergente<\/span> <span class=\"ecti-1095\">reelle Folgen und seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Betrachten Sie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die reelle Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mn>3<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi> <\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mn>3<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mn>3<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">berechnen Sie <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die Menge der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkte von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Zu jeder nat\u00fcrlichen Zahl <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> l\u00e4sst sich eine Folge konstruieren, die <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> H\u00e4ufungspunkte hat. Die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> definiert f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>j<\/mi><\/math> falls <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>j<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>K<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> ist ein Beispiel daf\u00fcr. Es lassen sich auch Folgen mit abz\u00e4hlbar vielen H\u00e4ufungspunkten konstruieren. In folgender \u00dcbung zeigt sich, dass auch Folgen existieren, deren H\u00e4ufungspunkte ein ganzes abgeschlossenes Intervall bilden. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z05609778b34c\"> <a id=\"x1-160009r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.18 <\/span>(Folgen mit vielen H\u00e4ufungspunkten)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist eine beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte reelle Folge mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann ist die Menge der H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkte gegeben durch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>S<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Konstruieren Sie ein Beispiel einer Folge wie in a) mit <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>S<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i)): F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>L<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>S<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>L<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen Sie, dass<\/span> <span class=\"ecti-1095\">es auch ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>L<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>L<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (ii)): Setzen Sie <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>5<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>6<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>7<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>8<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>9<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>3<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u2026geeignet zu einer Folge fort.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir wollen noch einen wichtigen topologischen Begriff einf\u00fchren, welchen wir im zweiten Semester genauer untersuchen wollen. Eine Teilmenge <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">folgenkompakt <\/span>falls jede Folge in <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> besitzt. Wir bemerken, dass f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> das kompakte                                                                                                                                                                           Intervall <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> tats\u00e4chlich folgenkompakt ist. Denn nach Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a> hat jede Folge in <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> eine konvergente Teilfolge, f\u00fcr welche wegen Proposition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157001r1\">6.1<\/a> der Grenzwert wieder in <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> liegt. <a id=\"x1-160012r160\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z85526a1bcb05\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1.4 <\/span> <a id=\"x1-1610004\"><\/a>Uneigentliche Grenzwerte<\/h4> <p class=\"noindent\">Folgende Erweiterung des Konvergenzbegriffs ist f\u00fcr uns auch wichtig. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zd4e6ea766447\"> <a id=\"x1-161001r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 6.19 <\/span>(Uneigentliche Grenzwerte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Eine reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">divergiert gegen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wenn f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> existiert, so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msup><mrow><mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> gilt f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In diesem Fall schreiben wir <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Genauso sagen wir, dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">gegen<\/span><span class=\"ecbx-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">divergiert<\/span>, falls f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> existiert, so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In letzterem Fall schreiben wir&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In beiden F\u00e4llen spricht man auch von <span class=\"ecbx-1095\">uneigentlicher Konvergenz <\/span>und <span class=\"ecbx-1095\">uneigentlichen<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Grenzwerten<\/span>. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Man beachte, dass eine divergente Folge (oder auch eine unbeschr\u00e4nkte Folge) nicht gegen <math display=\"inline\"><mi>\u221e<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> divergieren muss. Zum Beispiel ist die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> definiert durch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mn>1<\/mn><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>n<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;gerade<\/mtext><\/mstyle> <\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mi>n<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle> <mi>n<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;ungerade<\/mtext><\/mstyle><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">divergent, aber sie divergiert nicht gegen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Es gilt jedoch folgende Aussage. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z19dda7ea9707\"> <a id=\"x1-161002r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.20 <\/span>(Teilfolgen von unbeschr\u00e4nkten Folgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine unbeschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte,  reelle  Folge.  Zeigen  Sie,  dass  eine  Teilfolge  existiert,  die  gegen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u221e<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">divergiert.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir k\u00f6nnen auch uneigentliche Grenzwerte verwenden, um den Limes superior und den Limes inferior f\u00fcr unbeschr\u00e4nkte Folgen zu definieren. In der Tat, falls die reellwertige Folge&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> nicht von oben beschr\u00e4nkt ist, dann gilt&nbsp;<math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> f\u00fcr alle&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> (siehe Abschnitt&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/maximum-und-supremum#x1-650003\">2.5.3<\/a>) und wir setzen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> zwar von oben, aber nicht von unten beschr\u00e4nkt ist, dann setzen wir&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> (wobei aber&nbsp;<math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> m\u00f6glicherweise gegen&nbsp;<math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> divergiert). Diese Erweiterungen der Definitionen gelten analog f\u00fcr den Limes inferior. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z09396a5de43b\"> <a id=\"x1-161003r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.21 <\/span>(Sandwich f\u00fcr uneigentlich Grenzwerte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie folgende uneigentliche Sandwich-Lemmata f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r zwei reelle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folgen<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u221e<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <a id=\"x1-161004r157\"><\/a> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; border-left: 0; border-right: 0; }\ncenter { margin-top:1em; margin-bottom:1em; }\ntd center { margin-top:0em; margin-bottom:0em; }\n.Canvas { position:relative; }\nmath { text-indent: 0em; }\nli p.indent { text-indent: 0em }\nli p:first-child{ margin-top:0em; }\nli p:last-child, li div:last-child { margin-bottom:0.5em; }\nli p~ul:last-child, li p~ol:last-child{ margin-bottom:0.5em; }\n.enumerate1 {list-style-type:decimal;}\n.enumerate2 {list-style-type:lower-alpha;}\n.enumerate3 {list-style-type:lower-roman;}\n.enumerate4 {list-style-type:upper-alpha;}\n.obeylines-h,.obeylines-v {white-space: nowrap; }\ndiv.obeylines-v p { margin-top:0; margin-bottom:0; }\n.overline{ text-decoration:overline; }\n.overline img{ border-top: 1px solid black; }\ntd.displaylines {text-align:center; white-space:nowrap;}\n.centerline {text-align:center;}\n.rightline {text-align:right;}\npre.verbatim {font-family: 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}\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"z347d4d485fcf\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1 <\/span> <a id=\"x1-1570001\"><\/a>Reelle Folgen<\/h3> <p class=\"noindent\">Wie wir in Korollar&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-148009r45\">5.45<\/a> gesehen haben, l\u00e4sst sich die Konvergenz von komplexwertigen Folgen auf die Konvergenz von reellwertigen Folgen zur\u00fcckf\u00fchren. Unter anderem deswegen m\u00f6chten wir nun reelle Folgen (also Folgen in <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math>) genauer betrachten und beginnen damit, das Verhalten von Ungleichungen bei Konvergenz zu untersuchen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zde6bb6b3920f\"> <a id=\"x1-157001r1\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 6.1 <\/span>(Grenzwerte und Ungleichungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">reelle Folgen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit Grenzwerten <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann gilt auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann existiert ein <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Wir m\u00f6chten noch kurz anmerken, dass die Annahme der strikten Ungleichung in (i) nicht <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> impliziert. In der Tat gilt f\u00fcr die beiden reellen Folgen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass die Grenzwerte <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> \u00fcbereinstimmen. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir beginnen mit der zweiten Behauptung. Angenommen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann ist <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und es existiert ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> (definiert als ein Maximum), so dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da aber <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> nach Wahl von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ergibt sich <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Dies beweist auch die erste Behauptung. Denn falls <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> w\u00e4re, dann g\u00e4be es nach obigem Folgenglieder <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Sie sollten sich ein Bild zu obigem Beweis \u00fcberlegen, da das Bild es deutlich einfacher machen sollte, sich diesen Beweis (oder auch \u00e4hnliche Beweise) zu merken. Wir k\u00f6nnen Ungleichungen zwischen verschiedenen Folgen auch dazu verwenden, Konvergenz zu zeigen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z68673e1c7f72\"> <a id=\"x1-157004r2\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 6.2 <\/span>(Sandwich)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Es seien <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">drei reelle Folgen, so dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind konvergent und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann ist auch die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z363185de1687\"> <a id=\"x1-157005r3\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.3.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\"><span class=\"ecti-1095\">6.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie, dass<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent ist.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\">6.2<\/a> ist sehr n\u00fctzlich um Konvergenz spezifischer Folgen zu zeigen, wie wir in folgendem Beispiel illustrieren wollen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zf49bc2e932a8\"> <a id=\"x1-157006r4\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 6.4 <\/span>(Anwendungen von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\">6.2<\/a>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wissen bereits, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt jedoch <\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und somit haben wir auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine beliebige Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definieren wir die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mroot><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wir behaupten, dass<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mroot><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wir definieren <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und wollen zeigen,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegen Null konvergiert. Es gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">nach der Bernoulli-Ungleichung (Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-79001r5\"><span class=\"ecti-1095\">3.5<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">). Daher ist<\/span> <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, womit<\/span> <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nach Lemma<\/span> <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\"><span class=\"ecti-1095\">6.2<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und damit <\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nach Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-146003r30\"><span class=\"ecti-1095\">5.30<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Der Fall <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">folgt auch aus obigem, denn nach Proposition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-146003r30\"><span class=\"ecti-1095\">5.30<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mroot><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mroot><mrow><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Wir behaupten des Weiteren, dass<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mroot><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und argumentieren daf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnlich, verwenden aber statt der Bernoulli-Ungleichung den Binomialsatz (Satz<\/span> <a href=\"..\/..\/chapter\/die-fakultaet-und-der-binomialsatz#x1-88001r28\"><span class=\"ecti-1095\">3.28<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">). Definiere <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mroot><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mroot> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><mfenced close=\")\" open=\"(\" separators><mfrac linethickness=\"0.0pt\"><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mfenced><msubsup><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mfenced close=\")\" open=\"(\" separators><mfrac linethickness=\"0.0pt\"><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mfenced><msubsup><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msubsup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <msubsup><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msubsup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dividieren durch<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und erhalten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><msqrt><mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/msqrt><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Da die Wurzelfunktion nach dem Umkehrsatz (Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/der-satz-ueber-die-umkehrabbildung#x1-97001r64\"><span class=\"ecti-1095\">3.64<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) stetig ist, konvergiert nach Proposition<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/stetigkeit#x1-150003r50\"><span class=\"ecti-1095\">5.50<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">( <\/mo><mrow> <msqrt> <mrow> <mfrac> <mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mrow><\/msqrt><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Null. Verwenden wir nun die Indexverschiebung (Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-145005r25\"><span class=\"ecti-1095\">5.25<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) und das Sandwich-Lemma (Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\"><span class=\"ecti-1095\">6.2<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">) so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten wir <\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und unsere Behauptung folgt.<\/span><\/p><\/dd><\/dl> <\/div> <a id=\"x1-157010r155\"><\/a> <h4 id=\"zec07f7fd7b06\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1.1 <\/span> <a id=\"x1-1580001\"><\/a>Monotone Folgen<\/h4> <p class=\"noindent\">F\u00fcr monotone Folgen gibt es folgendes hinreichendes und notwendiges Kriterium, das den Nachweis von Konvergenz deutlich vereinfacht. Dies bringt das erste Mal das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom in Beziehung zur Konvergenz einer Folge. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z84ac01070a9d\"> <a id=\"x1-158001r5\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 6.5 <\/span>(Konvergenz von monotonen Folgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Eine monotone reelle Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert genau dann, wenn sie beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkt ist. Falls die Folge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">monoton wachsend ist, gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls die Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">monoton fallend ist, gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Wir illustrieren den Satz an einem Bild. <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=674&amp;url=Pictures\/folgen\/monoton.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z088df8b87245\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/folgen\/monoton.svg\" width=\"674\" \/><\/div> <a id=\"x1-158002r1\"><\/a> <a id=\"x1-158003\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;6.1: <\/span><span class=\"content\">Die (durch <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>)               beschr\u00e4nkte,               monoton              wachsende              Folge               <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math>                im   Bild   hat   keine   andere   Wahl   als   gegen   das   Supremum               <math display=\"inline\"><mi>S<\/mi><\/math>             der    Folgenglieder    zu    konvergieren.    Wenn    Sie    sich    an    die               charakterisierenden  Eigenschaften  des  Supremums  erinnern  (was  wir               Ihnen empfehlen), dann k\u00f6nnen Sie den Beweis vielleicht schon selbst               durchf\u00fchren.                                                                           &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Falls <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> konvergent ist, ist <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> beschr\u00e4nkt nach Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-145007r27\">5.27<\/a>. Sei also <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge. Ohne Beschr\u00e4nkung der Allgemeinheit k\u00f6nnen wir annehmen, dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> monoton wachsend ist (sonst ersetzen wir einfach <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math>). Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert nach der Charakterisierung des Supremums in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/maximum-und-supremum#x1-64002r59\">2.59<\/a> f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> folgt damit aus der Monotonie von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">was zu zeigen war. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zfb95a2fcad2a\"> <a id=\"x1-158004r6\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.6 <\/span>(Eine rekursiv definierte konvergente Folge)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">rekursiv definierte<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folge. Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie zuerst unter Betrachtung der Rekursionsformel einen Kandidaten f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grenzwert.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3547898520bd\"> <a id=\"x1-158005r7\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.7 <\/span>(Gegengerichtete Folgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine monoton wachsende, reelle Folge und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine monoton fallende, reelle Folge mit <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass beide Folgen konvergieren und dass <\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie den Beweis vom Intervallschachtelungsprinzip (Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-70001r77\"><span class=\"ecti-1095\">2.77<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">).<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-158006r158\"><\/a> <h4 id=\"z418afcbf56d9\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1.2 <\/span> <a id=\"x1-1590002\"><\/a>Limes superior und Limes inferior<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir bringen nochmals das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom (in der Form der Existenz des Supremums&nbsp;\u2013 Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/maximum-und-supremum#x1-64002r59\">2.59<\/a>) in die Diskussion ein, aber betrachten im Gegensatz zum letzten Teilabschnitt eine allgemeine beschr\u00e4nkte reelle Folge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir bemerken, dass f\u00fcr die Definition der Konvergenz der Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> die sogenannten <span class=\"ecbx-1095\">Endabschnitte <\/span><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msubsup><\/math> der Folge (formal definiert durch die Einschr\u00e4nkung von <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> auf <math display=\"inline\"><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math>) eine entscheidende Rolle spielen. Deswegen definieren wir f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> das Supremum <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">\u00fcber den Endabschnitt&nbsp;<math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> der Folge. Wir schreiben diese Definition auch in der Kurzform                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> ist, folgt (siehe die Bemerkung direkt nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-integrationsgesetze#x1-112001r19\">4.19<\/a>), dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> ist also monoton fallend. Da <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> nach Annahme beschr\u00e4nkt ist, existiert ein <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> mit <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies impliziert f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> eine obere Schranke von <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> ist, und dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Unter dem Strich ist <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> also eine monoton fallende, beschr\u00e4nkte Folge und muss daher nach Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-158001r5\">6.5<\/a> gegen das Infimum der Folge konvergieren. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z520bdc1c44b1\"> <a id=\"x1-159001r8\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 6.8 <\/span>(Limes superior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine beschr\u00e4nkte reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist der <span class=\"ecbx-1095\">Limes superior <\/span>definiert durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder><mrow><mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><\/munder> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Es ergibt sich beispielsweise f\u00fcr die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> gegeben durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> unmittelbar <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und somit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge. Analog zu obiger Diskussion definiert <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> eine monoton wachsende, beschr\u00e4nkte Folge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-158001r5\">6.5<\/a> gegen <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> konvergiert. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z5ad5a24b5388\"> <a id=\"x1-159002r9\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 6.9 <\/span>(Limes inferior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist der <span class=\"ecbx-1095\">Limes inferior <\/span>definiert durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder><mrow><munder accentunder=\"false\" class=\"mml-underline\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mo accent=\"true\">\u0332<\/mo><\/munder><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><\/munder> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Wie zuvor erh\u00e4lt man beispielsweise <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir wollen die Begriffe Limes superior und Limes inferior an einem konkreten Zahlenbeispiel erproben.                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3106c085573f\"> <a id=\"x1-159003r10\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 6.10.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die reelle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folge definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stellen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in folgender Tabelle dar.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-49\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-49-1g\"><col id=\"TBL-49-1\" \/><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-49-2g\"><col id=\"TBL-49-2\" \/><col id=\"TBL-49-3\" \/><col id=\"TBL-49-4\" \/><col id=\"TBL-49-5\" \/><col id=\"TBL-49-6\" \/><col id=\"TBL-49-7\" \/><col id=\"TBL-49-8\" \/><col id=\"TBL-49-9\" \/><col id=\"TBL-49-10\" \/><\/colgroup><tr id=\"TBL-49-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-4\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>3<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-5\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>4<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-6\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>5<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-7\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>6<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-8\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>7<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-9\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>8<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-1-10\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-49-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-4\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-5\" 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display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-2-10\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-49-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-3\" 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<mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-8\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-9\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mfrac><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>8<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-3-10\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-49-4-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-4\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-5\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-6\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-7\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-8\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-9\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-49-4-10\" style=\"text-align:center\"> <span class=\"ecti-1095\">\u2026                                                        <\/span><\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Man beachte dabei, dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gerade<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist und sonst <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Daher ist <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Weiters ist wegen<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">das Infimum<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wieso?), womit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=754&amp;url=Pictures\/folgen\/limsup.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"zb081457d8324\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/folgen\/limsup.svg\" width=\"754\" \/><\/div>  <\/div> <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z90bf875b1aba\"> <a id=\"x1-159004r11\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 6.11 <\/span>(Eigenschaften des Limes superior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine reelle, beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt der Limes superior <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die folgenden Eigenschaften:<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt es nur endlich viele Folgenglieder <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt es unendlich viele Folgenglieder <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/div><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Intuitiv bleibt die Folge also nicht lange weit \u00fcber dem Limes superior und n\u00e4hert sich immer wieder dem Limes superior. Wir empfehlen Ihnen zur Veranschaulichung die Aussagen des Satzes im Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159003r10\">6.10<\/a> direkt zu \u00fcberpr\u00fcfen und im Bild dazu zu veranschaulichen. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Zur ersten Aussage: Sei <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> gegen <math display=\"inline\"><mi>S<\/mi><\/math> konvergiert f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> gibt es ein <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Damit ist <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was die erste Eigenschaft von <math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> beweist. <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr die zweite Aussage sei <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und wieder <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach Definition von <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>N<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/maximum-und-supremum#x1-64002r59\">2.59<\/a> existiert ein <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> beliebig war, beweist dies die zweite Eigenschaft des Limes superior. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zff5b0cc54340\"> <a id=\"x1-159005r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.12 <\/span>(Charakterisierung des Limes Superior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Formulieren Sie beide Aussagen von Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\"><span class=\"ecti-1095\">6.11<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">in Pr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">dikatenlogik.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie auch, dass die beiden Eigenschaften in Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\"><span class=\"ecti-1095\">6.11<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">den Limes superior einer<\/span> <span class=\"ecti-1095\">beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkten, reellen Folge eindeutig charakterisieren.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die beiden Aussagen in Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\"><span class=\"ecti-1095\">6.11<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">haben in Pr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">dikantenlogik die Form:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Der Limes Inferior hat zu dem Limes Superior analoge Eigenschaften (siehe \u00dcbung&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159006r13\">6.13<\/a>). <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zc5d770dcdd0b\"> <a id=\"x1-159006r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.13 <\/span>(Limes superior und Limes inferior)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte reelle Folge.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie diese Gleichheit, um eine analoge Version von Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\"><span class=\"ecti-1095\">6.11<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Limes inferior<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu formulieren und zu beweisen.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass der Limes superior als Abbildung definiert auf dem Unterraum der beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkten Folgen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2115<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zielraum <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht linear ist. Genauer: Verifizieren Sie, dass sich der Limes superior weder unter Addition<\/span> <span class=\"ecti-1095\">noch unter skalarer Multiplikation geeignet verh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3d3430dede27\"> <a id=\"x1-159011r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Korollar 6.14 <\/span>(Charakterisierung der Konvergenz)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r                  eine                  reelle,                  beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte                  Folge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau                                               dann                                               wenn<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergent ist.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Angenommen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert                                                                                                                                                                           nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\">6.11<\/a> ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2215<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> (auf Grund der Eigenschaften des Limes Superior) und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2215<\/mo><mn>2<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> (auf Grund der Eigenschaften des Limes Inferior). Zusammen erhalten wir <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was zu beweisen war. <\/p><p class=\"indent\">Wir nehmen nun an, dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> existiert. Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> so dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Aus <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> folgt nun <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>I<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>N<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und daher                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da dies f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> gilt, folgt daraus <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <a id=\"x1-159012r159\"><\/a> <h4 id=\"z13229fa0456e\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1.3 <\/span> <a id=\"x1-1600003\"><\/a>Konvergente Teilfolgen<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir betrachten wiederum eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und wollen die Konvergenz von Teilfolgen von <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> untersuchen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z839e813ab294\"> <a id=\"x1-160001r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 6.15 <\/span>(Konvergenz von Teilfolgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jede konvergente Teilfolge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einer beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkten, reellen Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Des Weiteren existiert eine konvergente Teilfolge<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und eine konvergente<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Teilfolge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Betrachtet man die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so erf\u00fcllt beispielsweise die Teilfolge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und die Teilfolge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wie wir schon gesehen haben. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis von Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a>.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\"> Sei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine konvergente Teilfolge von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gibt es nach der ersten Eigenschaft in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159004r11\">6.11<\/a> ein <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-160002r1\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(6.1)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wenn n\u00f6tig k\u00f6nnen wir <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi><\/math> noch gr\u00f6sser w\u00e4hlen, so dass ebenso gilt                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-160003r2\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(6.2)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> (siehe auch \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-159006r13\">6.13<\/a>). Insbesondere gelten (<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160002r1\">6.1<\/a>) und (<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160003r2\">6.2<\/a>) auch f\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und gen\u00fcgend grosse <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> (zum Beispiel <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da dann <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math>). F\u00fcr den Limes der Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ergibt sich daraus <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">(siehe Proposition <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157001r1\">6.1<\/a> und Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-145005r25\">5.25<\/a>). Da <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> beliebig war und <math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/math> nicht von <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> abh\u00e4ngt, ergibt sich daraus <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>S<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wie im Satz behauptet wurde. <\/p><p class=\"indent\">Wir wollen nun eine konvergente Teilfolge von <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> mit Grenzwert <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> finden. In anderen Worten wollen wir also zeigen, dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ein H\u00e4ufungspunkt der Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math>                                                                                                                                                                           ist. Wir bedienen uns dabei der zweiten \u00e4quivalenten Bedingung in Proposition <a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-147005r42\">5.42<\/a>. Sei also <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert ein <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>M<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> inf<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Auf Grund der Definition des Supremums existiert damit ein <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> mit <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>M<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>S<\/mi><\/mrow><mrow><mi>M<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Der Beweis der Existenz einer Teilfolge mit Grenzwert <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> ist analog. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir wollen noch einen zweiten Beweis der Existenz von konvergenten Teilfolgen unter Verwendung des Intervallschachtelungsprinzips andeuten. Sei <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> eine reelle, beschr\u00e4nkte Folge und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle                                                                                                                                                                           <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir definieren <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Als n\u00e4chsten Schritt teilen wir das Intervall <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> in zwei H\u00e4lften <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">auf und erkennen, dass zumindest eine der beiden H\u00e4lften unendlich viele Folgenglieder enthalten muss. Wir definieren <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mfrac> <mrow> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> f\u00fcr unendlich viele <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und ansonsten <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Insbesondere existiert ein <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wiederum teilen wir <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> in zwei H\u00e4lften auf und w\u00e4hlen eine H\u00e4lfte <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> aus, die unendlich viele Folgenglieder <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> enth\u00e4lt. Auch w\u00e4hlen wir <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Iterieren wir dieses Argument, so erhalten wir zwei weitere Folgen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und eine Teilfolge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> [<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">]<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-70001r77\">2.77<\/a> (wo ebenso wie in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a> die Existenz von Supremum und Infimum verwendet wurde) gibt es ein <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u22c2<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Aus <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> folgt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msub><mrow><mi>d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157004r2\">6.2<\/a> und Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/folgen-und-konvergenz#x1-146012r34\">5.34<\/a> gilt nun <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dieses Argument beweist die Existenz von konvergenten Teilfolgen, ohne diese aber in Zusammenhang mit dem Limes Superior und dem Limes Inferior wie in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a> zu bringen. <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr eine beschr\u00e4nkte, reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> liegen nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a> alle H\u00e4ufungspunkte zwischen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> und diese beiden Punkte sind H\u00e4ufungspunkte von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> L\u00e4sst man die Annahme der Beschr\u00e4nktheit fallen, so muss eine Folge nicht unbedingt H\u00e4ufungspunkte besitzen. Ein Beispiel einer Folge ohne H\u00e4ufungspunkte ist <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Wir m\u00f6chten auch anmerken, dass die Menge der H\u00e4ufungspunkte einer Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> in <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> nicht gleich den H\u00e4ufungspunkten der Teilmenge <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math>                                                                                                                                                                           (siehe Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-69001r73\">2.73<\/a>) sein muss. Beispielsweise hat die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> gegeben durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die beiden H\u00e4ufungspunkte <math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und die Menge <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> hat aber keine H\u00e4ufungspunkte. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z095eff4911c7\"> <a id=\"x1-160004r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.16 <\/span>(H\u00e4ufungspunkte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie eine Folge<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass jede reelle Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Folge<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Folge in <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Menge <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auch ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Folge in <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und nehmen Sie an, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. Zeigen Sie, dass ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in diesem Fall auch ein H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkt der Menge <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span><\/dd><\/dl> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i).<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zb96f2e45d7ea\"> <a id=\"x1-160008r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.17 <\/span>(Mischung von drei Folgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">konvergente<\/span> <span class=\"ecti-1095\">reelle Folgen und seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Betrachten Sie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die reelle Folge <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mn>3<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi> <\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mn>3<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><msub><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mn>3<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">berechnen Sie <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">liminf<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die Menge der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkte von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Zu jeder nat\u00fcrlichen Zahl <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> l\u00e4sst sich eine Folge konstruieren, die <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> H\u00e4ufungspunkte hat. Die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> definiert f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> durch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>j<\/mi><\/math> falls <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>j<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>K<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> ist ein Beispiel daf\u00fcr. Es lassen sich auch Folgen mit abz\u00e4hlbar vielen H\u00e4ufungspunkten konstruieren. In folgender \u00dcbung zeigt sich, dass auch Folgen existieren, deren H\u00e4ufungspunkte ein ganzes abgeschlossenes Intervall bilden. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z05609778b34c\"> <a id=\"x1-160009r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.18 <\/span>(Folgen mit vielen H\u00e4ufungspunkten)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist eine beschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte reelle Folge mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> liminf<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann ist die Menge der H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ufungspunkte gegeben durch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>S<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Konstruieren Sie ein Beispiel einer Folge wie in a) mit <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>S<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i)): F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>L<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>I<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>S<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>S<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>L<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen Sie, dass<\/span> <span class=\"ecti-1095\">es auch ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>L<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>L<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (ii)): Setzen Sie <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>5<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>6<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>7<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>8<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>9<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>3<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u2026geeignet zu einer Folge fort.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir wollen noch einen wichtigen topologischen Begriff einf\u00fchren, welchen wir im zweiten Semester genauer untersuchen wollen. Eine Teilmenge <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">folgenkompakt <\/span>falls jede Folge in <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in <math display=\"inline\"><mi>K<\/mi><\/math> besitzt. Wir bemerken, dass f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> das kompakte                                                                                                                                                                           Intervall <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> tats\u00e4chlich folgenkompakt ist. Denn nach Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-160001r15\">6.15<\/a> hat jede Folge in <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> eine konvergente Teilfolge, f\u00fcr welche wegen Proposition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/reelle-folgen#x1-157001r1\">6.1<\/a> der Grenzwert wieder in <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> liegt. <a id=\"x1-160012r160\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z85526a1bcb05\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">6.1.4 <\/span> <a id=\"x1-1610004\"><\/a>Uneigentliche Grenzwerte<\/h4> <p class=\"noindent\">Folgende Erweiterung des Konvergenzbegriffs ist f\u00fcr uns auch wichtig. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zd4e6ea766447\"> <a id=\"x1-161001r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 6.19 <\/span>(Uneigentliche Grenzwerte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Eine reelle Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">divergiert gegen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wenn f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> existiert, so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msup><mrow><mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> gilt f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In diesem Fall schreiben wir <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Genauso sagen wir, dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">gegen<\/span><span class=\"ecbx-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">divergiert<\/span>, falls f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>N<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> existiert, so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msup><mrow><mi>\ud835\udf00<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>N<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In letzterem Fall schreiben wir&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In beiden F\u00e4llen spricht man auch von <span class=\"ecbx-1095\">uneigentlicher Konvergenz <\/span>und <span class=\"ecbx-1095\">uneigentlichen<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Grenzwerten<\/span>. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Man beachte, dass eine divergente Folge (oder auch eine unbeschr\u00e4nkte Folge) nicht gegen <math display=\"inline\"><mi>\u221e<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> divergieren muss. Zum Beispiel ist die Folge <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> definiert durch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mn>1<\/mn><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>n<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;gerade<\/mtext><\/mstyle> <\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mi>n<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle> <mi>n<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;ungerade<\/mtext><\/mstyle><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">divergent, aber sie divergiert nicht gegen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Es gilt jedoch folgende Aussage. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z19dda7ea9707\"> <a id=\"x1-161002r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.20 <\/span>(Teilfolgen von unbeschr\u00e4nkten Folgen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine unbeschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nkte,  reelle  Folge.  Zeigen  Sie,  dass  eine  Teilfolge  existiert,  die  gegen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u221e<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">divergiert.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir k\u00f6nnen auch uneigentliche Grenzwerte verwenden, um den Limes superior und den Limes inferior f\u00fcr unbeschr\u00e4nkte Folgen zu definieren. In der Tat, falls die reellwertige Folge&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> nicht von oben beschr\u00e4nkt ist, dann gilt&nbsp;<math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> f\u00fcr alle&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> (siehe Abschnitt&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/maximum-und-supremum#x1-650003\">2.5.3<\/a>) und wir setzen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> zwar von oben, aber nicht von unten beschr\u00e4nkt ist, dann setzen wir&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> limsup<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> lim<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munder><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\">sup<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> (wobei aber&nbsp;<math display=\"inline\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi class=\"qopname\"> sup<\/mi><mo>  <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> m\u00f6glicherweise gegen&nbsp;<math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math> divergiert). Diese Erweiterungen der Definitionen gelten analog f\u00fcr den Limes inferior. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z09396a5de43b\"> <a id=\"x1-161003r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 6.21 <\/span>(Sandwich f\u00fcr uneigentlich Grenzwerte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie folgende uneigentliche Sandwich-Lemmata f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r zwei reelle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folgen<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mi 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