{"id":43,"date":"2021-12-15T09:53:03","date_gmt":"2021-12-15T09:53:03","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/polynome\/"},"modified":"2021-12-15T09:53:03","modified_gmt":"2021-12-15T09:53:03","slug":"polynome","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/polynome\/","title":{"raw":"Polynome","rendered":"Polynome"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: 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{list-style-type:lower-roman;}\n.enumerate4 {list-style-type:upper-alpha;}\n.obeylines-h,.obeylines-v {white-space: nowrap; }\ndiv.obeylines-v p { margin-top:0; margin-bottom:0; }\n.overline{ text-decoration:overline; }\n.overline img{ border-top: 1px solid black; }\ntd.displaylines {text-align:center; white-space:nowrap;}\n.centerline {text-align:center;}\n.rightline {text-align:right;}\npre.verbatim {font-family: monospace,monospace; text-align:left; clear:both; }\n.fbox {padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; 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border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 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font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style>\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"ze2d626d70a69\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">3.2 <\/span> <a id=\"x1-810002\"><\/a>Polynome<\/h3> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z557853a954b4\"> <a id=\"x1-81001r11\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 3.11 <\/span>(Polynomfunktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Eine <span class=\"ecbx-1095\">Polynomfunktion <\/span>auf <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> ist eine Funktion der Form <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Zahlen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> heissen die <span class=\"ecbx-1095\">Koeffizienten <\/span>von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Das gr\u00f6sste <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> ist der <span class=\"ecbx-1095\">Grad <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> der Polynomfunktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <\/mrow> <\/msub> <\/math> ist der <span class=\"ecbx-1095\">Leitkoeffizient <\/span>oder <span class=\"ecbx-1095\">f<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">hrende Koeffizient <\/span>von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls kein solches <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> existiert, das heisst, falls <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> die Polynomfunktion <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mn>0<\/mn><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> ist, so nennt man die Polynomfunktion die <span class=\"ecbx-1095\">Null <\/span>und setzt den Grad auf <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Eine Polynomfunktion der Form <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> wird auch <span class=\"ecbx-1095\">konstant <\/span>genannt                                                                                                                                                                           und kurz mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> bezeichnet. Eine Polynomfunktion mit Grad&nbsp;<math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> wird <span class=\"ecbx-1095\">affin <\/span>oder <span class=\"ecbx-1095\">linear <\/span>genannt. Eine Polynomfunktion der Form <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> heisst ein <span class=\"ecbx-1095\">Monom<\/span>. Wir sagen, dass eine Polynomfunktion <span class=\"ecbx-1095\">reell <\/span>ist, wenn die Koeffizienten reell gew\u00e4hlt werden k\u00f6nnen. Wir werden eine reelle Polynomfunktion auch mit der zugeh\u00f6rigen Funktion von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> nach&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> identifizieren. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass die Definition (<a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-77003r2\">3.2<\/a>) f\u00fcr die Definition einer Polynomfunktion gewissermassen notwendig ist, denn falls wir <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> bei <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> nicht definiert h\u00e4tten, dann w\u00e4re eine Polynomfunktion bei <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> nicht definiert. <\/p><p class=\"indent\">Polynomfunktionen lassen sich auf nat\u00fcrliche Weise addieren und multiplizieren. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zc9251e2de963\"> <a id=\"x1-81002r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.12 <\/span>(Ringstruktur der Polynomfunktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei Polynomfunktionen. Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten hier unter anderem zeigen, dass die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Summe <\/span><span class=\"ecti-1095\">von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch<\/span> <\/p><table id=\"z44bb18a48edb\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">und das <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Produkt<\/span> <\/p><table id=\"z3e205c0590ad\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wieder Polynomfunktionen sind.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen die Koeffizienten von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Koeffizient von<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Setzen Sie <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sie, dass<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><table id=\"za5bd1baf2ccf\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">max<\/mi><mo>  <\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msup> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben ist und insbesondere wieder eine Polynomfunktion ist.<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben ist und insbesondere wieder eine Polynomfunktion ist.<\/span><\/p><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie damit auch die Ungleichungen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mi class=\"qopname\"> max<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und dass im ersten Fall Gleichheit gilt, falls<\/span> <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Folgern Sie auch, dass der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Leitkoeffizient von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gerade das<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Produkt der Leitkoeffizienten von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das Produkt ist folgende Umformung n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzlich<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msup><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/munderover><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"2.03em\">(<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\">max<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"2.03em\">)<\/mo><\/mrow><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"2.03em\">(<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"2.03em\">)<\/mo><\/mrow><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wobei wir das Distributivgesetz zweimal angewendet haben um zu der Doppelsumme zu gelangen, in der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Doppelsumme<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\u2113<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gesetzt haben, die Reihenfolge der Summation vertauscht haben, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gegebenes<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber<\/span> <span class=\"ecti-1095\">den Index<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">summieren, und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwendet haben.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass die Axiome eines Ringes eine Teilmenge der Axiome eines K\u00f6rper sind und insbesondere f\u00fcr einen Ring nicht gefordert wird, dass ein multiplikatives Inverses existiert. F\u00fcr eine pr\u00e4zise Definition verweisen wir auf <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xschichl-steinbauer\">SS12<\/a>]<\/span> und auf <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xamann-escher\">AE06<\/a>]<\/span>. Die ganzen Zahlen und auch die Menge der Polynomfunktionen \u00fcber&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> bilden einen Ring. Dies bringt uns zu einer weiteren Definition. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z5a099e802c71\"> <a id=\"x1-81005r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 3.13 <\/span>(Polynome)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <a id=\"dx1-81006\"><\/a> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math> ein beliebiger K\u00f6rper. Ein <span class=\"ecbx-1095\">Polynom<\/span>&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> \u00fcber <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math> ist ein formaler Ausdruck der Form <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math>                                                                                                                                                                           und Koeffizienten <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Hierbei ist <math display=\"inline\"><mi>T<\/mi><\/math> ein Symbol, das man auch als <span class=\"ecbx-1095\">Variable <\/span>bezeichnet und das verwendet wird, um die Koeffzienten von einander zu trennen. Wir schreiben auch <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>T<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Weiter darf ein Summand der Form <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> aus der Summe entfernt werden. Wir definieren den <span class=\"ecbx-1095\">Polynomring<\/span>&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> als die Menge der Polynome \u00fcber&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math> in der Variablen&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>T<\/mi><\/math> mit Addition und Multiplikation gegeben durch die Formeln in \u00dcbung&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81002r12\">3.12<\/a> und verwenden ebenso die Begriffe Grad, Koeffizient, etc.&nbsp;wie in Definition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81001r11\">3.11<\/a> f\u00fcr Polynome<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Noch formaler ist f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\ud835\udd42<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> mit der endlichen Liste von Koeffizienten <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> zu identifizieren, wobei des Weiteren die Identifikation <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> verwendet wird  \u2013  siehe  die  formale  Konstruktion  in  einer  \u00dcbung  im  Abschnitt  <a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-1030009\">3.9<\/a>.  Die Schreibweise als Summe ist h\u00fcbscher und bei weitem nat\u00fcrlicher f\u00fcr die Definition der Multiplikation in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/span><\/span>. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Sie fragen sich jetzt vielleicht, und zwar mit Recht, was denn der Unterschied zwischen Definition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81001r11\">3.11<\/a> und Definition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81005r13\">3.13<\/a> sei (abgesehen davon, dass wir in letzterer allgemeinere K\u00f6rper zugelassen haben und einen anderen Buchstaben f\u00fcr die Variable verwendet haben). In der Tat, jedem Polynom&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> k\u00f6nnen wir eine Polynomfunktion&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> zuordnen. Diese Zuordnung ist nach Definition des Begriffs Polynomfunktion surjektiv, doch ist nicht klar, ob die Polynomfunktion ihre Koeffizienten eindeutig bestimmt. Insbesondere ist nicht klar, ob es nicht vielleicht zwei Darstellung der gleichen Polynomfunktion mit verschiedenen Koeffizienten gibt und ob nicht vielleicht der Grad der Polynomfunktion von dieser Darstellung abh\u00e4ngt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z95917ec5b604\"> <a id=\"x1-81007r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 3.14 <\/span>(Polynome auf endlichen K\u00f6rpern)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den K<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rper<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit zwei Elementen die Polynomfunktionen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und an der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Stelle <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Insbesondere<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">obwohl <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht durch die gleichen Koeffizienten gegeben sind. Wir unterscheiden die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Polynome<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(mit Grad <\/span><math display=\"inline\"><mn>3<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grad <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">),<\/span> <span class=\"ecti-1095\">obwohl die zugeh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rigen Polynomfunktionen identisch sind (womit es f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r diese Polynomfunktion<\/span> <span class=\"ecti-1095\">keinen wohldefinierten Grad gibt).<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Dieses Beispiel zeigt, dass die oben erw\u00e4hnte Unterscheidung zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom f\u00fcr gewisse K\u00f6rper notwendig ist. Wir werden hier zeigen, dass f\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> oder&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> die Zuordnung zwischen Polynome (welche per Definition eineindeutig einer Liste von Koeffizienten mit wohldefiniertem Grad entsprechen) und der zugeh\u00f6rigen Polynomfunktion bijektiv ist. Wir beweisen dies mittels einer weiteren wichtigen Eigenschaft von Polynomfunktionen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z91e55376c6cb\"> <a id=\"x1-81008r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 3.15 <\/span>(Wachstum von Polynomfunktionen und Eindeutigkeit der Koeffizienten)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es zu jeder positiven reellen Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine reelle Zahl <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auch <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Insbesondere ist die Zuordnung, die jedem Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die zugeh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rige Polynomfunktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zuweist, bijektiv. Dies gilt analog ebenso f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r reelle Polynome <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und reelle Polynomfunktionen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Intuitiv formuliert besagt die Proposition, dass ein nicht-konstantes Polynom bei \u201egrossen\u201c <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> auch grosse Werte annimmt (gross ist im Absolutbetrag zu verstehen). Auf Grund der zweiten Aussage in obiger Proposition werden wir in der Analysis in Zukunft die Begriffe Polynom und Polynomfunktion nicht mehr unterscheiden und f\u00fcr eine Polynomfunktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> schreiben. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir definieren <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> womit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nun behaupten wir, dass die Polynomfunktion <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> \u201elangsamer w\u00e4chst als\u201c <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> und sch\u00e4tzen also <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> nach oben ab:                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">wobei wir <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> gesetzt haben und <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> in der Form <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> verwendet haben. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung (siehe Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/intervalle-und-der-absolutbetrag#x1-600002\">2.4.2<\/a>) und <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt somit <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">falls <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> oder \u00e4quivalenterweise <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Sei nun <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> beliebig. Dann w\u00e4hlen wir                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> max<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>M<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Falls nun <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> die Ungleichung <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>R<\/mi><\/math> erf\u00fcllt, dann gilt <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>z<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wonach obige Ungleichungen ergeben <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>M<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>M<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">was die erste Behauptung der Proposition beweist. <\/p><p class=\"indent\">Angenommen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> sind zwei Polynome, die <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> erf\u00fcllen. Dann hat das Polynom <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> die Eigenschaft, dass <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> gilt. Falls der Grad des Polynoms <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gr\u00f6sser gleich Eins ist, widerspricht dies dem ersten Teil der Proposition. Also ist <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> konstant, womit <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> gelten muss und daher sind die Polynome&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> identisch (d.h.&nbsp;sie haben denselben Grad und dieselben Koeffizienten). Diesen Beweis kann man ebenso f\u00fcr reelle Polynome und die zugeh\u00f6rigen Polynomfunktionen von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> nach <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           durchf\u00fchren. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <a id=\"x1-81009r80\"><\/a> <h4 id=\"zfb243aa70637\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">3.2.1 <\/span> <a id=\"x1-820001\"><\/a>Polynomdivision<\/h4> <p class=\"noindent\">Wie wir in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-54001r31\">2.31<\/a> gesehen haben, existiert auf <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> eine Division von <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> mit Rest gegeben durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dabei ist der Rest <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> strikt kleiner (bez\u00fcglich <math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><\/math>) als <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Division mit Rest gibt es auch f\u00fcr Polynome. Hier hat der Rest bei der Divison von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> einen kleineren Grad als <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir illustrieren dies an einem Beispiel und verschieben die allgemeine Aussage auf die n\u00e4chste \u00dcbung. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z57c25799775d\"> <a id=\"x1-82001r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 3.16.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegebenen Polynome. Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">behaupten, dass Polynome <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existieren,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dazu w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zuerst ein Polynom <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von der Form <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, denn dann ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Grad von <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">vier und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>5<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">hat einen strikt kleineren Grad<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir wenden das gleiche<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Prinzip nochmals auf <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">an<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und betrachten das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben durch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>5<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Insbesondere hat das Polynom<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einen strikt kleineren Grad<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mlich<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Null); wir setzen somit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wenn wir <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">setzen,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">haben wir also <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wie gew<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">nscht. Im Gymnasium wurde das Vorgehen vielleicht durch folgendes Diagramm<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dargestellt:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>5<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><munder accentunder=\"false\" class=\"mml-underline\"><mrow><mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo accent=\"true\">\u0332<\/mo><\/munder><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>5<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><munder accentunder=\"false\" class=\"mml-underline\"><mrow><mn>5<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><\/mrow><mo accent=\"true\">\u0332<\/mo><\/munder><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"qquad\" width=\"2em\" \/><mspace class=\"qquad\" width=\"2em\" \/><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr uns wird folgende \u00dcbung wichtig sein, wobei f\u00fcr konkrete Rechnungen sp\u00e4ter nicht nur die Existenz der Division mit Rest notwendig sein wird, sondern auch eine gewisse Rechenfertigkeit mit Polynomen und der Division mit Rest (wie in Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-82001r16\">3.16<\/a>) vorausgesetzt sein wird. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z814066873b18\"> <a id=\"x1-82002r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.17 <\/span>(Division mit Rest)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie folgende Version von Division mit Rest: Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Polynom verschieden von Null ist, dann gibt es f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei eindeutig bestimmte Polynome <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Abgesehen von der Buchf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrung entspricht der Beweis der Division mit Rest klar<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dem Algorithmus der Berechnung der Division mit Rest: Man verwendet Induktion nach dem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grad                                                                                                        von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und kann den  gleichen  Trick  wie  schon  in  obigem  Beispiel  f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r  den  Induktionsschritt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">verwenden.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr zwei Polynome <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> wird die Funktion <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <\/math> als eine <span class=\"ecbx-1095\">rationale Funktion <\/span>bezeichnet, diese hat als nat\u00fcrlichen Definitionsbereich die Menge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Division mit Rest hat f\u00fcr rationale Funktion <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <\/math> die Bedeutung, dass man letztere in der Form <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math> schreiben kann, wobei der Grad von <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> aber kleiner als der Grad von <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> ist. Dies ist n\u00fctzlich, da das Polynom <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und ebenso die rationale Funktion <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math> oft einfacher zu behandeln sind. <a id=\"x1-82003r82\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z791c3397ebb4\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">3.2.2 <\/span> <a id=\"x1-830002\"><\/a>Nullstellen und Interpolation<\/h4> <p class=\"noindent\">Beim Betrachten eines expliziten Polynoms (und auch sonst) interessiert man sich oft                                                                                                                                                                           f\u00fcr sehr spezifische Punkte, die Nullstellen des Polynoms. Eine <span class=\"ecbx-1095\">Nullstelle <\/span>eines Polynoms&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> ist eine Zahl <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-komplexen-zahlen#x1-560003\">2.3<\/a> wurde bereits erw\u00e4hnt, dass nach dem Fundamentalsatz der Algebra jede Gleichung der Form <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> eine L\u00f6sung \u00fcber <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> besitzt. \u00c4quivalent dazu ist, dass jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle hat. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z4a657ea968ba\"> <a id=\"x1-83001r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.18 <\/span>(Ein Spezialfall des Fundamentalsatzes der Algebra)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie die Wurzelfunktion aus <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-axiome-der-reellen-zahlen#x1-48001r11\"><span class=\"ecti-1095\">2.11<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, um zu zeigen, dass jedes Polynom von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grad <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und jedes reelle Polynom (also mit reellen Koeffizienten) von Grad <\/span><math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Nullstelle in<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besitzt. Geben Sie dabei die Nullstellen explizit an.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">An dieser Stelle muss man anmerken, dass der Beweis der allgemeinen Aussage deutlich komplizierter ist. F\u00fcr einen geschichtlichen Exkurs bez\u00fcglich Nullstellen eines Polynoms vom Grad 3 (also kubische Gleichungen) verweisen wir nochmals auf den <a href=\"http:\/\/www.bbc.co.uk\/programmes\/p003hyd9\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Podcast<\/a> der BBC (von der 14. Minute bis zur 21. Minute). Des Weiteren existiert f\u00fcr Polynome von Grad gr\u00f6sser gleich <math display=\"inline\"><mn>5<\/mn><\/math> im Allgemeinen keine explizite Formel f\u00fcr die Nullstellen. (Diese letzte Aussage ist Teil der Galois-Theorie, die auch in der Algebra-Vorlesung des 2. Studienjahres des Mathematikstudiums behandelt wird.) In Analogie zu ganzen Zahlen sagen wir, dass ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">teilt <\/span>falls es ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><\/math> gibt mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In folgender \u00dcbung interessieren wir uns f\u00fcr die Anzahl der Nullstellen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6e9fa9307118\"> <a id=\"x1-83002r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.19 <\/span>(Anzahl Nullstellen eines Polynoms)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein beliebiges Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und eine komplexe Zahl <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">teilt, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Nullstelle hat. Schliessen Sie daraus, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chstens <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verschiedene Nullstellen in <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besitzt, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht gerade gleich Null ist.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht Null ist und <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Nullstelle von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, dann gibt es nach Division mit Rest ein Polynom <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von Grad <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und eine Konstante <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und verwenden Sie Induktion nach <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">In Hinblick auf \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83002r19\">3.19<\/a> sagen wir auch, dass eine Nullstelle <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">Vielfachheit<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> hat, falls <math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> das Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> teilt, aber <math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> das Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> nicht teilt. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zefb61aca64d8\"> <a id=\"x1-83003r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.20 <\/span>(Koeffizientenvergleich)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei Polynome mit Grad kleiner gleich<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">stimmen auf mehr als <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Punkten <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berein (das heisst, <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r mehr als <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Punkte <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">).<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass dies <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert und insbesondere, dass die Grade und Koeffizienten von<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bereinstimmen.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Betrachten      Sie      f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r      die      erstere      Aussage      die      Differenz<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und wenden Sie <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83002r19\"><span class=\"ecti-1095\">3.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">an.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Falls <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> verschiedene Punkte und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> beliebige Werte sind, dann kann man ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> finden mit <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Auf Grund des Koeffizientenvergleich in \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83003r20\">3.20<\/a> ist dieses auch eindeutig durch diese <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/math> komplexen Zahlen bestimmt. Das Auffinden eines solchen Polynoms wird auch als <span class=\"ecbx-1095\">Lagrange<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Polynominterpolation <\/span>bezeichnet. Unter Verwendung der Summennotation und einer leicht adaptierten Produktnotation k\u00f6nnen wir dieses Polynom auch konkret durch <\/p><table id=\"zfd19fc3c925d\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u220f<\/mo> <\/mrow><mrow> <mtable class=\"subarray-c\" columnalign=\"center\" rowspacing=\"0\"><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u220f<\/mo> <\/mrow><mrow> <mtable class=\"subarray-c\" columnalign=\"center\" rowspacing=\"0\"><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\">angeben (was ohne Verwendung dieser Notation extrem unangenehme Ausdr\u00fccke liefern w\u00fcrde). In der Tat k\u00f6nnen wir f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/math> die Polynome                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u220f<\/mo> <\/mrow><mrow> <mtable class=\"subarray-c\" columnalign=\"center\" rowspacing=\"0\"><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definieren, wobei wir <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u220f<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mtable class=\"subarray-c\" columnalign=\"center\" rowspacing=\"0\"><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr die Definition des Polynoms <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> verwendet haben. Setzt man nun die Werte <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> ein, so sieht man <\/p> <table id=\"z2e72ba823a14\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"><msub><mrow> <mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow class=\"cases\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mn>1<\/mn> <mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mrow> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\">und damit <\/p> <table id=\"zf40df646b0cc\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\">F\u00fcr uns werden diese Formeln nicht besonders wichtig sein, doch zeigen sie sehr deutlich den Vorteil der Summen- und Produktnotation auf. Des Weiteren zeigt obige Diskussion, dass f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> vorgegebene und paarweise verschiedene Zahlen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> die Polynome <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine Basis des Vektorraums <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> bilden, die eben bei diesem Interpolationsproblem der eher \u00fcblichen Basis <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> vorzuziehen ist. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z7ee3c789fb41\"> <a id=\"x1-83004r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 3.21 <\/span>(Polynominterpolation)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><\/p><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 682px\"><iframe height=\"695px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/xdhyrqqq\/width\/682\/height\/695\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir stellen  in  diesem  Applet  die  Polynom-Interpolation  grafisch  dar,  wobei  sie  bis  zu<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>7<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Punkte<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen,  um  ein  Polynom  zu  definieren.  Nach  einigen  Experimenten  sieht<\/span> <span class=\"ecti-1095\">man bereits Nachteile  der  Polynominterpolation.  Wenn  man  bespielsweise  die  Werte<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nahe                     an                     einander                     w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlt                     aber<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht so nahe, so ergeben sich schnell grosse Koeffizienten des Interpolationspolynoms, was<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bespielsweise                                                                                        zwischen<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">unerwartete Auswirkungen f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Funktionswerte des Polynoms haben kann.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir erw\u00e4hnen noch, dass viele Aussagen (mit Ausnahme des Fundamentalsatzes der Algebra), die wir zuvor f\u00fcr den K\u00f6rper <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> formuliert haben, auch f\u00fcr reelle Polynome und den Polynomring <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> in analoger Weise richtig sind.                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zd68c7b428d7e\"> <a id=\"x1-83005r22\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.22.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Verallgemeinern Sie in der richtigen Notation die <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bungen <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81002r12\"><span class=\"ecti-1095\">3.12<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-82002r17\"><span class=\"ecti-1095\">3.17<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83002r19\"><span class=\"ecti-1095\">3.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83003r20\"><span class=\"ecti-1095\">3.20<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einen beliebigen K<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rper <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zc60c5de66539\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\">Der Grund,  wieso  man  oft  auch  den  hier  erkl\u00e4rten,  formalen  Standpunkt  der Unterscheidung von Polynomfunktionen und Polynomen einnimmt, ist zum einen, dass man damit auch endliche K\u00f6rper gescheit behandeln kann und zum anderen, dass die formale Herangehensweise geeigneter ist f\u00fcr algebraische Konstruktionen. Wir wollen ein wichtiges Beispiel dazu erw\u00e4hnen. <\/p><p class=\"indent\">Die komplexen Zahlen lassen sich als \u00c4quivalenzklassen von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> bez\u00fcglich der \u00c4quivalenzrelation <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u223c<\/mo> <mi>g<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;teilt&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>g<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">auffassen. In der Tat bezeichnen wir die \u00c4quivalenzklasse von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> einfach durch&nbsp;<math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/math> und erhalten aus den Definitionen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In dieser Konstruktion kann man schnell eine Addition und eine Multiplikation auf                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> definieren und erh\u00e4lt die K\u00f6rperstruktur auf <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ohne dass man dabei Kommutativit\u00e4t, Assoziativit\u00e4t, und Distributivit\u00e4t verifizieren m\u00fcsste, da diese Eigenschaften bereits auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> gelten. (Wieso gelten diese auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> und wieso gelten diese dann auch f\u00fcr den Quotientenraum? K\u00f6nnen Sie den Beweis dieser Eigenschaften auf die Axiome zur\u00fcckf\u00fchren? <button class=\"hover-trigger\">(Wieso?)<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">Da wir reelle Polynome und reelle Polynomfunktionen identifizieren d\u00fcrfen, k\u00f6nnen wir zum Beispiel argumentieren, dass die Distributivit\u00e4t f\u00fcr Polynome erf\u00fcllt ist, da <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>h<\/mi><\/math> bei jedem Punkt <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> auf Grund der Distributivit\u00e4t in <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> erf\u00fcllt ist. Addition und Multiplikation von Polynome induzieren wohldefinierte Operationen auf dem Quotientenraum, und Identit\u00e4ten, die f\u00fcr Polynome gelten, gelten dann ebenso f\u00fcr die Elemente im Quotientenraum.<\/span><\/span>) Auf diese Art und Weise kann man viele weitere K\u00f6rper aus <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> f\u00fcr einen K\u00f6rper <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math> erhalten (siehe wiederum die Algebra-Vorlesungen des zweiten Jahres des Mathematik-Studiums). <\/p> <\/div> <a id=\"x1-83006r83\"><\/a> <h4 id=\"zb947bc69abaf\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">3.2.3 <\/span> <a id=\"x1-840003\"><\/a>Algebraische und transzendente Zahlen<\/h4> <p class=\"noindent\">Eine Zahl <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">algebraisch<\/span>, falls es ein von Null verschiedenes Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> gibt mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Beispielsweise sind <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/math> und <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> algebraisch, denn <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> hat <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math> als Nullstelle und <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math> hat <math display=\"inline\"><msqrt><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt> <\/math> als Nullstelle. Des Weiteren ist jede rationale Zahl algebraisch. Die Menge <math display=\"inline\"><mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi>\u211a<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><\/math> der algebraischen Zahlen wird auch der <span class=\"ecbx-1095\">algebraische Abschluss <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> genannt und ist (wie wir hier nicht zeigen wollen) ein Unterk\u00f6rper von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Nicht-algebraische Zahlen nennt man <span class=\"ecbx-1095\">transzendent<\/span>. Interessanterweise sind die meisten Zahlen transzendent, wie die n\u00e4chste \u00dcbung zeigt. Beispiele von transzendenten Zahlen werden wir                                                                                                                                                                           allerdings erst sp\u00e4ter angeben k\u00f6nnen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zdd9def6c4c0f\"> <a id=\"x1-84001r23\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.23.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen                  Sie,                  dass                  der                  Polynomring<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar unendlich    ist.    Schliessen    Sie,    dass    der    algebraische    Abschluss<\/span> <math display=\"inline\"><mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi>\u211a<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar unendlich ist.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Verwenden            Sie            f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r            Ersteres,            dass<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar ist und  dass  abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbare  Vereinigungen  und  endliche  kartesische  Produkte  von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbaren Mengen abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar sind. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Zweiteres k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie von <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83002r19\"><span class=\"ecti-1095\">3.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">Gebrauch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">machen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-84002r81\"><\/a> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: 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{list-style-type:decimal;}\n.enumerate2 {list-style-type:lower-alpha;}\n.enumerate3 {list-style-type:lower-roman;}\n.enumerate4 {list-style-type:upper-alpha;}\n.obeylines-h,.obeylines-v {white-space: nowrap; }\ndiv.obeylines-v p { margin-top:0; margin-bottom:0; }\n.overline{ text-decoration:overline; }\n.overline img{ border-top: 1px solid black; }\ntd.displaylines {text-align:center; white-space:nowrap;}\n.centerline {text-align:center;}\n.rightline {text-align:right;}\npre.verbatim {font-family: monospace,monospace; text-align:left; clear:both; }\n.fbox {padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"ze2d626d70a69\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">3.2 <\/span> <a id=\"x1-810002\"><\/a>Polynome<\/h3> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z557853a954b4\"> <a id=\"x1-81001r11\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 3.11 <\/span>(Polynomfunktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Eine <span class=\"ecbx-1095\">Polynomfunktion <\/span>auf <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> ist eine Funktion der Form <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Zahlen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> heissen die <span class=\"ecbx-1095\">Koeffizienten <\/span>von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Das gr\u00f6sste <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> ist der <span class=\"ecbx-1095\">Grad <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> der Polynomfunktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <\/mrow> <\/msub> <\/math> ist der <span class=\"ecbx-1095\">Leitkoeffizient <\/span>oder <span class=\"ecbx-1095\">f<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">hrende Koeffizient <\/span>von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls kein solches <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> existiert, das heisst, falls <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> die Polynomfunktion <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mn>0<\/mn><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> ist, so nennt man die Polynomfunktion die <span class=\"ecbx-1095\">Null <\/span>und setzt den Grad auf <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>\u221e<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Eine Polynomfunktion der Form <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> wird auch <span class=\"ecbx-1095\">konstant <\/span>genannt                                                                                                                                                                           und kurz mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> bezeichnet. Eine Polynomfunktion mit Grad&nbsp;<math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> wird <span class=\"ecbx-1095\">affin <\/span>oder <span class=\"ecbx-1095\">linear <\/span>genannt. Eine Polynomfunktion der Form <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> heisst ein <span class=\"ecbx-1095\">Monom<\/span>. Wir sagen, dass eine Polynomfunktion <span class=\"ecbx-1095\">reell <\/span>ist, wenn die Koeffizienten reell gew\u00e4hlt werden k\u00f6nnen. Wir werden eine reelle Polynomfunktion auch mit der zugeh\u00f6rigen Funktion von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> nach&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> identifizieren. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass die Definition (<a href=\"..\/..\/chapter\/summen-und-produkte#x1-77003r2\">3.2<\/a>) f\u00fcr die Definition einer Polynomfunktion gewissermassen notwendig ist, denn falls wir <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> bei <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> nicht definiert h\u00e4tten, dann w\u00e4re eine Polynomfunktion bei <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> nicht definiert. <\/p><p class=\"indent\">Polynomfunktionen lassen sich auf nat\u00fcrliche Weise addieren und multiplizieren. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zc9251e2de963\"> <a id=\"x1-81002r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.12 <\/span>(Ringstruktur der Polynomfunktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei Polynomfunktionen. Wir m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chten hier unter anderem zeigen, dass die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Summe <\/span><span class=\"ecti-1095\">von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch<\/span> <\/p><table id=\"z44bb18a48edb\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">und das <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Produkt<\/span> <\/p><table id=\"z3e205c0590ad\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wieder Polynomfunktionen sind.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen die Koeffizienten von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Koeffizient von<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Setzen Sie <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sie, dass<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><table id=\"za5bd1baf2ccf\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">max<\/mi><mo>  <\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msup> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben ist und insbesondere wieder eine Polynomfunktion ist.<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gegeben ist und insbesondere wieder eine Polynomfunktion ist.<\/span><\/p><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie damit auch die Ungleichungen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mi class=\"qopname\"> max<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und dass im ersten Fall Gleichheit gilt, falls<\/span> <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Folgern Sie auch, dass der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Leitkoeffizient von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gerade das<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Produkt der Leitkoeffizienten von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das Produkt ist folgende Umformung n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzlich<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msup><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/munderover><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"2.03em\">(<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\">max<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"2.03em\">)<\/mo><\/mrow><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"2.03em\">(<\/mo><mrow><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"2.03em\">)<\/mo><\/mrow><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wobei wir das Distributivgesetz zweimal angewendet haben um zu der Doppelsumme zu gelangen, in der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Doppelsumme<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>\u2113<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gesetzt haben, die Reihenfolge der Summation vertauscht haben, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gegebenes<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber<\/span> <span class=\"ecti-1095\">den Index<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">summieren, und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>b<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>j<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwendet haben.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass die Axiome eines Ringes eine Teilmenge der Axiome eines K\u00f6rper sind und insbesondere f\u00fcr einen Ring nicht gefordert wird, dass ein multiplikatives Inverses existiert. F\u00fcr eine pr\u00e4zise Definition verweisen wir auf <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xschichl-steinbauer\">SS12<\/a>]<\/span> und auf <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xamann-escher\">AE06<\/a>]<\/span>. Die ganzen Zahlen und auch die Menge der Polynomfunktionen \u00fcber&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> bilden einen Ring. Dies bringt uns zu einer weiteren Definition. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z5a099e802c71\"> <a id=\"x1-81005r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 3.13 <\/span>(Polynome)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <a id=\"dx1-81006\"><\/a> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math> ein beliebiger K\u00f6rper. Ein <span class=\"ecbx-1095\">Polynom<\/span>&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> \u00fcber <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math> ist ein formaler Ausdruck der Form <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math>                                                                                                                                                                           und Koeffizienten <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Hierbei ist <math display=\"inline\"><mi>T<\/mi><\/math> ein Symbol, das man auch als <span class=\"ecbx-1095\">Variable <\/span>bezeichnet und das verwendet wird, um die Koeffzienten von einander zu trennen. Wir schreiben auch <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>T<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Weiter darf ein Summand der Form <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> aus der Summe entfernt werden. Wir definieren den <span class=\"ecbx-1095\">Polynomring<\/span>&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> als die Menge der Polynome \u00fcber&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math> in der Variablen&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>T<\/mi><\/math> mit Addition und Multiplikation gegeben durch die Formeln in \u00dcbung&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81002r12\">3.12<\/a> und verwenden ebenso die Begriffe Grad, Koeffizient, etc.&nbsp;wie in Definition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81001r11\">3.11<\/a> f\u00fcr Polynome<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Noch formaler ist f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u2211<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\ud835\udd42<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> mit der endlichen Liste von Koeffizienten <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> zu identifizieren, wobei des Weiteren die Identifikation <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> verwendet wird  \u2013  siehe  die  formale  Konstruktion  in  einer  \u00dcbung  im  Abschnitt  <a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-1030009\">3.9<\/a>.  Die Schreibweise als Summe ist h\u00fcbscher und bei weitem nat\u00fcrlicher f\u00fcr die Definition der Multiplikation in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/span><\/span>. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Sie fragen sich jetzt vielleicht, und zwar mit Recht, was denn der Unterschied zwischen Definition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81001r11\">3.11<\/a> und Definition&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81005r13\">3.13<\/a> sei (abgesehen davon, dass wir in letzterer allgemeinere K\u00f6rper zugelassen haben und einen anderen Buchstaben f\u00fcr die Variable verwendet haben). In der Tat, jedem Polynom&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> k\u00f6nnen wir eine Polynomfunktion&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> zuordnen. Diese Zuordnung ist nach Definition des Begriffs Polynomfunktion surjektiv, doch ist nicht klar, ob die Polynomfunktion ihre Koeffizienten eindeutig bestimmt. Insbesondere ist nicht klar, ob es nicht vielleicht zwei Darstellung der gleichen Polynomfunktion mit verschiedenen Koeffizienten gibt und ob nicht vielleicht der Grad der Polynomfunktion von dieser Darstellung abh\u00e4ngt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z95917ec5b604\"> <a id=\"x1-81007r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 3.14 <\/span>(Polynome auf endlichen K\u00f6rpern)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den K<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rper<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit zwei Elementen die Polynomfunktionen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Bei <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und an der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Stelle <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Insbesondere<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">obwohl <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht durch die gleichen Koeffizienten gegeben sind. Wir unterscheiden die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Polynome<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(mit Grad <\/span><math display=\"inline\"><mn>3<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udd3d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grad <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">),<\/span> <span class=\"ecti-1095\">obwohl die zugeh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rigen Polynomfunktionen identisch sind (womit es f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r diese Polynomfunktion<\/span> <span class=\"ecti-1095\">keinen wohldefinierten Grad gibt).<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Dieses Beispiel zeigt, dass die oben erw\u00e4hnte Unterscheidung zwischen einer Polynomfunktion und einem Polynom f\u00fcr gewisse K\u00f6rper notwendig ist. Wir werden hier zeigen, dass f\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> oder&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> die Zuordnung zwischen Polynome (welche per Definition eineindeutig einer Liste von Koeffizienten mit wohldefiniertem Grad entsprechen) und der zugeh\u00f6rigen Polynomfunktion bijektiv ist. Wir beweisen dies mittels einer weiteren wichtigen Eigenschaft von Polynomfunktionen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z91e55376c6cb\"> <a id=\"x1-81008r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 3.15 <\/span>(Wachstum von Polynomfunktionen und Eindeutigkeit der Koeffizienten)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein nicht-konstantes Polynom. Dann gibt es zu jeder positiven reellen Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine reelle Zahl <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auch <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Insbesondere ist die Zuordnung, die jedem Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die zugeh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rige Polynomfunktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zuweist, bijektiv. Dies gilt analog ebenso f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r reelle Polynome <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und reelle Polynomfunktionen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Intuitiv formuliert besagt die Proposition, dass ein nicht-konstantes Polynom bei \u201egrossen\u201c <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> auch grosse Werte annimmt (gross ist im Absolutbetrag zu verstehen). Auf Grund der zweiten Aussage in obiger Proposition werden wir in der Analysis in Zukunft die Begriffe Polynom und Polynomfunktion nicht mehr unterscheiden und f\u00fcr eine Polynomfunktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> schreiben. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir definieren <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> womit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <msup><mrow><mi>T<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nun behaupten wir, dass die Polynomfunktion <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> \u201elangsamer w\u00e4chst als\u201c <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> und sch\u00e4tzen also <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> nach oben ab:                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">wobei wir <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/math> gesetzt haben und <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> in der Form <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> verwendet haben. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung (siehe Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/intervalle-und-der-absolutbetrag#x1-600002\">2.4.2<\/a>) und <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt somit <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><msup><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">falls <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> oder \u00e4quivalenterweise <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Sei nun <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> beliebig. Dann w\u00e4hlen wir                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> max<\/mi><mo>  <\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>M<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Falls nun <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> die Ungleichung <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>R<\/mi><\/math> erf\u00fcllt, dann gilt <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>z<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wonach obige Ungleichungen ergeben <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">|<\/mo><\/mrow> <mfrac><mrow><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>M<\/mi><\/mrow> <mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>M<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">was die erste Behauptung der Proposition beweist. <\/p><p class=\"indent\">Angenommen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> sind zwei Polynome, die <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> erf\u00fcllen. Dann hat das Polynom <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> die Eigenschaft, dass <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> gilt. Falls der Grad des Polynoms <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gr\u00f6sser gleich Eins ist, widerspricht dies dem ersten Teil der Proposition. Also ist <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> konstant, womit <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> gelten muss und daher sind die Polynome&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> identisch (d.h.&nbsp;sie haben denselben Grad und dieselben Koeffizienten). Diesen Beweis kann man ebenso f\u00fcr reelle Polynome und die zugeh\u00f6rigen Polynomfunktionen von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> nach <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           durchf\u00fchren. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <a id=\"x1-81009r80\"><\/a> <h4 id=\"zfb243aa70637\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">3.2.1 <\/span> <a id=\"x1-820001\"><\/a>Polynomdivision<\/h4> <p class=\"noindent\">Wie wir in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-54001r31\">2.31<\/a> gesehen haben, existiert auf <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> eine Division von <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> mit Rest gegeben durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dabei ist der Rest <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> strikt kleiner (bez\u00fcglich <math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo><\/math>) als <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Division mit Rest gibt es auch f\u00fcr Polynome. Hier hat der Rest bei der Divison von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> einen kleineren Grad als <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir illustrieren dies an einem Beispiel und verschieben die allgemeine Aussage auf die n\u00e4chste \u00dcbung. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z57c25799775d\"> <a id=\"x1-82001r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 3.16.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegebenen Polynome. Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">behaupten, dass Polynome <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existieren,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dazu w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zuerst ein Polynom <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von der Form <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, denn dann ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Grad von <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">vier und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>5<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">hat einen strikt kleineren Grad<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir wenden das gleiche<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Prinzip nochmals auf <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">an<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und betrachten das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben durch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>5<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Insbesondere hat das Polynom<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einen strikt kleineren Grad<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">mlich<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Null); wir setzen somit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wenn wir <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">setzen,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">haben wir also <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wie gew<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">nscht. Im Gymnasium wurde das Vorgehen vielleicht durch folgendes Diagramm<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dargestellt:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>5<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><munder accentunder=\"false\" class=\"mml-underline\"><mrow><mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo accent=\"true\">\u0332<\/mo><\/munder><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>5<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><munder accentunder=\"false\" class=\"mml-underline\"><mrow><mn>5<\/mn><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>5<\/mn><\/mrow><mo accent=\"true\">\u0332<\/mo><\/munder><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"qquad\" width=\"2em\" \/><mspace class=\"qquad\" width=\"2em\" \/><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr uns wird folgende \u00dcbung wichtig sein, wobei f\u00fcr konkrete Rechnungen sp\u00e4ter nicht nur die Existenz der Division mit Rest notwendig sein wird, sondern auch eine gewisse Rechenfertigkeit mit Polynomen und der Division mit Rest (wie in Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-82001r16\">3.16<\/a>) vorausgesetzt sein wird. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z814066873b18\"> <a id=\"x1-82002r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.17 <\/span>(Division mit Rest)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie folgende Version von Division mit Rest: Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Polynom verschieden von Null ist, dann gibt es f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei eindeutig bestimmte Polynome <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Abgesehen von der Buchf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrung entspricht der Beweis der Division mit Rest klar<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dem Algorithmus der Berechnung der Division mit Rest: Man verwendet Induktion nach dem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grad                                                                                                        von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und kann den  gleichen  Trick  wie  schon  in  obigem  Beispiel  f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r  den  Induktionsschritt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">verwenden.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr zwei Polynome <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> wird die Funktion <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <\/math> als eine <span class=\"ecbx-1095\">rationale Funktion <\/span>bezeichnet, diese hat als nat\u00fcrlichen Definitionsbereich die Menge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Division mit Rest hat f\u00fcr rationale Funktion <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac> <\/math> die Bedeutung, dass man letztere in der Form <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math> schreiben kann, wobei der Grad von <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> aber kleiner als der Grad von <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> ist. Dies ist n\u00fctzlich, da das Polynom <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und ebenso die rationale Funktion <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow> <mrow><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/mfrac><\/math> oft einfacher zu behandeln sind. <a id=\"x1-82003r82\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z791c3397ebb4\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">3.2.2 <\/span> <a id=\"x1-830002\"><\/a>Nullstellen und Interpolation<\/h4> <p class=\"noindent\">Beim Betrachten eines expliziten Polynoms (und auch sonst) interessiert man sich oft                                                                                                                                                                           f\u00fcr sehr spezifische Punkte, die Nullstellen des Polynoms. Eine <span class=\"ecbx-1095\">Nullstelle <\/span>eines Polynoms&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> ist eine Zahl <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-komplexen-zahlen#x1-560003\">2.3<\/a> wurde bereits erw\u00e4hnt, dass nach dem Fundamentalsatz der Algebra jede Gleichung der Form <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> eine L\u00f6sung \u00fcber <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> besitzt. \u00c4quivalent dazu ist, dass jedes nicht-konstante Polynom eine Nullstelle hat. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z4a657ea968ba\"> <a id=\"x1-83001r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.18 <\/span>(Ein Spezialfall des Fundamentalsatzes der Algebra)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Verwenden Sie die Wurzelfunktion aus <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-axiome-der-reellen-zahlen#x1-48001r11\"><span class=\"ecti-1095\">2.11<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, um zu zeigen, dass jedes Polynom von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Grad <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und jedes reelle Polynom (also mit reellen Koeffizienten) von Grad <\/span><math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Nullstelle in<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besitzt. Geben Sie dabei die Nullstellen explizit an.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">An dieser Stelle muss man anmerken, dass der Beweis der allgemeinen Aussage deutlich komplizierter ist. F\u00fcr einen geschichtlichen Exkurs bez\u00fcglich Nullstellen eines Polynoms vom Grad 3 (also kubische Gleichungen) verweisen wir nochmals auf den <a href=\"http:\/\/www.bbc.co.uk\/programmes\/p003hyd9\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Podcast<\/a> der BBC (von der 14. Minute bis zur 21. Minute). Des Weiteren existiert f\u00fcr Polynome von Grad gr\u00f6sser gleich <math display=\"inline\"><mn>5<\/mn><\/math> im Allgemeinen keine explizite Formel f\u00fcr die Nullstellen. (Diese letzte Aussage ist Teil der Galois-Theorie, die auch in der Algebra-Vorlesung des 2. Studienjahres des Mathematikstudiums behandelt wird.) In Analogie zu ganzen Zahlen sagen wir, dass ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">teilt <\/span>falls es ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><\/math> gibt mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In folgender \u00dcbung interessieren wir uns f\u00fcr die Anzahl der Nullstellen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6e9fa9307118\"> <a id=\"x1-83002r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.19 <\/span>(Anzahl Nullstellen eines Polynoms)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein beliebiges Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und eine komplexe Zahl <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass das Polynom <\/span><math display=\"inline\"><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">teilt, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bei <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Nullstelle hat. Schliessen Sie daraus, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chstens <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verschiedene Nullstellen in <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besitzt, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht gerade gleich Null ist.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht Null ist und <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Nullstelle von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, dann gibt es nach Division mit Rest ein Polynom <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von Grad <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und eine Konstante <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und verwenden Sie Induktion nach <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">In Hinblick auf \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83002r19\">3.19<\/a> sagen wir auch, dass eine Nullstelle <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>T<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">Vielfachheit<\/span> <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> hat, falls <math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> das Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> teilt, aber <math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>T<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> das Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> nicht teilt. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zefb61aca64d8\"> <a id=\"x1-83003r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.20 <\/span>(Koeffizientenvergleich)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei Polynome mit Grad kleiner gleich<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">stimmen auf mehr als <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Punkten <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berein (das heisst, <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r mehr als <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Punkte <\/span><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">).<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass dies <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert und insbesondere, dass die Grade und Koeffizienten von<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bereinstimmen.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Betrachten      Sie      f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r      die      erstere      Aussage      die      Differenz<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und wenden Sie <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83002r19\"><span class=\"ecti-1095\">3.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">an.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Falls <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> verschiedene Punkte und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> beliebige Werte sind, dann kann man ein Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> finden mit <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Auf Grund des Koeffizientenvergleich in \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83003r20\">3.20<\/a> ist dieses auch eindeutig durch diese <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/math> komplexen Zahlen bestimmt. Das Auffinden eines solchen Polynoms wird auch als <span class=\"ecbx-1095\">Lagrange<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Polynominterpolation <\/span>bezeichnet. Unter Verwendung der Summennotation und einer leicht adaptierten Produktnotation k\u00f6nnen wir dieses Polynom auch konkret durch <\/p><table id=\"zfd19fc3c925d\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u220f<\/mo> <\/mrow><mrow> <mtable class=\"subarray-c\" columnalign=\"center\" rowspacing=\"0\"><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u220f<\/mo> <\/mrow><mrow> <mtable class=\"subarray-c\" columnalign=\"center\" rowspacing=\"0\"><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\">angeben (was ohne Verwendung dieser Notation extrem unangenehme Ausdr\u00fccke liefern w\u00fcrde). In der Tat k\u00f6nnen wir f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/math> die Polynome                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u220f<\/mo> <\/mrow><mrow> <mtable class=\"subarray-c\" columnalign=\"center\" rowspacing=\"0\"><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definieren, wobei wir <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msubsup><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u220f<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mtable class=\"subarray-c\" columnalign=\"center\" rowspacing=\"0\"><mtr><mtd><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msubsup> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mn>0<\/mn><\/math> f\u00fcr die Definition des Polynoms <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> verwendet haben. Setzt man nun die Werte <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> ein, so sieht man <\/p> <table id=\"z2e72ba823a14\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"><msub><mrow> <mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow class=\"cases\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mn>1<\/mn> <mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>\u2113<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><msub><mrow><mi>q<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>k<\/mi> <\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mrow> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\">und damit <\/p> <table id=\"zf40df646b0cc\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u2211<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msub> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>w<\/mi><\/mrow><mrow><mi>\u2113<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\">F\u00fcr uns werden diese Formeln nicht besonders wichtig sein, doch zeigen sie sehr deutlich den Vorteil der Summen- und Produktnotation auf. Des Weiteren zeigt obige Diskussion, dass f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> vorgegebene und paarweise verschiedene Zahlen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> die Polynome <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>p<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> eine Basis des Vektorraums <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"qopname\">deg<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> bilden, die eben bei diesem Interpolationsproblem der eher \u00fcblichen Basis <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msup><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> vorzuziehen ist. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z7ee3c789fb41\"> <a id=\"x1-83004r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 3.21 <\/span>(Polynominterpolation)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 682px\"><iframe height=\"695px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/xdhyrqqq\/width\/682\/height\/695\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/true\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir stellen  in  diesem  Applet  die  Polynom-Interpolation  grafisch  dar,  wobei  sie  bis  zu<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>7<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Punkte<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">verwenden k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen,  um  ein  Polynom  zu  definieren.  Nach  einigen  Experimenten  sieht<\/span> <span class=\"ecti-1095\">man bereits Nachteile  der  Polynominterpolation.  Wenn  man  bespielsweise  die  Werte<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nahe                     an                     einander                     w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlt                     aber<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht so nahe, so ergeben sich schnell grosse Koeffizienten des Interpolationspolynoms, was<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bespielsweise                                                                                        zwischen<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">unerwartete Auswirkungen f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Funktionswerte des Polynoms haben kann.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir erw\u00e4hnen noch, dass viele Aussagen (mit Ausnahme des Fundamentalsatzes der Algebra), die wir zuvor f\u00fcr den K\u00f6rper <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> formuliert haben, auch f\u00fcr reelle Polynome und den Polynomring <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> in analoger Weise richtig sind.                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zd68c7b428d7e\"> <a id=\"x1-83005r22\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.22.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Verallgemeinern Sie in der richtigen Notation die <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bungen <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-81002r12\"><span class=\"ecti-1095\">3.12<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-82002r17\"><span class=\"ecti-1095\">3.17<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83002r19\"><span class=\"ecti-1095\">3.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83003r20\"><span class=\"ecti-1095\">3.20<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einen beliebigen K<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rper <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zc60c5de66539\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\">Der Grund,  wieso  man  oft  auch  den  hier  erkl\u00e4rten,  formalen  Standpunkt  der Unterscheidung von Polynomfunktionen und Polynomen einnimmt, ist zum einen, dass man damit auch endliche K\u00f6rper gescheit behandeln kann und zum anderen, dass die formale Herangehensweise geeigneter ist f\u00fcr algebraische Konstruktionen. Wir wollen ein wichtiges Beispiel dazu erw\u00e4hnen. <\/p><p class=\"indent\">Die komplexen Zahlen lassen sich als \u00c4quivalenzklassen von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> bez\u00fcglich der \u00c4quivalenzrelation <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u223c<\/mo> <mi>g<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;teilt&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>g<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">auffassen. In der Tat bezeichnen wir die \u00c4quivalenzklasse von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> einfach durch&nbsp;<math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/math> und erhalten aus den Definitionen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In dieser Konstruktion kann man schnell eine Addition und eine Multiplikation auf                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math> definieren und erh\u00e4lt die K\u00f6rperstruktur auf <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ohne dass man dabei Kommutativit\u00e4t, Assoziativit\u00e4t, und Distributivit\u00e4t verifizieren m\u00fcsste, da diese Eigenschaften bereits auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> gelten. (Wieso gelten diese auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> und wieso gelten diese dann auch f\u00fcr den Quotientenraum? K\u00f6nnen Sie den Beweis dieser Eigenschaften auf die Axiome zur\u00fcckf\u00fchren? <button class=\"hover-trigger\">(Wieso?)<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">Da wir reelle Polynome und reelle Polynomfunktionen identifizieren d\u00fcrfen, k\u00f6nnen wir zum Beispiel argumentieren, dass die Distributivit\u00e4t f\u00fcr Polynome erf\u00fcllt ist, da <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>h<\/mi><\/math> bei jedem Punkt <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> auf Grund der Distributivit\u00e4t in <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> erf\u00fcllt ist. Addition und Multiplikation von Polynome induzieren wohldefinierte Operationen auf dem Quotientenraum, und Identit\u00e4ten, die f\u00fcr Polynome gelten, gelten dann ebenso f\u00fcr die Elemente im Quotientenraum.<\/span><\/span>) Auf diese Art und Weise kann man viele weitere K\u00f6rper aus <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> f\u00fcr einen K\u00f6rper <math display=\"inline\"><mi>\ud835\udd42<\/mi><\/math> erhalten (siehe wiederum die Algebra-Vorlesungen des zweiten Jahres des Mathematik-Studiums). <\/p> <\/div> <a id=\"x1-83006r83\"><\/a> <h4 id=\"zb947bc69abaf\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">3.2.3 <\/span> <a id=\"x1-840003\"><\/a>Algebraische und transzendente Zahlen<\/h4> <p class=\"noindent\">Eine Zahl <math display=\"inline\"><mi>\u03b1<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2102<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">algebraisch<\/span>, falls es ein von Null verschiedenes Polynom <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> gibt mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u03b1<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Beispielsweise sind <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> i<\/mi><mo>  <\/mo> <\/math> und <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> algebraisch, denn <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> hat <math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">i<\/mi><mo>  <\/mo><\/math> als Nullstelle und <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math> hat <math display=\"inline\"><msqrt><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt> <\/math> als Nullstelle. Des Weiteren ist jede rationale Zahl algebraisch. Die Menge <math display=\"inline\"><mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi>\u211a<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><\/math> der algebraischen Zahlen wird auch der <span class=\"ecbx-1095\">algebraische Abschluss <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> genannt und ist (wie wir hier nicht zeigen wollen) ein Unterk\u00f6rper von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2102<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Nicht-algebraische Zahlen nennt man <span class=\"ecbx-1095\">transzendent<\/span>. Interessanterweise sind die meisten Zahlen transzendent, wie die n\u00e4chste \u00dcbung zeigt. Beispiele von transzendenten Zahlen werden wir                                                                                                                                                                           allerdings erst sp\u00e4ter angeben k\u00f6nnen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zdd9def6c4c0f\"> <a id=\"x1-84001r23\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 3.23.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen                  Sie,                  dass                  der                  Polynomring<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar unendlich    ist.    Schliessen    Sie,    dass    der    algebraische    Abschluss<\/span> <math display=\"inline\"><mover accent=\"false\" class=\"mml-overline\"><mrow><mi>\u211a<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">\u00af<\/mo><\/mover><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar unendlich ist.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Verwenden            Sie            f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r            Ersteres,            dass<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar ist und  dass  abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbare  Vereinigungen  und  endliche  kartesische  Produkte  von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbaren Mengen abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar sind. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Zweiteres k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie von <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/polynome#x1-83002r19\"><span class=\"ecti-1095\">3.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">Gebrauch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">machen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-84002r81\"><\/a> \n","protected":false},"author":1089,"menu_order":2,"template":"","meta":{"pb_show_title":"","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-43","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":41,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/43","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/43\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/41"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/43\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=43"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=43"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=43"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=43"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}