{"id":35,"date":"2021-12-15T09:52:59","date_gmt":"2021-12-15T09:52:59","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen\/"},"modified":"2021-12-15T09:52:59","modified_gmt":"2021-12-15T09:52:59","slug":"die-natuerlichen-zahlen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen\/","title":{"raw":"Die nat\u00fcrlichen Zahlen","rendered":"Die nat\u00fcrlichen Zahlen"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style>\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zfd988b298f44\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2 <\/span> <a id=\"x1-500002\"><\/a>Die nat\u00fcrlichen Zahlen<\/h3> <p class=\"noindent\">Da wir alle unsere Diskussionen auf den Axiomen der reellen Zahlen in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-axiome-der-reellen-zahlen#x1-440001\">2.1<\/a> aufbauen werden, wollen wir jetzt die nat\u00fcrlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen finden und die wichtigsten elementaren und geometrischen Eigenschaften dieser Zahlen beweisen. <a id=\"x1-50001r49\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z22a0cd1d24d6\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.1 <\/span> <a id=\"x1-510001\"><\/a>Definition der nat\u00fcrlichen Zahlen und vollst\u00e4ndige Induktion<\/h4> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z37b82d753827\"> <a id=\"x1-51001r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 2.12 <\/span>(Induktive Teilmengen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Eine Teilmenge <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> ist <span class=\"ecbx-1095\">induktiv<\/span>, falls folgende zwei Eigenschaften gelten: <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> (i)<\/dt><dd class=\"enumerate\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> (ii)<\/dt><dd class=\"enumerate\">F\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Beispielsweise ist <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> eine induktive Menge (gewissermassen die gr\u00f6sste solche). Die \u201ekleinste\u201c induktive Menge sollen die nat\u00fcrlichen Zahlen sein. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z33ab46f5a1ab\"> <a id=\"x1-51004r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 2.13 <\/span>(Nat\u00fcrliche Zahlen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Wir definieren die Teilmenge der <span class=\"ecbx-1095\">nat<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">rlichen Zahlen<\/span><a id=\"dx1-51005\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> als Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>M<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo><mi>\u211d<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;&nbsp;induktiv<\/mtext><\/mstyle><\/mrow><\/munder><mi>M<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Aus der Definition folgt unmittelbar, dass <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in jeder induktiven Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> enthalten ist und dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da jede induktive Teilmenge die Eins enthalten muss und <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen ist. Des Weiteren k\u00f6nnen wir folgern, dass f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Ungleichung <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> gilt. In der Tat ist die Teilmenge <math display=\"inline\"><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> induktiv (\u00fcberpr\u00fcfen Sie dies) und enth\u00e4lt somit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z2416ca5483aa\"> <a id=\"x1-51006r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.14 <\/span>(Kleinste induktive Menge)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die                                         nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen                                         Zahlen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bilden eine induktive und somit die kleinste induktive Teilmenge der reellen Zahlen.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir haben oben bereits gesehen, dass <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist. Falls nun <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist und <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> eine beliebige induktive                                                                                                                                                                           Teilmenge ist, dann gilt auch <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> (wegen der Definition von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math>). Da <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> induktiv ist, gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> aber eine beliebige induktive Teilmenge war, liegt <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> in jeder induktiven Teilmenge und somit auch in <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> per Definition von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir haben f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> also beide Eigenschaften einer induktiven Teilmenge nachgewiesen und das Lemma folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir k\u00f6nnen nun das Prinzip der vollst\u00e4ndigen Induktion als Konsequenz unserer Definition der nat\u00fcrlichen Zahlen (und der Axiome der reellen Zahlen) beweisen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3dcc25a8a169\"> <a id=\"x1-51007r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 2.15 <\/span>(Vollst\u00e4ndige Induktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber die nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsanfang) <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsschritt) <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gelten, dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir definieren <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>E<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> womit folgende Aussagen gelten. <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> auf Grund des Induktionsanfanges gilt.                                                                                                                                                                           <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">F\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> gilt, dass <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> nach Definition <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und auf Grund des Induktionsschrittes auch <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> impliziert.<\/div><\/div> <p class=\"noindent\">Daher ist <math display=\"inline\"><mi>E<\/mi><\/math> eine induktive Menge und es folgt, dass <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> nach Definition von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also gilt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z46fe3a0a33dd\"> <a id=\"x1-51008r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.16 <\/span>(Peano-Axiome)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen          Sie,          dass          die          oben          definierte          Teilmenge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Peano-Axiome         (siehe         Abschnitt         <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/zahlenmengen#x1-190005\"><span class=\"ecti-1095\">1.5<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">)         erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt,         wobei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u03bd<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Nachfolgerfunktion ist.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir untersuchen nun weitere algebraische und geometrische Eigenschaften von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Bedeutung der folgenden Diskussionen liegt nicht so sehr in den behaupteten Aussagen, die anschaulich klar sind. Vielmehr zeigen Sie, dass unsere Axiome von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> und unsere Definition von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> auch in der Lage sind, diese nat\u00fcrlichsten Eigenschaften von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> zu beweisen, die wiederum Grundlage f\u00fcr die weiteren Diskussionen bilden. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z4eab1375d7e8\"> <a id=\"x1-51009r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.17 <\/span>(Addition und Multiplikation auf <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Sei <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> die Aussage <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> denn falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann gilt auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> induktiv ist wegen Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51006r14\">2.14<\/a>. Dies ist der Induktionsanfang. F\u00fcr den Induktionsschritt nehmen wir also an, dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt oder in anderen Worten, dass f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt. Wegen Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51006r14\">2.14<\/a> impliziert letzteres aber auch <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und wir erhalten die Aussage <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Vollst\u00e4ndige Induktion zeigt daher <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was gerade die Aussage <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist. <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr die Multiplikation definieren wir <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> als die Aussage <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls nun <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt, dann folgt aus <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und aus dem ersten Teil des Lemmas auch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> beliebig war, gilt also <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und das Lemma folgt mittels vollst\u00e4ndiger Induktion. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Nachdem wir im letzten Lemma einige algebraische Fragen beantwortet haben, wollen wir uns nun geometrischen Fragen zuwenden. Da <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> induktiv ist, sind <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Gibt es eine nat\u00fcrliche Zahl zwischen <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math><\/span><span class=\"endquote\">?<\/span> Die negative Antwort zu dieser Frage ist in allgemeinerer Form in folgendem Lemma enthalten. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z28e4a05bbeae\"> <a id=\"x1-51010r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.18 <\/span>(Anordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/div><\/div> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr die erste Aussage zeigen wir, dass die Menge <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> die nat\u00fcrlichen Zahlen <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> enth\u00e4lt. In der Tat ist die Menge <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> induktiv, da <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> und da f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und damit <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> gilt. Nach Definition von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> ist also <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> wie gew\u00fcnscht. <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr die zweite Behauptung definieren wir f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> denn falls <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Ungleichung <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> erf\u00fcllt, dann gilt wegen <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Angenommen es gilt nun <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr ein <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und wir wollen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zeigen. Sei also <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> gilt. Falls <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist, dann gilt <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und damit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wegen <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> folgt                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> und somit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls aber <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist, dann ist wegen der ersten Behauptung <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da wir aber <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> angenommen haben, gilt <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> und daher <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Wir haben also den Induktionsanfang <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und den Induktionsschritt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr ein beliebiges <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> gezeigt. Daher gilt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und das Lemma folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wie bereits im Abschnitt&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/beweise#x1-250003\">1.8.3<\/a> kurz erw\u00e4hnt haben, gibt es mehrere Versionen der vollst\u00e4ndigen Induktion. Die folgende Variante wird mitunter auch \u201estarke Induktion\u201c genannt. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z4907b5ea31f3\"> <a id=\"x1-51011r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 2.19 <\/span>(Vollst\u00e4ndige Induktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber die nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Aussage<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktion) <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/math><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt ist, dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir definieren eine Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr nat\u00fcrliche Zahlen <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> durch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Mit vollst\u00e4ndiger Induktion (siehe Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51007r15\">2.15<\/a>) und der Anordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> (wie in Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\">2.18<\/a>) m\u00f6chten wir nun zeigen, dass <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt. Insbesondere folgt damit, dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt (wieso?), was den Beweis des Satzes abschliessen wird. <\/p><p class=\"indent\">Wir zeigen zuerst den Induktionsanfang, also dass die Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt. Da aber <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> die einzige nat\u00fcrliche Zahl mit <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist, gen\u00fcgt es, die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zu verifizieren. Hierf\u00fcr verwenden wir die Annahme im Satz f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> also die Aussage <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da es keine nat\u00fcrlichen Zahlen kleiner <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> gibt, ist f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Aussage <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math>                                                                                                                                                                           falsch, womit <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> richtig ist. Also gilt die Vorraussetzung der im Satz angenommenen Implikation f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und es folgt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> (und damit <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> wie gew\u00fcnscht). <\/p><p class=\"indent\">Sei nun <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gegeben. Wir wollen den Induktionsschritt <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> beweisen. Also nehmen wir an, dass <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> bereits gilt. Die Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ist durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">gegeben. F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> auf Grund von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\">2.18<\/a> \u00e4quivalent zu <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ist damit zu <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">\u00e4quivalent. Wegen der Annahme im Satz angewandt auf <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> impliziert dies aber <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was auf Grund obiger \u00c4quivalenz gemeinsam mit <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> die Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zeigt. Dies schliesst den Induktionsschritt und damit den Beweis des Satzes ab. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Die vollst\u00e4ndige Induktion in der Version von Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\">2.19<\/a> erlaubt uns im Induktionsschritt statt der Annahme, dass die Aussage bloss f\u00fcr die vorhergehende nat\u00fcrliche Zahl gilt, die st\u00e4rkere Annahme, dass die Aussage bereits f\u00fcr alle echt kleineren nat\u00fcrlichen Zahlen gilt, zu verwenden. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"ze1149f43621f\"> <a id=\"x1-51012r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.20 <\/span>(Versteckter Induktionsanfang)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In der Version der vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigen Induktion in Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\"><span class=\"ecti-1095\">2.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">scheint es keinen Induktionsanfang<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu geben. Wie kann das sein? Wo ist der Induktionsanfang versteckt?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die Antwort beruht auf den Eigenschaften des Allquantors.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass man die Induktion auch verwenden kann, um zum Beispiel f\u00fcr ein vorgebenes <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> eine Aussage f\u00fcr alle nat\u00fcrliche Zahlen <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> zu zeigen. In diesem Fall w\u00fcrde man als Induktionsanfang die Aussage f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> beweisen und im Induktionsschritt f\u00fcr eine nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> annehmen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zf0fa65676fc6\"> <a id=\"x1-51013r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.21 <\/span>(Varianten der vollst\u00e4ndigen Induktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Folgern Sie aus Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51007r15\"><span class=\"ecti-1095\">2.15<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">oder aus Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\"><span class=\"ecti-1095\">2.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">die folgenden Varianten der vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigen Induktion. Sei hierzu<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine beliebige Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahlen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen die Aussagen<\/span> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsanfang) <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsschritt) <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gelten, dann gilt ebenso <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Aussagen<\/span> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsanfang) <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsschritt) <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gelten, dann gilt auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahlen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/p><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Formal gesehen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen sie zum Beispiel die Aussage<\/span> <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i) und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (ii) betrachten.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zbfaac6cd153f\"> <a id=\"x1-51016r22\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 2.22 <\/span>(Wohlordnung der nat\u00fcrlichen Zahlen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine nicht-leere<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Teilmenge. Dann hat <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das heisst<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Die Existenz eines kleinsten Elements zu jeder nicht-leeren Teilmenge ist etwas, was die nat\u00fcrlichen Zahlen auszeichnet und beispielsweise von den reellen Zahlen nicht erf\u00fcllt ist. Die Teilmenge der positiven Zahlen <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> selbst sind konkrete Beispiele von Teilmengen, die kein kleinstes Element haben. <button class=\"hover-trigger\">(Wieso?)<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">Im ersten Fall ist <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>x<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und im zweiten Fall ist <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/math><\/span><\/span> <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Die Eindeutigkeit eines solchen kleinsten Elements folgt direkt: Sind <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <mrow> <mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> zwei kleinste Elemente, dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> ein kleinstes Element ist und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <mrow> <mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup><\/math> ein kleinstes Element ist. Also gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Um die Existenz eines kleinsten Elements zu zeigen, verwenden wir die Kontraposition. Wir nehmen also an, dass <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> kein kleinstes Element hat, und wollen zeigen, dass <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> leer ist. Hierzu definieren wir f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann bedeutet die Aussage <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> genau, dass es unterhalb von <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> keine Elemente in <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> gibt. Da wir angenommen haben, dass <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> kein kleinstes Element hat, sehen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> nicht in <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> liegen kann. Also gilt                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr jedes <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die vollst\u00e4ndige Induktion in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\">2.19<\/a> zeigt nun, dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt. Damit ist <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> die leere Menge. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6e2e668d4b96\"> <a id=\"x1-51017r23\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.23 <\/span>(Subtraktion in <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Sei <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Aussage                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> denn es existiert kein <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Angenommen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt f\u00fcr ein <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und sei <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach Lemma&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\">2.18<\/a> ist entweder <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> oder <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Im ersten Fall gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Im zweiten Fall gilt <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> nach <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also gilt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> nach vollst\u00e4ndiger Induktion. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir definieren die <span class=\"ecbx-1095\">nicht-negativen ganzen Zahlen<\/span><a id=\"dx1-51018\"><\/a> als <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Diese stellen auf nat\u00fcrliche Weise die Kardinalit\u00e4ten der endlichen Mengen dar, wobei die nat\u00fcrlichen Zahlen die Kardinalit\u00e4ten der endlichen, nicht-leeren Mengen darstellen. Summen und Produkte sind in diesem Zusammenhang auch wichtig: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z029ac2a995d5\"> <a id=\"x1-51019r24\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.24 <\/span>(Kardinalit\u00e4t des kartesischen Produkts von endlichen Mengen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen Sie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">per Induktion <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass das kartesische Produkt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Kardinalit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">hat. Der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ausdruck <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist dabei<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine Abk<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rzung f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und hat Kardinalit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Schreiben Sie f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Induktionsschritt<\/span> <math display=\"inline\"><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als disjunkte Vereinigung einer Menge mit Kardinalit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und einer Menge<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit Kardinalit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z015da3a7f8e2\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\">Wir werden auch des \u00d6fteren eine Funktion auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> durch <span class=\"ecbx-1095\">Rekursion <\/span>definieren. Dies bedeutet, dass man die Funktion&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> definiert indem man&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> konkret angibt, und dann eine Rekursionsbedingung (zum Beispiel eine Formel) festlegt wie&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> aus&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> bestimmt wird (wobei man&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> als bereits definiert annimmt). Dass es h\u00f6chstens eine Funktion auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> gibt, die beide Bedingungen erf\u00fcllt, l\u00e4sst sich durch einen Induktionsbeweis schnell beweisen. (Nehmen Sie an, dass&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und&nbsp;<math display=\"inline\"><mover accent=\"true\"><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">~<\/mo><\/mover> <\/math> sowohl&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mover accent=\"true\"><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">~<\/mo><\/mover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> als auch die Rekursionsbedingung erf\u00fcllen und beweisen sie&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mover accent=\"true\"><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">~<\/mo><\/mover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> f\u00fcr alle&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mittels Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\">2.19<\/a>.) <\/p><p class=\"indent\">Streng formal ist die Existenz etwas aufwendiger. Dazu beweist man zuerst mittels vollst\u00e4ndiger Induktion die Aussage: \u201cF\u00fcr alle&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> auf&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math>                                                                                                                                                                           und die Rekursionsbedingung erf\u00fcllt.\u201d Insbesondere gilt dann f\u00fcr nat\u00fcrliche Zahlen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass die Einschr\u00e4nkung der Funktion&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> auf die Menge&nbsp;<math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> dieselben Gesetze wie&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> erf\u00fcllt und somit gilt&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir definieren&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> durch&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr &nbsp;<math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und ein <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> und sehen (wieder mittels vollst\u00e4ndiger Induktion), dass diese Funktion die Rekursionbedingungen erf\u00fcllt. Man kommt nicht umhin, diesen Beweis mit dem rekursiven Algorithmus zur Berechnung von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> zu vergleichen (der ja zur Berechnung von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> im Allgemeinen ebenso auch&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> berechnen m\u00fcsste). <\/p> <\/div> <a id=\"x1-51020r51\"><\/a> <h4 id=\"z783acf27d120\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.2 <\/span> <a id=\"x1-520002\"><\/a>Die ganzen Zahlen<\/h4> <p class=\"noindent\">Die <span class=\"ecbx-1095\">ganzen Zahlen<\/span><a id=\"dx1-52001\"><\/a> sind als Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u2124<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definiert. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"ze284f51cf2ba\"> <a id=\"x1-52002r25\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.25 <\/span>(Addition und Multiplikation auf <math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die ganzen Zahlen sind unter Addition und Multiplikation abgeschlossen, das heisst, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr die Multiplikation sieht man dies sehr direkt: Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann gilt offenbar <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> nach Lemma&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51009r17\">2.17<\/a>. Falls <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> Null ist, gilt ebenso <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr die Addition verwenden wir die Eigenschaften von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51009r17\">2.17<\/a> und Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51017r23\">2.23<\/a>. Seien <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> Null sind, gibt es nichts zu zeigen. Seien also <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann ist <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann ist <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Analoges gilt falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ist <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies deckt alle M\u00f6glichkeiten ab und das Lemma folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6d1f62993813\"> <a id=\"x1-52003r26\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.26 <\/span>(Anordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Verallgemeinern Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\"><span class=\"ecti-1095\">2.18<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Das heisst, zeigen Sie, dass f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Ungleichung <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ebenso <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen                  Sie                  zuerst,                  dass                  f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die                                                                                             Ungleichungen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>3<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent                                             sind                                             (und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert).<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-52004r52\"><\/a> <h4 id=\"z154859d61a41\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.3 <\/span> <a id=\"x1-530003\"><\/a>Die rationalen Zahlen<\/h4> <p class=\"noindent\">Die <span class=\"ecbx-1095\">rationalen Zahlen<\/span><a id=\"dx1-53001\"><\/a> sind definiert als die Teilmenge von Quotienten <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u211a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z01897ae0f71b\"> <a id=\"x1-53002r27\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.27 <\/span>(Rationale Zahlen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die rationalen Zahlen bilden einen Unterk<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rper von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">das heisst, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>s<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>r<\/mi><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">falls <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zf7dd40eef49f\"> <a id=\"x1-53003r28\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.28.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53002r27\"><span class=\"ecti-1095\">2.27<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die entsprechenden Formeln sind sehr gebr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">uchlich, doch vergessen Sie nicht zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren, was Sie genau damit zeigen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zd37e748a7dcc\"> <a id=\"x1-53004r29\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.29.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie,  dass  sowohl  die  ganzen  Zahlen  als  auch  die  rationalen  Zahlen  abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar<\/span> <span class=\"ecti-1095\">unendlich sind.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Sie d<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rfen <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/endliche-und-abzaehlbare-mengen#x1-21012r81\"><span class=\"ecti-1095\">1.81<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">verwenden.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Eine reelle Zahl <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">irrational<\/span>, falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>\u211a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> An dieser Stelle k\u00f6nnte man sich fragen, ob es \u00fcberhaupt irrationale Zahlen gibt und wenn ja, wieviele. Um die erste Frage zu beantworten, werden wir die Wurzelfunktion (siehe \u00dcbungen <a href=\"..\/..\/chapter\/die-axiome-der-reellen-zahlen#x1-48001r11\">2.11<\/a>) verwenden, mit welcher man aus rationalen Zahlen irrationale konstruieren kann. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z4843c5ea108d\"> <a id=\"x1-53005r30\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.30 <\/span>(Quadratwurzel aus <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die                                               reelle                                               Zahl<\/span> <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist irrational. Insbesondere erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen die rationalen Zahlen nicht das Vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigkeitsaxiom.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Man kann Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53005r30\">2.30<\/a> als einen Grund sehen, wieso es nicht ausreichend ist, nur rationale Zahlen zu betrachten. <\/p><p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir nehmen per Widerspruch an, dass <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> rational ist und schreiben <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mfrac><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und das kleinst m\u00f6gliche <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> (dies ist nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51016r22\">2.22<\/a> m\u00f6glich). Insbesondere gilt also <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> und folglich <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mn>2<\/mn><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>4<\/mn><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>4<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>4<\/mn><mi>n<\/mi><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Also gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><msup><mrow> <mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> erhalten wir einen kleineren Nenner, der verwendet werden kann, um <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> darzustellen. Dies widerspricht der minimalen Wahl von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Somit ist <math display=\"inline\"><msqrt><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> irrational.                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr den Beweis der letzte Aussage bemerken wir zuerst, dass <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> die K\u00f6rperaxiome auf Grund von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53002r27\">2.27<\/a> erf\u00fcllt. Des Weiteren gelten f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> die Axiome der Anordnung und die Axiome der Vertr\u00e4glichkeit der Anordnung und K\u00f6rperoperationen, da diese f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> gelten, womit <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> ein angeordneter K\u00f6rper ist. Das einzig verbleibende Axiom ist das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom. Da wir zum Beweis der Existenz der Quadratwurzel positiver reeller Zahlen nur die Axiome der reellen Zahlen in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-axiome-der-reellen-zahlen#x1-440001\">2.1<\/a> verwendet haben, folgt, dass <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom nicht erf\u00fcllt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir werden im Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-710004\">2.6.4<\/a> zeigen, dass die reellen Zahlen \u00fcberabz\u00e4hlbar sind. Vergleicht man diese Tatsache mit \u00dcbung&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53004r29\">2.29<\/a>, so kommt man zum Schluss, dass es viel mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zbc7d1ec37a27\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\">Auf Grund von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53005r30\">2.30<\/a> erkennen wir auch, dass das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom nicht aus den Axiomen  (1)\u2013(15)  des  angeordneten  K\u00f6rper  folgen  kann:  In  der  Tat  erf\u00fcllt <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> die Axiome      (1)\u2013(15).       Wenn      das      Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom      aus      den Axiomen (1)\u2013(15) folgen w\u00fcrde, so m\u00fcsste das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom dann aber auch f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> gelten                                                                                                             und <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> m\u00fcsste <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> enthalten. <\/p> <\/div> <a id=\"x1-53006r53\"><\/a> <h4 id=\"z9d57aaf5e478\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.4 <\/span> <a id=\"x1-540004\"><\/a>Division mit Rest und Anf\u00e4nge der Zahlentheorie*<\/h4> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z80f91e3a1e86\"> <a id=\"x1-54001r31\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 2.31 <\/span>(Division mit Rest)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt es ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">welches wir den Rest nennen, so dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> stimmt die Behauptung, da wir dann <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> w\u00e4hlen k\u00f6nnen. Genauso stimmt sie f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da wir dann <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> w\u00e4hlen k\u00f6nnen. Nehmen wir nun an, dass der Satz nicht zutrifft. Dann gibt es nach der Wohlordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51016r22\">2.22<\/a> ein kleinstes <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> f\u00fcr das die Division durch ein <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> mit Rest nicht funktioniert. Nach obigem muss <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und damit auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math> gelten. <\/p><p class=\"indent\">Insbesondere ist <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und es gibt einen Rest <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math> f\u00fcr ein <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Damit gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann ist <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> erf\u00fcllt doch Division durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> mit Rest. Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann ist <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> erf\u00fcllt Division durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> mit Rest <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach der Anordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\">2.18<\/a> erf\u00fcllt <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           entweder <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und daher wurden alle M\u00f6glichkeiten f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> abgedeckt. F\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> ist Division durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> mit Rest daher m\u00f6glich, was einen Widerspruch darstellt. Also gilt der Satz. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir wollen hier f\u00fcr Interessierte kurz andeuten, was Division mit Rest mit Begriffen wie Primzahlen, Primfaktorzerlegung, etc. zu tun hat. Da eine ausf\u00fchrliche Besprechung uns aber zu weit vom Thema Analysis ablenken w\u00fcrde, begn\u00fcgen wir uns mit einer Skizze anhand einer Serie von \u00dcbungsaufgaben. Des Weiteren verweisen wir auf die Algebra <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math>-Vorlesung im dritten Semester des Mathematikstudiums und das Buch <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xremmert-ullrich\">RU08<\/a>]<\/span> f\u00fcr mehr Details. <\/p><p class=\"indent\">Wir sagen, dass eine Zahl <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> eine Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">teilt <\/span>und schreiben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls es ein <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> gibt, so dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Eine nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist <span class=\"ecbx-1095\">prim <\/span>oder eine <span class=\"ecbx-1095\">Primzahl<\/span>, falls f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Implikation <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>a<\/mi><mi>b<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zutrifft. Eine nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">irreduzibel<\/span>, falls sie nicht als Produkt <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi>b<\/mi><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> geschrieben werden kann (das heisst, ausser <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><\/math> keine Teiler hat). Wir haben bereits in einer \u00dcbung in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-400007\">1.9.7<\/a> gesehen, dass wir jede Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> als ein Produkt von irreduziblen Zahlen darstellen k\u00f6nnen. (Die f\u00fcr den Beweis dieser \u00dcbung notwendige Form der vollst\u00e4ndigen Induktion haben wir inzwischen in der Form von Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\">2.19<\/a> nachgeliefert.) Aber wie zeigt man, dass diese Produktzerlegung (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig bestimmt ist? <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6d67eb4f3254\"> <a id=\"x1-54002r32\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.32.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass jede Primzahl auch irreduzibel ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Nehmen Sie kurz an, dass Sie bereits wissen, dass eine Zahl irreduzibel ist genau dann,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wenn sie prim  ist.  Zeigen  Sie,  dass  die  Primfaktorzerlegung  bis  auf  Reihenfolge  der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Faktoren eindeutig bestimmt ist.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Der <\/span><span class=\"ecbi-1095\">gr<\/span><span class=\"ecbi-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbi-1095\">sste gemeinsame Teiler <\/span><span class=\"ecti-1095\">zweier nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist die gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sste<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> gcd<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir wollen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zeigen, dass es <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>b<\/mi><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dies nennt sich auch das Lemma von B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e9<\/span><span class=\"ecti-1095\">zout oder der Euklidsche Algorithmus.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren Sie f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Division von <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit Rest durch. Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der Rest. Zeigen Sie f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> gcd<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> gcd<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> gcd<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(d)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Schliessen Sie per Induktion auf die Aussage, dass der gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sste gemeinsame Teiler wie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oben beschrieben als Summe von Vielfachen dargestellt werden kann.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir zeigen nun, dass irreduzible Zahlen auch prim sind.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(e)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist irreduzibel und seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">aber <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2224<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(also <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">).<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass es <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>b<\/mi><mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folgern Sie, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>b<\/mi><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>a<\/mi><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Fassen Sie obige Diskussionen in der Form der eindeutigen Primfaktorzerlegung von nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zahlen zusammen.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Unter Verwendung der Tatsache, dass irreduzible Zahlen prim sind (und umgekehrt), l\u00e4sst es sich etwas einfacher zeigen, dass die Wurzel aus <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math> (oder jeder anderen Primzahl) irrational ist. Wir \u00fcberlassen Ihnen die \u00dcberpr\u00fcfung dieser Aussage wiederum als \u00dcbung (siehe auch dieses <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tPfnEByx9r0\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Lied<\/a>). <\/p><p class=\"indent\">Wir m\u00f6chten an dieser Stelle noch kurz erw\u00e4hnen, dass vielleicht \u00fcberraschenderweise die tiefgreifende Untersuchung von Primzahlen viele Methoden der Analysis (und auf jeden Fall alle Methoden dieser Analysis-Vorlesung) voraussetzt. F\u00fcr eine Andeutung dieser Tatsache und einen historischen Exkurs verweisen wir auf den <a href=\"http:\/\/www.bbc.co.uk\/programmes\/p003hyf5\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Podcast<\/a> der BBC. <a id=\"x1-54008r54\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"zb177dd0dd61c\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.5 <\/span> <a id=\"x1-550005\"><\/a>Verwendung der ganzen Zahlen und deren Eigenschaften<\/h4> <p class=\"noindent\">Die algebraischen und geometrischen Aussagen in diesem Abschnitt \u00fcber die nat\u00fcrlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen stellen bloss die Standardeigenschaften dieser Zahlen dar. Deswegen werden wir die oben bewiesenen Lemmata und S\u00e4tze im Folgenden meist ohne Referenz verwenden. Dies gilt ebenso f\u00fcr die vollst\u00e4ndige Induktion in Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51007r15\">2.15<\/a>. <\/p><p class=\"indent\">Wir werden im Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-680001\">2.6.1<\/a> zwei weitere grundlegende Eigenschaften von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math> respektive <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> beweisen, die die Geometrie von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math> und&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> als Teilmengen von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> beschreiben. <\/p><p class=\"indent\">Wir werden oft die Variablen&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/math> f\u00fcr nat\u00fcrliche oder ganze Zahlen verwenden. Weiters verwenden wir meist die Variable&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> f\u00fcr rationale Zahlen.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               <a id=\"x1-55001r50\"><\/a> <\/p> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zfd988b298f44\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2 <\/span> <a id=\"x1-500002\"><\/a>Die nat\u00fcrlichen Zahlen<\/h3> <p class=\"noindent\">Da wir alle unsere Diskussionen auf den Axiomen der reellen Zahlen in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-axiome-der-reellen-zahlen#x1-440001\">2.1<\/a> aufbauen werden, wollen wir jetzt die nat\u00fcrlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen finden und die wichtigsten elementaren und geometrischen Eigenschaften dieser Zahlen beweisen. <a id=\"x1-50001r49\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z22a0cd1d24d6\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.1 <\/span> <a id=\"x1-510001\"><\/a>Definition der nat\u00fcrlichen Zahlen und vollst\u00e4ndige Induktion<\/h4> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z37b82d753827\"> <a id=\"x1-51001r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 2.12 <\/span>(Induktive Teilmengen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Eine Teilmenge <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> ist <span class=\"ecbx-1095\">induktiv<\/span>, falls folgende zwei Eigenschaften gelten: <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> (i)<\/dt><dd class=\"enumerate\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> (ii)<\/dt><dd class=\"enumerate\">F\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Beispielsweise ist <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> eine induktive Menge (gewissermassen die gr\u00f6sste solche). Die \u201ekleinste\u201c induktive Menge sollen die nat\u00fcrlichen Zahlen sein. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z33ab46f5a1ab\"> <a id=\"x1-51004r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 2.13 <\/span>(Nat\u00fcrliche Zahlen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Wir definieren die Teilmenge der <span class=\"ecbx-1095\">nat<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">rlichen Zahlen<\/span><a id=\"dx1-51005\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> als Durchschnitt aller induktiven Teilmengen von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>M<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo><mi>\u211d<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;&nbsp;induktiv<\/mtext><\/mstyle><\/mrow><\/munder><mi>M<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Aus der Definition folgt unmittelbar, dass <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in jeder induktiven Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> enthalten ist und dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da jede induktive Teilmenge die Eins enthalten muss und <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> der Durchschnitt aller induktiven Teilmengen ist. Des Weiteren k\u00f6nnen wir folgern, dass f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Ungleichung <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> gilt. In der Tat ist die Teilmenge <math display=\"inline\"><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> induktiv (\u00fcberpr\u00fcfen Sie dies) und enth\u00e4lt somit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z2416ca5483aa\"> <a id=\"x1-51006r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.14 <\/span>(Kleinste induktive Menge)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die                                         nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen                                         Zahlen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bilden eine induktive und somit die kleinste induktive Teilmenge der reellen Zahlen.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir haben oben bereits gesehen, dass <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist. Falls nun <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist und <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> eine beliebige induktive                                                                                                                                                                           Teilmenge ist, dann gilt auch <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> (wegen der Definition von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math>). Da <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> induktiv ist, gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> aber eine beliebige induktive Teilmenge war, liegt <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> in jeder induktiven Teilmenge und somit auch in <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> per Definition von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir haben f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> also beide Eigenschaften einer induktiven Teilmenge nachgewiesen und das Lemma folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir k\u00f6nnen nun das Prinzip der vollst\u00e4ndigen Induktion als Konsequenz unserer Definition der nat\u00fcrlichen Zahlen (und der Axiome der reellen Zahlen) beweisen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3dcc25a8a169\"> <a id=\"x1-51007r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 2.15 <\/span>(Vollst\u00e4ndige Induktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber die nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsanfang) <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsschritt) <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gelten, dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir definieren <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>E<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> womit folgende Aussagen gelten. <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> auf Grund des Induktionsanfanges gilt.                                                                                                                                                                           <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">F\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> gilt, dass <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> nach Definition <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und auf Grund des Induktionsschrittes auch <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> impliziert.<\/div><\/div> <p class=\"noindent\">Daher ist <math display=\"inline\"><mi>E<\/mi><\/math> eine induktive Menge und es folgt, dass <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> nach Definition von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also gilt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z46fe3a0a33dd\"> <a id=\"x1-51008r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.16 <\/span>(Peano-Axiome)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen          Sie,          dass          die          oben          definierte          Teilmenge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Peano-Axiome         (siehe         Abschnitt         <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/zahlenmengen#x1-190005\"><span class=\"ecti-1095\">1.5<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">)         erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt,         wobei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u03bd<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Nachfolgerfunktion ist.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir untersuchen nun weitere algebraische und geometrische Eigenschaften von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Bedeutung der folgenden Diskussionen liegt nicht so sehr in den behaupteten Aussagen, die anschaulich klar sind. Vielmehr zeigen Sie, dass unsere Axiome von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> und unsere Definition von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> auch in der Lage sind, diese nat\u00fcrlichsten Eigenschaften von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> zu beweisen, die wiederum Grundlage f\u00fcr die weiteren Diskussionen bilden. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z4eab1375d7e8\"> <a id=\"x1-51009r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.17 <\/span>(Addition und Multiplikation auf <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Sei <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> die Aussage <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> denn falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann gilt auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> induktiv ist wegen Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51006r14\">2.14<\/a>. Dies ist der Induktionsanfang. F\u00fcr den Induktionsschritt nehmen wir also an, dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt oder in anderen Worten, dass f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt. Wegen Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51006r14\">2.14<\/a> impliziert letzteres aber auch <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und wir erhalten die Aussage <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Vollst\u00e4ndige Induktion zeigt daher <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was gerade die Aussage <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist. <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr die Multiplikation definieren wir <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> als die Aussage <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls nun <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt, dann folgt aus <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und aus dem ersten Teil des Lemmas auch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u22c5<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> beliebig war, gilt also <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und das Lemma folgt mittels vollst\u00e4ndiger Induktion. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Nachdem wir im letzten Lemma einige algebraische Fragen beantwortet haben, wollen wir uns nun geometrischen Fragen zuwenden. Da <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> induktiv ist, sind <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Gibt es eine nat\u00fcrliche Zahl zwischen <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math><\/span><span class=\"endquote\">?<\/span> Die negative Antwort zu dieser Frage ist in allgemeinerer Form in folgendem Lemma enthalten. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z28e4a05bbeae\"> <a id=\"x1-51010r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.18 <\/span>(Anordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/div><\/div> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr die erste Aussage zeigen wir, dass die Menge <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> die nat\u00fcrlichen Zahlen <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> enth\u00e4lt. In der Tat ist die Menge <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> induktiv, da <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> und da f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und damit <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> gilt. Nach Definition von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> ist also <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> wie gew\u00fcnscht. <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr die zweite Behauptung definieren wir f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> denn falls <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Ungleichung <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> erf\u00fcllt, dann gilt wegen <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Angenommen es gilt nun <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr ein <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und wir wollen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zeigen. Sei also <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> gilt. Falls <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist, dann gilt <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und damit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wegen <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> folgt                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> und somit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls aber <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist, dann ist wegen der ersten Behauptung <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da wir aber <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> angenommen haben, gilt <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> und daher <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Wir haben also den Induktionsanfang <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und den Induktionsschritt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr ein beliebiges <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> gezeigt. Daher gilt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und das Lemma folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wie bereits im Abschnitt&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/beweise#x1-250003\">1.8.3<\/a> kurz erw\u00e4hnt haben, gibt es mehrere Versionen der vollst\u00e4ndigen Induktion. Die folgende Variante wird mitunter auch \u201estarke Induktion\u201c genannt. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z4907b5ea31f3\"> <a id=\"x1-51011r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 2.19 <\/span>(Vollst\u00e4ndige Induktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber die nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Aussage<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktion) <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/math><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt ist, dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir definieren eine Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr nat\u00fcrliche Zahlen <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> durch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Mit vollst\u00e4ndiger Induktion (siehe Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51007r15\">2.15<\/a>) und der Anordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> (wie in Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\">2.18<\/a>) m\u00f6chten wir nun zeigen, dass <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt. Insbesondere folgt damit, dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt (wieso?), was den Beweis des Satzes abschliessen wird. <\/p><p class=\"indent\">Wir zeigen zuerst den Induktionsanfang, also dass die Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt. Da aber <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> die einzige nat\u00fcrliche Zahl mit <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist, gen\u00fcgt es, die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zu verifizieren. Hierf\u00fcr verwenden wir die Annahme im Satz f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> also die Aussage <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da es keine nat\u00fcrlichen Zahlen kleiner <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> gibt, ist f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Aussage <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math>                                                                                                                                                                           falsch, womit <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> richtig ist. Also gilt die Vorraussetzung der im Satz angenommenen Implikation f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und es folgt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> (und damit <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> wie gew\u00fcnscht). <\/p><p class=\"indent\">Sei nun <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gegeben. Wir wollen den Induktionsschritt <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> beweisen. Also nehmen wir an, dass <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> bereits gilt. Die Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ist durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">gegeben. F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> ist <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> auf Grund von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\">2.18<\/a> \u00e4quivalent zu <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ist damit zu <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">\u00e4quivalent. Wegen der Annahme im Satz angewandt auf <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> impliziert dies aber <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> was auf Grund obiger \u00c4quivalenz gemeinsam mit <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> die Aussage <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zeigt. Dies schliesst den Induktionsschritt und damit den Beweis des Satzes ab. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Die vollst\u00e4ndige Induktion in der Version von Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\">2.19<\/a> erlaubt uns im Induktionsschritt statt der Annahme, dass die Aussage bloss f\u00fcr die vorhergehende nat\u00fcrliche Zahl gilt, die st\u00e4rkere Annahme, dass die Aussage bereits f\u00fcr alle echt kleineren nat\u00fcrlichen Zahlen gilt, zu verwenden. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"ze1149f43621f\"> <a id=\"x1-51012r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.20 <\/span>(Versteckter Induktionsanfang)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In der Version der vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigen Induktion in Satz <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\"><span class=\"ecti-1095\">2.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">scheint es keinen Induktionsanfang<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu geben. Wie kann das sein? Wo ist der Induktionsanfang versteckt?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die Antwort beruht auf den Eigenschaften des Allquantors.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass man die Induktion auch verwenden kann, um zum Beispiel f\u00fcr ein vorgebenes <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> eine Aussage f\u00fcr alle nat\u00fcrliche Zahlen <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> zu zeigen. In diesem Fall w\u00fcrde man als Induktionsanfang die Aussage f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> beweisen und im Induktionsschritt f\u00fcr eine nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> annehmen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zf0fa65676fc6\"> <a id=\"x1-51013r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.21 <\/span>(Varianten der vollst\u00e4ndigen Induktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Folgern Sie aus Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51007r15\"><span class=\"ecti-1095\">2.15<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">oder aus Satz<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\"><span class=\"ecti-1095\">2.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">die folgenden Varianten der vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigen Induktion. Sei hierzu<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine beliebige Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahlen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen die Aussagen<\/span> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsanfang) <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsschritt) <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gelten, dann gilt ebenso <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Aussagen<\/span> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsanfang) <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">(Induktionsschritt) <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">gelten, dann gilt auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahlen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/p><\/dd><\/dl> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Formal gesehen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen sie zum Beispiel die Aussage<\/span> <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (i) und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r (ii) betrachten.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zbfaac6cd153f\"> <a id=\"x1-51016r22\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 2.22 <\/span>(Wohlordnung der nat\u00fcrlichen Zahlen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine nicht-leere<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Teilmenge. Dann hat <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein eindeutig bestimmtes kleinstes Element, das heisst<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Die Existenz eines kleinsten Elements zu jeder nicht-leeren Teilmenge ist etwas, was die nat\u00fcrlichen Zahlen auszeichnet und beispielsweise von den reellen Zahlen nicht erf\u00fcllt ist. Die Teilmenge der positiven Zahlen <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> selbst sind konkrete Beispiele von Teilmengen, die kein kleinstes Element haben. <button class=\"hover-trigger\">(Wieso?)<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">Im ersten Fall ist <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mfrac> <mrow> <mi>x<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und im zweiten Fall ist <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/math><\/span><\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Die Eindeutigkeit eines solchen kleinsten Elements folgt direkt: Sind <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <mrow> <mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math> zwei kleinste Elemente, dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> ein kleinstes Element ist und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <mrow> <mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msubsup><\/math> ein kleinstes Element ist. Also gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msubsup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msubsup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Um die Existenz eines kleinsten Elements zu zeigen, verwenden wir die Kontraposition. Wir nehmen also an, dass <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> kein kleinstes Element hat, und wollen zeigen, dass <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> leer ist. Hierzu definieren wir f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo> <mi>M<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann bedeutet die Aussage <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> genau, dass es unterhalb von <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> keine Elemente in <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> gibt. Da wir angenommen haben, dass <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> kein kleinstes Element hat, sehen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> nicht in <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> liegen kann. Also gilt                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr jedes <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die vollst\u00e4ndige Induktion in Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\">2.19<\/a> zeigt nun, dass <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gilt. Damit ist <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> die leere Menge. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6e2e668d4b96\"> <a id=\"x1-51017r23\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.23 <\/span>(Subtraktion in <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Sei <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Aussage                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Dann gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> denn es existiert kein <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Angenommen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt f\u00fcr ein <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und sei <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach Lemma&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\">2.18<\/a> ist entweder <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> oder <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Im ersten Fall gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Im zweiten Fall gilt <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> nach <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also gilt <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> nach vollst\u00e4ndiger Induktion. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir definieren die <span class=\"ecbx-1095\">nicht-negativen ganzen Zahlen<\/span><a id=\"dx1-51018\"><\/a> als <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Diese stellen auf nat\u00fcrliche Weise die Kardinalit\u00e4ten der endlichen Mengen dar, wobei die nat\u00fcrlichen Zahlen die Kardinalit\u00e4ten der endlichen, nicht-leeren Mengen darstellen. Summen und Produkte sind in diesem Zusammenhang auch wichtig: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z029ac2a995d5\"> <a id=\"x1-51019r24\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.24 <\/span>(Kardinalit\u00e4t des kartesischen Produkts von endlichen Mengen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Zeigen Sie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">per Induktion <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass das kartesische Produkt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Kardinalit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">hat. Der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ausdruck <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist dabei<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine Abk<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rzung f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und hat Kardinalit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Schreiben Sie f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den Induktionsschritt<\/span> <math display=\"inline\"><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als disjunkte Vereinigung einer Menge mit Kardinalit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und einer Menge<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit Kardinalit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z015da3a7f8e2\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\">Wir werden auch des \u00d6fteren eine Funktion auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> durch <span class=\"ecbx-1095\">Rekursion <\/span>definieren. Dies bedeutet, dass man die Funktion&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> definiert indem man&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> konkret angibt, und dann eine Rekursionsbedingung (zum Beispiel eine Formel) festlegt wie&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> aus&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> bestimmt wird (wobei man&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> als bereits definiert annimmt). Dass es h\u00f6chstens eine Funktion auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> gibt, die beide Bedingungen erf\u00fcllt, l\u00e4sst sich durch einen Induktionsbeweis schnell beweisen. (Nehmen Sie an, dass&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und&nbsp;<math display=\"inline\"><mover accent=\"true\"><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">~<\/mo><\/mover> <\/math> sowohl&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mover accent=\"true\"><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">~<\/mo><\/mover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> als auch die Rekursionsbedingung erf\u00fcllen und beweisen sie&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mover accent=\"true\"><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mo accent=\"true\">~<\/mo><\/mover> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><\/math> f\u00fcr alle&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mittels Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\">2.19<\/a>.) <\/p><p class=\"indent\">Streng formal ist die Existenz etwas aufwendiger. Dazu beweist man zuerst mittels vollst\u00e4ndiger Induktion die Aussage: \u201cF\u00fcr alle&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> auf&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math>                                                                                                                                                                           und die Rekursionsbedingung erf\u00fcllt.\u201d Insbesondere gilt dann f\u00fcr nat\u00fcrliche Zahlen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass die Einschr\u00e4nkung der Funktion&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> auf die Menge&nbsp;<math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> dieselben Gesetze wie&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> erf\u00fcllt und somit gilt&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen&nbsp;<span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir definieren&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> auf&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> durch&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr &nbsp;<math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und ein <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> und sehen (wieder mittels vollst\u00e4ndiger Induktion), dass diese Funktion die Rekursionbedingungen erf\u00fcllt. Man kommt nicht umhin, diesen Beweis mit dem rekursiven Algorithmus zur Berechnung von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> zu vergleichen (der ja zur Berechnung von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> im Allgemeinen ebenso auch&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> berechnen m\u00fcsste). <\/p> <\/div> <a id=\"x1-51020r51\"><\/a> <h4 id=\"z783acf27d120\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.2 <\/span> <a id=\"x1-520002\"><\/a>Die ganzen Zahlen<\/h4> <p class=\"noindent\">Die <span class=\"ecbx-1095\">ganzen Zahlen<\/span><a id=\"dx1-52001\"><\/a> sind als Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u2124<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u2115<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definiert. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"ze284f51cf2ba\"> <a id=\"x1-52002r25\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.25 <\/span>(Addition und Multiplikation auf <math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die ganzen Zahlen sind unter Addition und Multiplikation abgeschlossen, das heisst, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr die Multiplikation sieht man dies sehr direkt: Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann gilt offenbar <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> nach Lemma&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51009r17\">2.17<\/a>. Falls <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> Null ist, gilt ebenso <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr die Addition verwenden wir die Eigenschaften von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51009r17\">2.17<\/a> und Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51017r23\">2.23<\/a>. Seien <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> Null sind, gibt es nichts zu zeigen. Seien also <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann ist <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann ist <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Analoges gilt falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ist <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies deckt alle M\u00f6glichkeiten ab und das Lemma folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6d1f62993813\"> <a id=\"x1-52003r26\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.26 <\/span>(Anordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Verallgemeinern Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\"><span class=\"ecti-1095\">2.18<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Das heisst, zeigen Sie, dass f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Ungleichung <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ebenso <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen                  Sie                  zuerst,                  dass                  f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die                                                                                             Ungleichungen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>3<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent                                             sind                                             (und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert).<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-52004r52\"><\/a> <h4 id=\"z154859d61a41\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.3 <\/span> <a id=\"x1-530003\"><\/a>Die rationalen Zahlen<\/h4> <p class=\"noindent\">Die <span class=\"ecbx-1095\">rationalen Zahlen<\/span><a id=\"dx1-53001\"><\/a> sind definiert als die Teilmenge von Quotienten <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u211a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mfrac><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z01897ae0f71b\"> <a id=\"x1-53002r27\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.27 <\/span>(Rationale Zahlen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die rationalen Zahlen bilden einen Unterk<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rper von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">das heisst, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>s<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>r<\/mi><mi>s<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>r<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">falls <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zf7dd40eef49f\"> <a id=\"x1-53003r28\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.28.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Beweisen Sie Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53002r27\"><span class=\"ecti-1095\">2.27<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die entsprechenden Formeln sind sehr gebr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">uchlich, doch vergessen Sie nicht zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren, was Sie genau damit zeigen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zd37e748a7dcc\"> <a id=\"x1-53004r29\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.29.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie,  dass  sowohl  die  ganzen  Zahlen  als  auch  die  rationalen  Zahlen  abz<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlbar<\/span> <span class=\"ecti-1095\">unendlich sind.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Sie d<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rfen <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/endliche-und-abzaehlbare-mengen#x1-21012r81\"><span class=\"ecti-1095\">1.81<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">verwenden.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Eine reelle Zahl <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">irrational<\/span>, falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>\u211a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> An dieser Stelle k\u00f6nnte man sich fragen, ob es \u00fcberhaupt irrationale Zahlen gibt und wenn ja, wieviele. Um die erste Frage zu beantworten, werden wir die Wurzelfunktion (siehe \u00dcbungen <a href=\"..\/..\/chapter\/die-axiome-der-reellen-zahlen#x1-48001r11\">2.11<\/a>) verwenden, mit welcher man aus rationalen Zahlen irrationale konstruieren kann. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z4843c5ea108d\"> <a id=\"x1-53005r30\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 2.30 <\/span>(Quadratwurzel aus <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math>)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die                                               reelle                                               Zahl<\/span> <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist irrational. Insbesondere erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen die rationalen Zahlen nicht das Vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigkeitsaxiom.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Man kann Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53005r30\">2.30<\/a> als einen Grund sehen, wieso es nicht ausreichend ist, nur rationale Zahlen zu betrachten. <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir nehmen per Widerspruch an, dass <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> rational ist und schreiben <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mfrac><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und das kleinst m\u00f6gliche <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> (dies ist nach Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51016r22\">2.22<\/a> m\u00f6glich). Insbesondere gilt also <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> und folglich <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mn>2<\/mn><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>4<\/mn><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>4<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>4<\/mn><mi>n<\/mi><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>m<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Also gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mfrac><mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>m<\/mi><\/mrow> <mrow><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><msup><mrow> <mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Da <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> erhalten wir einen kleineren Nenner, der verwendet werden kann, um <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> darzustellen. Dies widerspricht der minimalen Wahl von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Somit ist <math display=\"inline\"><msqrt><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> irrational.                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">F\u00fcr den Beweis der letzte Aussage bemerken wir zuerst, dass <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> die K\u00f6rperaxiome auf Grund von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53002r27\">2.27<\/a> erf\u00fcllt. Des Weiteren gelten f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> die Axiome der Anordnung und die Axiome der Vertr\u00e4glichkeit der Anordnung und K\u00f6rperoperationen, da diese f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> gelten, womit <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> ein angeordneter K\u00f6rper ist. Das einzig verbleibende Axiom ist das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom. Da wir zum Beweis der Existenz der Quadratwurzel positiver reeller Zahlen nur die Axiome der reellen Zahlen in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/die-axiome-der-reellen-zahlen#x1-440001\">2.1<\/a> verwendet haben, folgt, dass <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom nicht erf\u00fcllt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir werden im Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-710004\">2.6.4<\/a> zeigen, dass die reellen Zahlen \u00fcberabz\u00e4hlbar sind. Vergleicht man diese Tatsache mit \u00dcbung&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53004r29\">2.29<\/a>, so kommt man zum Schluss, dass es viel mehr irrationale als rationale Zahlen gibt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zbc7d1ec37a27\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\">Auf Grund von Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-53005r30\">2.30<\/a> erkennen wir auch, dass das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom nicht aus den Axiomen  (1)\u2013(15)  des  angeordneten  K\u00f6rper  folgen  kann:  In  der  Tat  erf\u00fcllt <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> die Axiome      (1)\u2013(15).       Wenn      das      Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom      aus      den Axiomen (1)\u2013(15) folgen w\u00fcrde, so m\u00fcsste das Vollst\u00e4ndigkeitsaxiom dann aber auch f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> gelten                                                                                                             und <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> m\u00fcsste <math display=\"inline\"><msqrt><mrow> <mn>2<\/mn><\/mrow><\/msqrt><\/math> enthalten. <\/p> <\/div> <a id=\"x1-53006r53\"><\/a> <h4 id=\"z9d57aaf5e478\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.4 <\/span> <a id=\"x1-540004\"><\/a>Division mit Rest und Anf\u00e4nge der Zahlentheorie*<\/h4> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z80f91e3a1e86\"> <a id=\"x1-54001r31\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Satz 2.31 <\/span>(Division mit Rest)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt es ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">welches wir den Rest nennen, so dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> stimmt die Behauptung, da wir dann <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> w\u00e4hlen k\u00f6nnen. Genauso stimmt sie f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da wir dann <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> w\u00e4hlen k\u00f6nnen. Nehmen wir nun an, dass der Satz nicht zutrifft. Dann gibt es nach der Wohlordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51016r22\">2.22<\/a> ein kleinstes <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> f\u00fcr das die Division durch ein <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> mit Rest nicht funktioniert. Nach obigem muss <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und damit auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math> gelten. <\/p><p class=\"indent\">Insbesondere ist <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> und es gibt einen Rest <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi><\/math> f\u00fcr ein <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Damit gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann ist <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> erf\u00fcllt doch Division durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> mit Rest. Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann ist <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> erf\u00fcllt Division durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> mit Rest <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach der Anordnung von <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> in Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51010r18\">2.18<\/a> erf\u00fcllt <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           entweder <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und daher wurden alle M\u00f6glichkeiten f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> abgedeckt. F\u00fcr <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> ist Division durch <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><\/math> mit Rest daher m\u00f6glich, was einen Widerspruch darstellt. Also gilt der Satz. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir wollen hier f\u00fcr Interessierte kurz andeuten, was Division mit Rest mit Begriffen wie Primzahlen, Primfaktorzerlegung, etc. zu tun hat. Da eine ausf\u00fchrliche Besprechung uns aber zu weit vom Thema Analysis ablenken w\u00fcrde, begn\u00fcgen wir uns mit einer Skizze anhand einer Serie von \u00dcbungsaufgaben. Des Weiteren verweisen wir auf die Algebra <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math>-Vorlesung im dritten Semester des Mathematikstudiums und das Buch <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xremmert-ullrich\">RU08<\/a>]<\/span> f\u00fcr mehr Details. <\/p><p class=\"indent\">Wir sagen, dass eine Zahl <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> eine Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">teilt <\/span>und schreiben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls es ein <math display=\"inline\"><mi>q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> gibt, so dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>q<\/mi><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Eine nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist <span class=\"ecbx-1095\">prim <\/span>oder eine <span class=\"ecbx-1095\">Primzahl<\/span>, falls f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> die Implikation <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>a<\/mi><mi>b<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zutrifft. Eine nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">irreduzibel<\/span>, falls sie nicht als Produkt <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi>b<\/mi><\/math> f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> geschrieben werden kann (das heisst, ausser <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><\/math> keine Teiler hat). Wir haben bereits in einer \u00dcbung in Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/weitere-lernmaterialien#x1-400007\">1.9.7<\/a> gesehen, dass wir jede Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> als ein Produkt von irreduziblen Zahlen darstellen k\u00f6nnen. (Die f\u00fcr den Beweis dieser \u00dcbung notwendige Form der vollst\u00e4ndigen Induktion haben wir inzwischen in der Form von Satz <a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51011r19\">2.19<\/a> nachgeliefert.) Aber wie zeigt man, dass diese Produktzerlegung (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig bestimmt ist? <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6d67eb4f3254\"> <a id=\"x1-54002r32\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 2.32.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass jede Primzahl auch irreduzibel ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Nehmen Sie kurz an, dass Sie bereits wissen, dass eine Zahl irreduzibel ist genau dann,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wenn sie prim  ist.  Zeigen  Sie,  dass  die  Primfaktorzerlegung  bis  auf  Reihenfolge  der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Faktoren eindeutig bestimmt ist.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Der <\/span><span class=\"ecbi-1095\">gr<\/span><span class=\"ecbi-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecbi-1095\">sste gemeinsame Teiler <\/span><span class=\"ecti-1095\">zweier nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist die gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sste<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahl <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> gcd<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir wollen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zeigen, dass es <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>b<\/mi><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dies nennt sich auch das Lemma von B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e9<\/span><span class=\"ecti-1095\">zout oder der Euklidsche Algorithmus.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren Sie f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Division von <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit Rest durch. Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der Rest. Zeigen Sie f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> gcd<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mi class=\"qopname\"> gcd<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>r<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>r<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\"> gcd<\/mi><mo>  <\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(d)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Schliessen Sie per Induktion auf die Aussage, dass der gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sste gemeinsame Teiler wie<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oben beschrieben als Summe von Vielfachen dargestellt werden kann.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir zeigen nun, dass irreduzible Zahlen auch prim sind.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(e)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist irreduzibel und seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">aber <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2224<\/mo> <mi>m<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(also <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">).<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass es <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2124<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><mi>p<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>b<\/mi><mi>m<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Folgern Sie, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>b<\/mi><mi>m<\/mi><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>a<\/mi><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>p<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Fassen Sie obige Diskussionen in der Form der eindeutigen Primfaktorzerlegung von nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zahlen zusammen.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Unter Verwendung der Tatsache, dass irreduzible Zahlen prim sind (und umgekehrt), l\u00e4sst es sich etwas einfacher zeigen, dass die Wurzel aus <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math> (oder jeder anderen Primzahl) irrational ist. Wir \u00fcberlassen Ihnen die \u00dcberpr\u00fcfung dieser Aussage wiederum als \u00dcbung (siehe auch dieses <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=tPfnEByx9r0\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Lied<\/a>). <\/p><p class=\"indent\">Wir m\u00f6chten an dieser Stelle noch kurz erw\u00e4hnen, dass vielleicht \u00fcberraschenderweise die tiefgreifende Untersuchung von Primzahlen viele Methoden der Analysis (und auf jeden Fall alle Methoden dieser Analysis-Vorlesung) voraussetzt. F\u00fcr eine Andeutung dieser Tatsache und einen historischen Exkurs verweisen wir auf den <a href=\"http:\/\/www.bbc.co.uk\/programmes\/p003hyf5\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Podcast<\/a> der BBC. <a id=\"x1-54008r54\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"zb177dd0dd61c\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">2.2.5 <\/span> <a id=\"x1-550005\"><\/a>Verwendung der ganzen Zahlen und deren Eigenschaften<\/h4> <p class=\"noindent\">Die algebraischen und geometrischen Aussagen in diesem Abschnitt \u00fcber die nat\u00fcrlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen stellen bloss die Standardeigenschaften dieser Zahlen dar. Deswegen werden wir die oben bewiesenen Lemmata und S\u00e4tze im Folgenden meist ohne Referenz verwenden. Dies gilt ebenso f\u00fcr die vollst\u00e4ndige Induktion in Satz&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/die-natuerlichen-zahlen#x1-51007r15\">2.15<\/a>. <\/p><p class=\"indent\">Wir werden im Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/erste-konsequenzen-der-vollstaendigkeit#x1-680001\">2.6.1<\/a> zwei weitere grundlegende Eigenschaften von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math> respektive <math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> beweisen, die die Geometrie von&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u2124<\/mi><\/math> und&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>\u211a<\/mi><\/math> als Teilmengen von <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> beschreiben. <\/p><p class=\"indent\">Wir werden oft die Variablen&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>j<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>k<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>\u2113<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi><\/math> f\u00fcr nat\u00fcrliche oder ganze Zahlen verwenden. Weiters verwenden wir meist die Variable&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>r<\/mi><\/math> f\u00fcr rationale Zahlen.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               <a id=\"x1-55001r50\"><\/a> <\/p> \n","protected":false},"author":1089,"menu_order":2,"template":"","meta":{"pb_show_title":"","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-35","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":33,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/35","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/35\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/33"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/35\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=35"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=35"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=35"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=35"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}