{"id":27,"date":"2021-12-15T09:52:56","date_gmt":"2021-12-15T09:52:56","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen\/"},"modified":"2021-12-15T09:52:56","modified_gmt":"2021-12-15T09:52:56","slug":"mengenlehre-und-abbildungen","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen\/","title":{"raw":"Mengenlehre und Abbildungen","rendered":"Mengenlehre und Abbildungen"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; border-left: 0; border-right: 0; }\ncenter { margin-top:1em; margin-bottom:1em; }\ntd center { margin-top:0em; margin-bottom:0em; }\n.Canvas { position:relative; }\nmath { text-indent: 0em; }\nli p.indent { text-indent: 0em }\nli p:first-child{ margin-top:0em; }\nli p:last-child, li div:last-child { margin-bottom:0.5em; }\nli p~ul:last-child, li p~ol:last-child{ margin-bottom:0.5em; }\n.enumerate1 {list-style-type:decimal;}\n.enumerate2 {list-style-type:lower-alpha;}\n.enumerate3 {list-style-type:lower-roman;}\n.enumerate4 {list-style-type:upper-alpha;}\n.obeylines-h,.obeylines-v {white-space: nowrap; }\ndiv.obeylines-v p { margin-top:0; margin-bottom:0; }\n.overline{ text-decoration:overline; }\n.overline img{ border-top: 1px solid black; }\ntd.displaylines {text-align:center; white-space:nowrap;}\n.centerline {text-align:center;}\n.rightline {text-align:right;}\npre.verbatim {font-family: monospace,monospace; text-align:left; clear:both; }\n.fbox {padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style>\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zfef55639fa5b\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4 <\/span> <a id=\"x1-110004\"><\/a>Mengenlehre und Abbildungen<\/h3> <a id=\"x1-11001r10\"><\/a> <h4 id=\"z2d650d0cdf7f\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.1 <\/span> <a id=\"x1-120001\"><\/a>Naive Mengenlehre<\/h4> <p class=\"noindent\">Georg Cantor definierte 1895 in <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xcantor\">Can95<\/a>]<\/span> den Begriff einer Menge wie folgt: <\/p><blockquote class=\"quote\"> <p class=\"noindent\">\u201e<span class=\"ecti-1095\">Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Denken (welche Elemente von <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genannt werden) zu einem Ganzen.<\/span>\u201c<\/p><\/blockquote> <p class=\"noindent\">Also sind die zentralen Annahmen der naiven Mengenlehre (oder Cantorschen Mengenlehre) die folgenden Punkte. <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> (1)<\/dt><dd class=\"enumerate\">Eine <span class=\"ecbx-1095\">Menge <\/span>besteht aus beliebigen unterscheidbaren Elementen. Etwaige Vielfachheiten werden ignoriert. <\/dd><dt class=\"enumerate\"> (2)<\/dt><dd class=\"enumerate\">Eine Menge ist unverwechselbar durch ihre <span class=\"ecbx-1095\">Elemente <\/span>bestimmt. <\/dd><dt class=\"enumerate\"> (3)<\/dt><dd class=\"enumerate\">Jede Eigenschaft <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> definiert<a id=\"dx1-12004\"><\/a> die <span class=\"ecbx-1095\">Menge der Objekte <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die diese Eigenschaft besitzen (das heisst, die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllen).<\/dd><\/dl> <p class=\"indent\">Manchmal beschreiben wir eine Menge durch eine konkrete Auflistung ihrer Elemente (zum Beispiel in der Form <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math>). Die<a id=\"dx1-12005\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">leere Menge<\/span>, geschrieben als <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> oder auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2205<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ist die Menge, die keine Elemente enth\u00e4lt. Mengen werden teilweise auch <span class=\"ecbx-1095\">Familien <\/span>(oder Kollektionen, Ansammlungen) genannt. Wir schreiben \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>, falls <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> ein Element der Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> ist. Je nach Zusammenhang nennen wir die Elemente mitunter auch Punkte, Zahlen oder Vektoren. Falls <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> kein Element der Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> ist (also <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math>), so schreiben wir auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zb11801afd8c2\"> <a id=\"x1-12006r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.14 <\/span>(Inklusionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Wir sagen, dass eine Menge <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">Teilmenge<\/span><a id=\"dx1-12007\"><\/a> einer Menge <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist und schreiben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> gilt (in Pr\u00e4dikatenlogik <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math>). Wir sagen, dass <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> eine <span class=\"ecbx-1095\">echte Teilmenge <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist und schreiben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u228a<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> eine Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist, aber nicht gleich <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist. Wir schreiben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2288<\/mo><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">keine Teilmenge <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist (also <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt). <\/p><p class=\"indent\">\u00c4quivalente Formulierungen f\u00fcr \u201e<math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> ist eine Teilmenge von <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><a id=\"dx1-12008\"><\/a> sind \u201e <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> ist in <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">enthalten<\/span>\u201c und \u201e<math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist eine <span class=\"ecbx-1095\">Obermenge <\/span>von <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>, was wir auch als \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2287<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> schreiben. Die Bedeutung der Aussage \u201e<math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist eine <span class=\"ecbx-1095\">echte Obermenge <\/span>von <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>, geschrieben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u228b<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ergibt sich nun implizit. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> und eine Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber Elemente <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> schreiben wir auch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-12009r8\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.8)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr die Teilmenge aller <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> f\u00fcr die die Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> gilt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z10cff9ab59a6\"> <a id=\"x1-12010r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.15.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen. Formuliere die Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist eine echte Teilmenge von <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist keine Teilmenge von <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in Pr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">dikatenlogik.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist eine echte Teilmenge<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist durch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">definiert. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wegen der zweiten Annahme der naiven Mengenlehre sind zwei Mengen <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> genau dann gleich, wenn <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math> gelten. Insbesondere k\u00f6nnte <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> gelten, falls <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> ist. Also gibt es f\u00fcr Elemente einer Menge keine Vielfachheiten, aber es ist prinzipiell erlaubt ein Element mehrmals als Element einer Menge aufzulisten. Im Folgenden f\u00fchren wir gel\u00e4ufige Konstruktionen von Mengen aus gegebenen Mengen ein. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z395c59046fff\"> <a id=\"x1-12011r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.16 <\/span>(Mengenoperationen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Seien <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> zwei Mengen. Der <span class=\"ecbx-1095\">Durchschnitt<\/span><a id=\"dx1-12012\"><\/a> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die <span class=\"ecbx-1095\">Vereinigung<\/span><a id=\"dx1-12013\"><\/a> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> das <span class=\"ecbx-1095\">relative<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Komplement<\/span><a id=\"dx1-12014\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> und die <span class=\"ecbx-1095\">symmetrische Differenz<\/span><a id=\"dx1-12015\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>Q<\/mi><\/math> sind durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>Q<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>Q<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>XOR<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definiert. Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, dass alle betrachteten Mengen Teilmengen einer gegebenen (Grund-) Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> sind, dann ist das <span class=\"ecbx-1095\">Komplement<\/span><a id=\"dx1-12016\"><\/a> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> (in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>) definiert durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies ist alles in den Bildern <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12017r4\">1.4<\/a> und <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12019r5\">1.5<\/a> veranschaulicht. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Im Zusammenhang dieser Definitionen wollen wir noch erw\u00e4hnen, dass man der Komplementbildung zu einer Grundmenge immer die h\u00f6chste Priorit\u00e4t und der Vereinigungsoperation die geringste Priorit\u00e4t zuordnet. Also sollte man f\u00fcr Teilmengen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>D<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> einer Grundmenge                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> zum Beispiel den Ausdruck <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> als <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>E<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> lesen. Im Zweifel schreibt man aber lieber eine Klammer zu viel um Verwirrungen zu vermeiden. <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=492&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Mengenoperationen\/mengenoperationen-tot.pdf\"><img id=\"z692f978bfaa5\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Mengenoperationen\/mengenoperationen-tot.svg\" width=\"492\"><\/div> <a id=\"x1-12017r4\"><\/a> <a id=\"x1-12018\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.4:            <\/span><span class=\"content\">Schnitt,            Vereinigung,            Komplement               beziehungsweise             symmetrische             Differenz             von               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>               Skizzen dieser Art nennen sich auch Venndiagramme.                       &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=335&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Mengenoperationen\/absoluteskomplement.pdf\"><img id=\"ze72fdfcd75c9\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Mengenoperationen\/absoluteskomplement.svg\" width=\"335\"><\/div> <a id=\"x1-12019r5\"><\/a> <a id=\"x1-12020\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.5: <\/span><span class=\"content\">Das Komplement <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math>             von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math>             in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"za1fa0a33d640\"> <a id=\"x1-12021r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.17 <\/span>(Distributivgesetze)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie die folgenden Distributivgesetze:<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Aussagen. Zeigen Sie<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen. Zeigen Sie<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">K<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie auch Kommutativ- und Assoziativgesetze formulieren?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Eine Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Als Illustration davon, wie man hier vorgehen kann,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wollen wir den ersten Teil von (i) l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen. Angenommen die Aussage<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist wahr. Dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stimmt <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stimmt <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Angenommen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">stimmt. Dann ist<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wahr und somit auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Genauso<\/span> <span class=\"ecti-1095\">geht man vor, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">stimmt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen die Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist wahr. Dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. In erstem Fall<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stimmen die Aussagen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(und damit auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">also folgt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Der zweite Fall ist analog.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Kommutativgesetze der Aussagenlogik lauten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Assoziativgesetze lauten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zdd648d3594e3\"> <a id=\"x1-12024r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.18 <\/span>(Gesetze von De Morgan)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einer Grundmenge <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie den folgenden Spezialfall der De Morganschen Gesetze:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>Q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>Q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Erl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">utern Sie Ihr Vorgehen an einem Bild im Stile von Figuren <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12017r4\"><span class=\"ecti-1095\">1.4<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12019r5\"><span class=\"ecti-1095\">1.5<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir verallgemeinern nun zwei Begriffe aus Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12011r16\">1.16<\/a>: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z474e225be393\"> <a id=\"x1-12025r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.19 <\/span>(Beliebige Vereinigungen und Schnitte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> eine Kollektion von Mengen. Dann definieren wir die <span class=\"ecbx-1095\">Vereinigung<\/span><a id=\"dx1-12026\"><\/a> der Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> als                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">{<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Falls <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> eine nicht-leere Kollektion von Mengen ist, so definieren wir auch den <span class=\"ecbx-1095\">Durchschnitt <\/span>\u00fcber alle Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">{<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Falls wir die Vereinigung nicht \u00fcber alle Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> nehmen wollen, sondern nur \u00fcber solche, die eine gewisse Eigenschaft <math display=\"inline\"><mi>E<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllen, dann schreiben wir daf\u00fcr auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c3<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo><mi>E<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><mi>A<\/mi><\/math> und analog f\u00fcr den Durchschnitt. Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann schreiben wir auch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass wir den Durchschnitt <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c2<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2205<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>A<\/mi><\/math> nicht definieren wollen. W\u00fcrden wir obige Definition in diesem Fall anwenden, so erhielten wir die \u201eZusammenfassung aller Objekte unserer Anschauung und unseres Denkes\u201c im Sinne des eingangs erw\u00e4hnten Zitats von Georg Cantor. Wir wollen diese Zusammenfassung nicht betrachten und auch kein Symbol daf\u00fcr einf\u00fchren. Falls wir aber im Rahmen einer Diskussion nur Teilmengen einer bestimmten vorgegebenen Grundmenge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> betrachten, so werden wir den Durchschnitt <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c2<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2205<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>A<\/mi><\/math> als <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> definieren. Dies ist mit den Aussagen in folgender \u00dcbung kompatibel. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z4e98dae40c40\"> <a id=\"x1-12027r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.20 <\/span>(De Morgansche Gesetze)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">eine Kollektion von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen einer Grundmenge <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie die allgemeine Form der De Morganschen Gesetze:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munder class=\"msub\"><mrow><mo>\u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi><msup><mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi><msup><mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Dieses Gesetz entspricht der Dualit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t der Quantoren<\/span> <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8009r7\">1.7<\/a>)<span class=\"ecti-1095\">.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z68110b664b88\"> <a id=\"x1-12028r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.21.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Was ist die Menge<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wobei <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wie in Definition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12025r19\"><span class=\"ecti-1095\">1.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">uft, und wie nennen wir dies?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Wir haben dieses Prinzip bereits in Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-40001\"><span class=\"ecti-1095\">1.1<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">kurz besprochen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr unsere Zwecke wird folgende Definition ebenfalls n\u00fctzlich sein: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z9f4f7785aca7\"> <a id=\"x1-12029r22\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.22 <\/span>(Disjunktheit)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Zwei Mengen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>B<\/mi><\/math> heissen <span class=\"ecbx-1095\">disjunkt<\/span>, falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In diesem Fall wird ihre Vereinigung <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">disjunkte Vereinigung <\/span>genannt und auch als <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math> geschrieben. F\u00fcr eine Kollektion <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> von Mengen, sagen wir, dass die Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">paarweise disjunkt <\/span>sind, falls f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Vereinigung der Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> wird dann auch  <span class=\"ecbx-1095\">disjunkte  Vereinigung<\/span><a id=\"dx1-12030\"><\/a> genannt  und  wird  in  diesem  Fall  auch  oft  als <math display=\"inline\"><msub><mrow><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u2a06<\/mtext><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>A<\/mi><\/math> geschrieben. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir wenden uns nun einer weiteren, intuitiv vielleicht bekannten, Mengenkonstruktion zu: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z159b7b6421c2\"> <a id=\"x1-12031r23\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.23 <\/span>(Kartesisches Produkt)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">F\u00fcr zwei Mengen <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> ist das <span class=\"ecbx-1095\">kartesische<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Produkt<\/span><a id=\"dx1-12032\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> die Menge aller geordneten Paare <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> wobei <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In Symbolen,                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>und<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Allgemeiner ist  das  kartesische  Produkt  von <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math>-Mengen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> definiert als <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Weiters definieren wir <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> f\u00fcr eine nat\u00fcrliche Zahl <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> als das <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math>-fache kartesische Produkt von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> mit sich selbst. Das heisst, <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und so weiter. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Graphisch (meist schematisch) wird das kartesische Produkt <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zweier Mengen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> wie in folgendem Bild dargestellt. <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=550&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/kartesisches_produkt\/produkt_total.pdf\"><img id=\"z32aa534bded7\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/kartesisches_produkt\/produkt_total.svg\" width=\"550\"><\/div> <a id=\"x1-12033r6\"><\/a> <a id=\"x1-12034\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.6: <\/span><span class=\"content\">Zwei Darstellungen von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Wir wollen kurz ein paar Beispiele dieser Konstruktion erw\u00e4hnen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z2cfed88266af\"> <a id=\"x1-12035r24\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.24 <\/span>(Einige kartesische Produkte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, dann ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Menge der Buchstaben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">im Alphabet ist, so kann man <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit der Menge aller m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glichen (potenziell sinnfreien) W<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rter der L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">identifizieren. Die Menge der deutschen W<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rter der L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bildet eine echte<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Teilmenge von <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">unter dieser Identifikation.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zf02ba8501e1a\"> <a id=\"x1-12036r25\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.25 <\/span>(Digitale Uhr)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Menge der von einer digitalen Uhr angezeigten Uhrzeiten l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich als kartesisches<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Produkt zweier Mengen auffassen. Wie?<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zcac027c981bf\"> <a id=\"x1-12037r26\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.26 <\/span>(Schnitte von Rechtecken)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen und <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie die Formel<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berzeugen Sie sich auch davon, dass es keine <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnliche Formel f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Vereinigung<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gibt.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Unsere vorerst letzte Konstruktion von Mengen ist in der n\u00e4chsten Definition gegeben: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z582029c78007\"> <a id=\"x1-12038r27\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.27 <\/span>(Potenzmenge)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <a id=\"dx1-12039\"><\/a> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> ist die <span class=\"ecbx-1095\">Potenzmenge <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> durch die Menge all ihrer Teilmengen gegeben, das heisst <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>Q<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;ist&nbsp;eine&nbsp;Menge&nbsp;und&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z68b511f92083\"> <a id=\"x1-12040r28\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.28.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Bestimmen Sie <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung zu Ersterem.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so muss jedes Element, das in <\/span><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">liegt, auch in <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">liegen. Also muss <\/span><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die leere Menge sein. Umgekehrt ist die leere Menge nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlich in der leeren Menge enthalten.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Also besteht die Potenzmenge <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der leeren Menge genau aus der Menge <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die ein Element enth<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wir empfehlen Ihnen, analog zu Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-100003\">1.3.3<\/a> eine \u00dcbersicht aller Abk\u00fcrzungen in der Mengenlehre zusammenzustellen.                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">Der Grund, warum Obiges die naive Mengenlehre genannt wird, ist, dass sie Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts durch die <span class=\"ecbx-1095\">axiomatische Mengenlehre <\/span>(ZF- oder ZFC-Mengenlehre abh\u00e4ngig von einem weiteren Axiom - ZF steht f\u00fcr Zermelo-Fraenkel) ersetzt wurde. Denn die naive Mengenlehre kann sehr schnell zu Widerspr\u00fcchen gef\u00fchrt werden: <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3c35ead9a914\"> <a id=\"x1-12041r29\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.29 <\/span>(Russell 1903)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, also<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>X<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;ist&nbsp;eine&nbsp;Menge&nbsp;und&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>X<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Stellt man nun die Frage, ob <\/span><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">selbst zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">geh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren<\/span> <span class=\"ecti-1095\">kann, so erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>R<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>R<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dies kann aber nicht gelten und ist also ein Widerspruch der naiven Mengenlehre (siehe<\/span> <span class=\"cite\"><span class=\"ecti-1095\">[<\/span><a href=\"#Xrussell\"><span class=\"ecti-1095\">Rus03<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">]<\/span><\/span><span class=\"ecti-1095\">).<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Dieses Beispiel wird <span class=\"ecbx-1095\">Russell-Paradox <\/span>genannt (siehe auch diesen <a href=\"http:\/\/plato.stanford.edu\/entries\/russell-paradox\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Link<\/a>) und ist eine Version des sogenannten L\u00fcgner-Paradoxons (\u201eDieser Satz ist falsch.\u201c oder \u201eIch l\u00fcge immer.\u201c). Es entstand, da wir ohne vern\u00fcnftige Einschr\u00e4nkungen das Bilden beliebiger neuer Mengen erlaubten. In der axiomatischen Mengenlehre werden nur gewisse Konstruktionen (wie zum Beispiel die Potenzmenge oder die Definition einer Teilmenge in (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12009r8\">1.8<\/a>) anstelle der dritten Annahme der naiven Mengenlehre) erlaubt, was dazu f\u00fchrt, dass die Menge <math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> aus dem Russell-Paradox keine Menge mehr ist. Dies l\u00f6st den Widerspruch auf: <math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> kann sich somit nicht                                                                                                                                                                           selbst enthalten, da <math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> ja nur Mengen enth\u00e4lt. <math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> wird in der axiomatischen Mengenlehre eine <span class=\"ecbx-1095\">Klasse <\/span>genannt. Weiters d\u00fcrfen Klassen nicht als Elemente von Mengen oder Klassen auftreten. <\/p><p class=\"indent\">Im folgenden bedienen wir uns der naiven Mengenlehre, da wir die Zeit nicht aufbringen k\u00f6nnen, die axiomatische Mengenlehre ausreichend zu besprechen und da wir auf jeden Fall nur \u201cvern\u00fcnftige\u201d Mengenkonstruktionen verwenden werden. (Dies macht vom streng logischen Standpunkt wenig Sinn, ist aber ein notwendiger Kompromiss.) <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zb06fcedb832b\"> <a id=\"x1-12042r30\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.30 <\/span>(Der Barber aus Sevilla)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Bart, der Barber in dem Dorf Sevilla, rasiert alle M<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nner von Sevilla, die sich nicht selbst<\/span> <span class=\"ecti-1095\">rasieren. Sonst rasiert Bart aber niemanden. Rasiert Bart sich selbst?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die Aussage ist nicht paradox und der zu findende Ausweg ist analog zur obigen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aufl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Russell-Paradoxes.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-12043r12\"><\/a> <h4 id=\"zff7dc8281e21\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.2 <\/span> <a id=\"x1-130002\"><\/a>Abbildungen<\/h4> <p class=\"noindent\">Der Begriff der Funktion ist f\u00fcr die Analysis, die Lineare Algebra, die Mathematik allgemein und ihre Anwendungen unentbehrlich. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zf0af4183f85b\"> <a id=\"x1-13001r31\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.31 <\/span>(Funktionen und erste dazugeh\u00f6rige Begriffe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <a id=\"dx1-13002\"><\/a> <p class=\"indent\">In Worten ausgedr\u00fcckt ist eine <span class=\"ecbx-1095\">Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> von der Menge&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> nach der Menge <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> eine Zuordnung, die jedem <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein eindeutig bestimmtes <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zuweist. Wir schreiben <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> f\u00fcr eine Funktion von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> nach <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span>                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr die Zuordnung, und sprechen manchmal auch von einer <span class=\"ecbx-1095\">Abbildung <\/span>oder einer <span class=\"ecbx-1095\">Transformation<\/span>. Zu einer Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> wird <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> der <span class=\"ecbx-1095\">Definitionsbereich <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> der <span class=\"ecbx-1095\">Wertebereich <\/span>(oder <span class=\"ecbx-1095\">Zielbereich<\/span>) von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> genannt. Im Zusammenhang mit der Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> wird ein Element <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> des Definitionsbereichs auch <span class=\"ecbx-1095\">Argument <\/span>und ein von der Funktion angenommenes Element <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> f\u00fcr ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> auch <span class=\"ecbx-1095\">Wert <\/span>der Funktion genannt. <\/p><p class=\"indent\">Zwei                                                                                                 Funktionen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <msub><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> gelten nur        dann        als        <span class=\"ecbx-1095\">gleich<\/span>,        falls        die        Definitionsbereiche <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> \u00fcbereinstimmen,                                      die                                      Wertebereiche <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> \u00fcbereinstimmen,                         und                         nat\u00fcrlich                         auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr                                                                                                                alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> gilt. <\/p><p class=\"indent\">Das <span class=\"ecbx-1095\">Bild einer Funktion<\/span><a id=\"dx1-13003\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> ist die Menge <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Falls <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion und <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> eine Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> ist, dann definieren wir die <span class=\"ecbx-1095\">Einschr<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbx-1095\">nkung<\/span><a id=\"dx1-13004\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> durch <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Umgekehrt wird die Abbildung <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> auch als eine <span class=\"ecbx-1095\">Fortsetzung <\/span>der Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> bezeichnet. Des Weiteren definieren wir das <span class=\"ecbx-1095\">Bild der Teilmenge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> unter <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> als <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Oft, aber bei weitem nicht immer, wird eine Funktion durch eine Formel wie zum Beispiel <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> definiert. Wir wollen aber betonen, dass ohne Angabe des Definitionsbereichs und des Wertebereichs die Definition der Funktion unvollst\u00e4ndig w\u00e4re (siehe auch Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13014r35\">1.35<\/a>). Wir diskutieren hier kurz gel\u00e4ufige Art und Weisen, diesen Mangel zu beheben. Ist <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion, so schreibt man auch<a id=\"dx1-13005\"><\/a> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">oder <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">wobei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> eine konkrete Formel sein k\u00f6nnte. Beispielsweise w\u00e4re <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> eine vollst\u00e4ndig definierte Funktion in dieser Notation. Alternativ schreibt man auch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">also zum Beispiel <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und hat auch hier Definitions- und Wertebereich angegeben. Wir sprechen \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> unter anderem als \u201ewird abgebildet auf\u201c aus.                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">Wir wollen auch noch kurz den Begriff \u201ewohldefiniert\u201c erw\u00e4hnen. Angenommen wir wollen <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> als Definitionsbereich und <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> als Wertebereich verwenden und haben auch bereits ausgesprochen, wie wir jedem <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zuordnen wollen. Aber vielleicht wissen wir noch nicht genau, ob oder warum diese Zuordnung f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> auch wirklich ein zugeordnets <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> findet. Oder vielleicht wissen wir noch nicht, warum dieses <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> auch durch <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> eindeutig bestimmt wird. Beides sind aber fundamentale notwendige Forderung an einer Funktion <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also wird einer der n\u00e4chsten Schritte der Diskussion der Beweis dieser Forderungen sein. In diesem Zusammenhang sagen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">wohldefiniert <\/span>ist, wenn wir eben zeigen konnten, dass die gew\u00e4hlte Zuordnung tats\u00e4chlich jedem <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein eindeutig bestimmtes <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zuordnet. <\/p><p class=\"indent\">Also wenn wir von einer wohldefinierten Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> sprechen, dann wollen wir damit die notwendige Eigenschaft einer Funktion, dass diese jedem <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein eindeutig bestimmtes <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zuordnet, betonen. Aber formal gesehen kann das Wort \u201ewohldefiniert\u201c in der Aussage \u201e<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> ist eine wohldefinierte Funktion.\u201c ersatzlos gestrichen werden, ohne dass sich der logische Inhalt der Aussage \u00e4ndern w\u00fcrde. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6176fc8097f8\"> <a id=\"x1-13006r32\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.32 <\/span>(Erste Funktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Menge. Die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Identit<\/span><span class=\"ecbi-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbi-1095\">tsabbildung <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist die Funktion definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen und sei <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion. Solche Funktionen werden <\/span><span class=\"ecbi-1095\">konstante Funktionen <\/span><span class=\"ecti-1095\">genannt.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge. Die Funktion<\/span><a id=\"dx1-13010\"><\/a> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>0<\/mn><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mstyle class=\"text\"><mtext>f\u00fcr&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>A<\/mi> <\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mstyle class=\"text\"><mtext>f\u00fcr&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/mtd><\/mtr><\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wird die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">charakteristische Funktion <\/span><span class=\"ecti-1095\">von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genannt. Das Bild<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist genau dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ganz <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>1<\/mn> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><span class=\"ecti-1095\">, wenn die Menge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">weder leer noch ganz<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><button class=\"hover-trigger\"><span class=\"ecti-1095\">(Wieso?)<\/span><\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\"><span class=\"ecti-1095\">In der Tat<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann falls es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wie in der ersten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeile der Definition von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gibt, und <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann wenn es ein <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wie in der zweiten Zeile) gibt.<\/span><\/span><\/span><span class=\"ecti-1095\">. Eine zweite ebenso <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bliche Notation f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine characteristische Funktion<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c7<\/mi><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(d)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r zwei Mengen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definieren wir die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Projektionen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Das Bild von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><span class=\"ecti-1095\">, falls<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht leer ist, und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ebenso ist <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><span class=\"ecti-1095\">, falls<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir schreiben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">manchmal auch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">anstelle von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">anstelle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=474&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/projektionen.pdf\"><img id=\"zb0edf2db3656\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/projektionen.svg\" width=\"474\"><\/div>  <\/div> <\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zf4b391abe791\"> <a id=\"x1-13012r33\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.33 <\/span>(Drei Eigenschaften von Funktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion. <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Die Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">injektiv <\/span>oder eine <span class=\"ecbx-1095\">Injektion <\/span>falls f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> gilt, dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Die Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> ist <span class=\"ecbx-1095\">surjektiv<\/span>, eine <span class=\"ecbx-1095\">Surjektion <\/span>oder eine Funktion von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">auf <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls es zu jedem <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> gibt. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Die Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">bijektiv<\/span>, eine <span class=\"ecbx-1095\">Bijektion <\/span>oder eine <span class=\"ecbx-1095\">eineindeutige Abbildung<\/span>, falls <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> surjektiv und injektiv ist.<\/div><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Eine Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> ist also nicht injektiv, falls zwei verschiedene Elemente <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> existieren mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Des Weiteren ist <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> surjektiv genau dann wenn das Bild <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> der Funktion (siehe Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13001r31\">1.31<\/a>) gleich <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> ist. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z00058c38e5ec\"> <a id=\"x1-13013r34\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 1.34 <\/span>(Funktionen auf Mengen mit h\u00f6chstens drei Elementen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><\/p><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"658px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/zb82nnw3\/width\/688\/height\/658\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In diesem         Applet         kann         man         verschiedene         Funktionen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von                                                einer                                                Menge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chstens          drei          Elementen          nach          einer          Menge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chstens drei Elementen definieren. Hierbei kommt es zu verschiedenen Eigenschaften<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Funktion.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">(*)<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die vielleicht eigenartigste Frage ist, welche Eigenschaften die Funktion von der leeren Menge<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zur leeren Menge besitzt. Folgt man stur der Definition der Begriffe (was sonst sollte man machen)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so erkennt man, dass diese Funktion injektiv, surjektiv, und daher auch bijektiv ist. Doch ist diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Funktion auch konstant? Dies h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngt davon ab, welche der beiden Aussagen man als die Definition<\/span> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine konstante Funktion ansieht:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Diese beiden Aussagen <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber eine Funktion<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent, sobald<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht die leere Menge ist, und k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnten beide als Definition des Begriffs<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">konstant<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">angesehen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">werden. Doch f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den eigenartigen Spezialfall der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">leeren Funktion<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">, welche auf der leeren Menge<\/span> <span class=\"ecti-1095\">definiert ist und Werte in der leeren Menge annimmt, sind diese beiden Aussagen unterschiedlich.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Da wir ab nun diesen h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chst eigenartigen Spezialfall einfach ignorieren und nur Funktionen auf<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nicht-leeren Mengen betrachten wollen, m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen wir uns nicht f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine der beiden Definitionen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">entscheiden.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Im folgenden Beispiel schreiben wir <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> f\u00fcr die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zb7df8b2367b8\"> <a id=\"x1-13014r35\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.35 <\/span>(Ist Quadrieren bijektiv?)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv, surjektiv oder bijektiv? Diese Frage macht wie oben erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rt (noch) keinen Sinn, da weder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Definitionsbereich noch Wertebereich festgelegt wurden und wir diese zur Beantwortung der Frage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">kennen m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen. Folgende Beobachtungen best<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tigen, dass die Antwort zur Frage in der Tat von der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wahl des Definitionsbereichs und des Wertebereichs abh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngt:<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist injektiv, denn falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei nicht-negative Zahlen mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind, so gilt auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Genauso folgt aus <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist. Sie ist jedoch nicht surjektiv: <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist nicht Element des Bildes von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">da Quadrate von reellen Zahlen niemals negativ sind.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist surjektiv (es existiert eine Wurzel), sie ist aber nicht injektiv, denn <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist weder injektiv noch surjektiv.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(d)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist bijektiv.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir werden diese Aussagen sp<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ter noch ausf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrlicher beweisen (d.h.<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;auf die noch einzuf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrenden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Axiome der reellen Zahlen zur<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ckf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren).<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine bijektive Funktion. Dann existiert zu jedem <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math>                                                                                                                                                                           ein eindeutig bestimmtes <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">:<\/span> Da <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> surjektiv ist, existiert ein solches <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> und da <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> injektiv ist, kann es h\u00f6chstens ein solches <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> geben. Daher r\u00fchrt auch die Bezeichnung \u201eeineindeutige Abbildung\u201c f\u00fcr eine Bijektion. Insbesondere kann man wie folgt eine Abbildung definieren. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zd1a2b36b8da7\"> <a id=\"x1-13019r36\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.36 <\/span>(Umkehrabbildung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Bijektion.   Die   <span class=\"ecbx-1095\">Umkehrabbildung<\/span><a id=\"dx1-13020\"><\/a>   (<span class=\"ecbx-1095\">Inverse   Abbildung   <\/span>oder   auch   kurz <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">invers<\/span>) <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> ist                     die                     Abbildung,                     welche                     jedem <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> das                           eindeutig                           bestimmte                           Element <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zuweist. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">An dieser Stelle sollte man noch erw\u00e4hnen, dass <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> nicht durch eine Formel gegeben sein muss, selbst wenn <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> durch eine Formel definiert war. Des Weiteren wollen wir anmerken, dass sich allgemeiner f\u00fcr eine injektive Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Umkehrabbildung mit eingeschr\u00e4nktem Definitionsbereich <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> definieren l\u00e4sst. In der Tat ist die Funktion <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> (also \u201e <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> mit eingeschr\u00e4nktem Wertebereich\u201c) bijektiv.                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z7f94dca6911a\"> <a id=\"x1-13021r37\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.37 <\/span>(Verkn\u00fcpfung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Angenommen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> sind Funktionen. Dann ist die <span class=\"ecbx-1095\">Verkn<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">pfung<\/span><a id=\"dx1-13022\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> (gesprochen <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> nach <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> Ring <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math>) f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> durch <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> definiert. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass f\u00fcr eine bijektive Abbildung <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> und ihre Umkehrabbildung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> die Identit\u00e4ten <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow> <mi>Y<\/mi> <\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow> <mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">erf\u00fcllt sind \u2013 eben per Konstruktion von <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> (siehe auch \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13034r42\">1.42<\/a>). <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z65da7e195b65\"> <a id=\"x1-13023r38\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.38 <\/span>(Assoziativgesetz f\u00fcr Verkn\u00fcpfungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Funktionen. Dann k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wir sowohl die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als auch die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">betrachten. Gl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">cklicherweise sind die Klammern irrelevant, denn es gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Deswegen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">schreiben wir einfach <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z567e41ffaddf\"> <a id=\"x1-13024r39\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.39 <\/span>(Verkn\u00fcpfung ist nicht kommutativ)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r zwei Funktionen <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">macht zwischen <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">im Allgemeinen nur <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Sinn, da <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert sein muss. Dies kann man sich mit einer Analogie aus der Informatik illustrieren.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Seien zwei Programme <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben, so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Zahl als Input und einen Zeichenkette als Output hat und <\/span><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Zeichenkette als Input und eine Zeichenkette als Output hat. In diesem Fall kann man<\/span> <math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">den Output von <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als Input <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bergeben; umgekehrt jedoch kann man <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">den Output von <\/span><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bergeben, da <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nur mit einer Zahl etwas anzufangen weiss.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Nimmt man nun an, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass sowohl <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Sinn machen und beide Abbildungen auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert sind, dann gilt die Gleichheit <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">im Allgemeinen trotzdem nicht. Wir nennen ein geometrisches Beispiel. Seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Spiegelung um die <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-Achse<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Verschiebung (Translation) um <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in positiver Richtung entlang der <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-Achse.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Der Ursprung <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wird unter <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abgebildet und unter <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abgebildet, also gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Sowohl die Eigenschaften in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13012r33\">1.33<\/a> als auch die Verkn\u00fcpfung in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13021r37\">1.37<\/a> sind so grundlegend, dass wir nicht umhin kommen, einige fundamentale Tatsachen zu beweisen: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zad7301901f26\"> <a id=\"x1-13025r40\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 1.40 <\/span>(Eigenschaften von Verkn\u00fcpfungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Funktionen.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv sind, dann ist auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv sind, dann ist auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv sind, dann ist auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv und es gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">(i): Angenommen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> sind injektiv und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr Elemente <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wegen <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> muss <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gelten, da <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> injektiv ist. Da <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> injektiv ist, folgt <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> (aus <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math>). Wir haben also gesehen, dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> impliziert, dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies bedeutet aber genau, dass <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> injektiv ist. <\/p><p class=\"indent\">(ii): Angenommen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> sind surjektiv und <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> ist ein beliebiges Element. Da <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> surjektiv ist, k\u00f6nnen wir ein <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> w\u00e4hlen. Da auch <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> surjektiv                                                                                                                                                                           ist, gibt es ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> und damit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also existiert f\u00fcr jedes Element <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> ein Element <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> und daher ist <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> surjektiv. <\/p><p class=\"indent\">(iii): Angenommen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> sind bijektiv. Der erste Teil von (iii) folgt direkt, denn nach (i) ist <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> injektiv und nach (ii) surjektiv. Wir verifizieren nun die behauptete Formel. Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir m\u00fcssen zeigen, dass <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein Punkt (und damit der Punkt) ist, der unter <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> auf <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> abgebildet wird. Tats\u00e4chlich erf\u00fcllen die Inversen <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> and <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> die Aussagen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Weswegen <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> gilt. Damit ist nun auch (iii) bewiesen. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Mit ein wenig \u00dcbung und dem aktiven Wissen, wie denn eigentlich Injektivit\u00e4t, Surjektivit\u00e4t, und Bijektivit\u00e4t (in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13012r33\">1.33<\/a>) definiert sind, schreibt sich obiger                                                                                                                                                                           Beweis fast von selbst: Wenn wir zum Beispiel im Beweis von (i) zeigen wollen, dass <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> injektiv ist, dann beginnen wir automatisch auf Grund der Definition (der zu zeigenden Aussage) mit der Annahme <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Zu diesem Zeitpunkt k\u00f6nnen wir aber nur eine einzige Annahme, n\u00e4mlich die Injektivit\u00e4t von <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> verwenden, um <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zu erhalten. Danach haben wir eine einzige Annahme noch nicht verwendet, n\u00e4mlich die Injektivit\u00e4t von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und dies ist auch genau die Annahme aus der wir die gew\u00fcnschte Aussage <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> schliessen k\u00f6nnen. Der Beweis von (ii) ergibt sich auf \u00e4hnliche Weise. Gewissermassen sind die Definitionen f\u00fcr die Begriffe in derartigen Beweise einfach gebaute Bauteile oder Schichten, die eigentlich nur auf eine Art und Weise zu einem Ganzem \u2013 dem Beweis \u2013 zusammgengebaut werden k\u00f6nnen. <\/p><p class=\"indent\">Wir werden klare F\u00e4lle (und nur ganz klare F\u00e4lle) von solchen Beweisen hier im eSkript mittels dem Emoji matrbeweis als \u201eMatrjoschkabeweise\u201c kennzeichnen, sie sollten dies als Einladung sehen diese Beweise nach Wiederholung der Definitionen selbst zu schreiben. <\/p><p class=\"indent\">In der folgenden \u00dcbung kombinieren wir die Begriffe aus den Definitionen <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13012r33\">1.33<\/a> und <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13021r37\">1.37<\/a> ein weiteres Mal: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zeaf6a40e44c3\"> <a id=\"x1-13029r41\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.41 <\/span>(Weitere Eigenschaften von Verkn\u00fcpfungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Funktionen.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist. <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berzeugen Sie sich davon, dass in diesem Fall <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht unbedingt surjektiv sein muss.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berzeugen Sie sich davon, dass in diesem Fall <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht unbedingt injektiv sein muss.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist surjektiv wie in (i). Dann existiert f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes<\/span> <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, womit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Dies beweist die allgemeine Behauptung in (i). Falls nun zus<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzlich<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist wie in (ii),<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Lemma<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13025r40\"><span class=\"ecti-1095\">1.40<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">(ii) zeigt, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist. Bei genauer Untersuchung von diesem Argument l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich auch ein einfaches Beispiel wie in (i) finden,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wobei man sogar <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>2<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">setzen kann. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zdb6d0efde461\"> <a id=\"x1-13034r42\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.42 <\/span>(Bijektivit\u00e4t und Existenz einer Umkehrabbildung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion. Wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist, dann gelten <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wie schon bemerkt wurde. Wir zeigen hier die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Umkehrung<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">: Angenommen es existiert eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie unter Verwendung der letzten <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist und dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Des Weiteren, <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berpr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">fen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ebenfalls bijektiv ist. Was ist die Umkehrabbildung von <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"endquote\">?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Wir nehmen an, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sowohl <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen. Nach <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13029r41\"><span class=\"ecti-1095\">1.41<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">folgt, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">daher bijektiv ist. Des Weiteren gilt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und daher auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Da dies f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt, erhalten wir <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Vertauschen wir die Rollen von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so erhalten wir, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Gewisse Objekte bezeichnet man als <span class=\"ecbx-1095\">kanonisch <\/span>oder <span class=\"ecbx-1095\">nat<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">rlich<\/span>, wenn sie unabh\u00e4ngig von jeglicher Wahl sind. Dieser Begriff dr\u00e4ngt sich insbesondere in der Linearen Algebra auf. Wir m\u00f6chten dies an einem Beispiel erl\u00e4utern. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z94aed5138b8e\"> <a id=\"x1-13035r43\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.43 <\/span>(Kanonische Abbildungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Menge und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge. Wir betrachten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">injektive Abbildungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und versuchen darunter eine kanonische auszumachen. Da<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge ist, ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die injektive Abbildung <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die man am schnellsten hinschreiben kann, die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Inklusionsabbildung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u03b9<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">am nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichsten. Denn wir mussten dazu weder spezifische Elemente von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">noch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen. Es gibt nun aber ganz viele andere injektive Abbildungen von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nach<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">involvieren jedoch alle eine (recht zuf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">llige) Regel.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir untersuchen das konkrete Beispiel <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>c<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann gibt es<\/span> <math display=\"inline\"><mn>3<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verschiedene injektive<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Abbildungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Nebst der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Inklusionsabbildung (die <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abbildet) sind dies<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>c<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r diese beiden Abbildungen mussten wir jedoch die Menge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">kennen und spezifische<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Elemente von <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(das<\/span> <span class=\"ecti-1095\">w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren <\/span><math display=\"inline\"><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>c<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">) ausw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">was bei der Inklusionsabbildung nicht der Fall war. In diesem Sinne ist die Inklusionsabbildung unter den injektiven<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Abbildungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche, die kanonische.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Ein weiteres interessanteres Beispiel bilden die in Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13006r32\"><span class=\"ecti-1095\">1.32<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">definierten <\/span><span class=\"ecbi-1095\">kanonischen Projektionen<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r zwei<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Mengen<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr zwei Mengen <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Y<\/mi> <\/math> wird die <span class=\"ecbx-1095\">Menge aller Abbildungen <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> nach <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> als <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mi>X<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> geschrieben, formaler <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;ist&nbsp;eine&nbsp;Funktion<\/mtext><\/mstyle><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Grund f\u00fcr die Notation ist unter anderem die folgende Behauptung: Falls <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> endliche Mengen sind mit <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> resp.&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> Elementen f\u00fcr zwei nat\u00fcrliche Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so hat <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mi>X<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> genau <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> Elemente (siehe auch Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/endliche-und-abzaehlbare-mengen#x1-210007\">1.7<\/a>). <a id=\"x1-13036r13\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"zea57c6a8b239\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.3 <\/span> <a id=\"x1-140003\"><\/a>Graph einer Abbildung<\/h4> <p class=\"noindent\">Mit Hilfe des folgenden Begriffs l\u00e4sst sich der Funktionsbegriff, der in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13001r31\">1.31<\/a> in Worten eingef\u00fchrt wurde, formalisieren und auch besser visualisieren: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z2954c10efe4a\"> <a id=\"x1-14001r44\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.44 <\/span>(Graph einer Funktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion. Der <span class=\"ecbx-1095\">Graph <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> ist                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"qopname\"> graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Der Graph einer Funktion enth\u00e4lt viel Information \u00fcber die Funktion selbst. Unter anderem l\u00e4sst sich aus dem Graphen bereits erkennen, ob die Funktion wohldefiniert ist (das heisst in der Tat eine Funktion ist) oder nicht. Beispielsweise kann folgende Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> nicht der Graph einer Funktion von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> nach <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> sein: <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=417&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/not-fct3.pdf\"><img id=\"z8ede9dea459e\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/not-fct3.svg\" width=\"417\"><\/div> <a id=\"x1-14002r7\"><\/a> <a id=\"x1-14003\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.7:        <\/span><span class=\"content\">Die        hier        dargestellte        Teilmenge        von               <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math>             ist        nicht        der        Graph        einer        Funktion        von               <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>             nach <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>               Denn      man      m\u00fcsste      dem      gr\u00fcn      markierten      Punkt               <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math>                   in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>             vier verschiedene Punkte in <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math>             zuweisen,        was        der        Definition        einer        Funktion               widerspricht.      Genauso      problematisch      ist      der      Punkt               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span>               dem gar kein Punkt zugewiesen wird. Standardm\u00e4ssig nimmt man bei               der Darstellung des Graphen einer Funktion den Definitionbereich als               die Horizontale und den Wertebereich als die Vertikale.                     &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Welche Teilmengen von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> Graphen einer Funktion sein k\u00f6nnen und welche nicht, wollen wir im Folgenden erkl\u00e4ren. Wir beginnen damit, das in Figur <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14002r7\">1.7<\/a> aufgetauchte Problem formal zu interpretieren: <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6d252e31c92f\"> <a id=\"x1-14004r45\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.45 <\/span>(Graphen und Projektion auf den Definitionsbereich)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion. Wie in Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13006r32\"><span class=\"ecti-1095\">1.32<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">bezeichnen wir mit<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Projektion<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, die durch<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und mit <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Projektion auf <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo><mi class=\"qopname\"> graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist und finden Sie die Umkehrabbildung. Beweisen Sie des Weiteren die Identit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">welche erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rt, wie man aus dem Graphen einer Funktion, die Funktion zur<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ckerhalten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">kann.<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass eine Teilmenge <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u0393<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann ein Graph einer Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, wenn <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u0393<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u0393<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist. Verifizieren Sie auch, dass in diesem Fall<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eindeutig bestimmt ist.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die Aussagen sind im Wesentlichen eine Umformulierung der Definition einer<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Funktion.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Auch die Eigenschaften aus Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13012r33\">1.33<\/a> lassen sich im Graphen erkennen. Unter anderem ist ersichtlich, ob eine Funktion injektiv ist oder nicht: <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=381&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-not-inj.pdf\"><img id=\"zff06f6876498\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-not-inj.svg\" width=\"381\"><\/div> <a id=\"x1-14007r8\"><\/a> <a id=\"x1-14008\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.8:                                    <\/span><span class=\"content\">Dies                                    ist               der Graph einer nicht injektiven Funktion. Der gr\u00fcn markierte Punkt               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             in               <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math>             wird   unter   der   Funktion   von   vier   verschiedenen   Elementen   in               <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>             angenommen.                                                                            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=425&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-inj1.pdf\"><img id=\"z8122704b66d0\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-inj1.svg\" width=\"425\"><\/div> <a id=\"x1-14009r9\"><\/a> <a id=\"x1-14010\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.9:       <\/span><span class=\"content\">Dies       ist       der       Graph       einer       injektiven               Funktion.            Der            gr\u00fcn            markierte            Punkt               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math>             ist        das        Bild        von        nur        einem        Punkt        in               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>               Dies         ist         immer         noch         der         Fall,         wenn               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             verschoben       wird       (bis       auf       die       Tatsache,       dass               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             dann vielleicht gar nicht mehr im Bild liegt). In anderen Worten: jede               horizontale Linie schneidet den Graphen in h\u00f6chstens einem Punkt.   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Genauso l\u00e4sst sich beurteilen, ob eine Funktion surjektiv ist oder nicht - siehe Figuren <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14011r10\">1.10<\/a> und <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14013r11\">1.11<\/a>. Wir formalisieren dies in \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14016r47\">1.47<\/a>. <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=404&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-not-surj.pdf\"><img id=\"z95fccfa66229\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-not-surj.svg\" width=\"404\"><\/div> <a id=\"x1-14011r10\"><\/a> <a id=\"x1-14012\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.10:                                   <\/span><span class=\"content\">Dies                                   ist               der Graph einer nicht-surjektiven Funktion. Der gr\u00fcn markierte Punkt               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             in               <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math>             wird     unter     der     Funktion     von     keinem     Element     in               <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>             angenommen.                                                                            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=404&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-surj.pdf\"><img id=\"zbe9ca9ac1840\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-surj.svg\" width=\"404\"><\/div> <a id=\"x1-14013r11\"><\/a> <a id=\"x1-14014\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.11:   <\/span><span class=\"content\">Dies   ist   der   Graph   einer   surjektiven   Funktion.               Jede     horizontale     Linie     (wie     zum     Beispiel     jene     durch               <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math>                   oder <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math>)               schneidet den Graphen in mindestens einem Punkt.                          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z4fc9aed34f3d\"> <a id=\"x1-14015r46\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 1.46 <\/span>(Einschr\u00e4nkungen einer Funktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><\/p><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"594px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/jnbdsnxv\/width\/688\/height\/594\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten eine Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die auf einem Intervall <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert ist. Durch Einschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nken der Funktion auf Teilintervalle <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">des Definitionsbereichs oder durch Einschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nken des Wertebereichs auf ein Intervall <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir mitunter Injektivit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t, Surjektivit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t, oder auch Bijektivit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t der neuen Funktion<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erreichen.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z6fd3c8b9133d\"> <a id=\"x1-14016r47\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.47 <\/span>(Eigenschaften des Graphen unter Projektion auf den Wertebereich)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion.<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist genau dann, wenn <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist genau dann, wenn <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist. Intuitiv bedeutet letzteres, dass die Projektion des Graphen <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">jedes Element erreicht.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist bijektiv. Wie findet man den Graphen von <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"endquote\">?<\/span><\/div><\/div> <p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die Aufgabe l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich entweder direkt oder unter Verwendung von <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14004r45\"><span class=\"ecti-1095\">1.45<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">(i) l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen. Den Graph von<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man, indem man die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Koordinaten jedes Punktes <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi class=\"qopname\"> graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">vertauscht.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-14017r14\"><\/a> <h4 id=\"zb8ad9c84693b\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.4 <\/span> <a id=\"x1-150004\"><\/a>Bild- und Urbildmengen<\/h4> <p class=\"noindent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion und <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> eine Teilmenge. Wir verwenden manchmal auch die Notation <math display=\"inline\"><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> f\u00fcr das Bild <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> der Teilmenge <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> wie in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13001r31\">1.31<\/a>. Ebenso schreiben wir auch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">wobei <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> irgend eine Aussage \u00fcber Elemente <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> sein kann. In dieser Gleichung haben wir rechts genau nach dem Schema in der dritten Annahme an die Mengenlehre (siehe Abschnitt&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-120001\">1.4.1<\/a>) eine Menge definiert und verwenden dies, um den k\u00fcrzeren (und \u00fcbersichtlicheren) Ausdruck links zu definieren. <\/p><p class=\"indent\">Folgende Definition der Urbildmengen ist auch f\u00fcr nicht bijektive Funktionen n\u00fctzlich: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zd6d790cfbb03\"> <a id=\"x1-15001r48\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.48 <\/span>(Urbilder bez\u00fcglich einer Funktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> und eine Teilmenge <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> definieren wir das <span class=\"ecbx-1095\">Urbild<\/span><a id=\"dx1-15002\"><\/a> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> unter <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> als <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>B<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Beispielsweise gilt f\u00fcr eine Funktion <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In der n\u00e4chsten \u00dcbung pr\u00fcfen wir einige Eigenschaften von Bildmengen und Urbildmengen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z04b5538e965c\"> <a id=\"x1-15003r49\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.49 <\/span>(Verhalten von Bildern und Urbildern unter Mengenoperationen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Gegeben sei eine Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und Teilmengen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Unter welcher Bedingung an <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt auf jeden Fall Gleichheit?<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2287<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Unter welcher Bedingung an <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt auf jeden Fall Gleichheit?<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie die Gleichungen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und dass<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Gleichheit gilt, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. Verifzieren Sie, dass in diesem Fall auch<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(v)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gelten.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(vi)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Verallgemeinern Sie die Regeln <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Vereinigungen resp. Schnitte.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Zusammenfassend sollten Sie sich merken, dass die Urbildoperation mit allen von uns besprochenen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mengentheoretischen Operationen (unter anderem Vereinigung, Durchschnitt und Komplement)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">vertr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">glich ist, w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrend dies die Bildoperation nur f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Vereinigung oder unter gewissen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Bedingungen erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Wir beweisen Teil (iv). Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion, <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">des Definitionsbereichs und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dies beweist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bereits <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir nehmen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nun zus<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzlich an, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <\/math><span class=\"ecti-1095\">. Da<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">impliziert dies <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und damit <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten daher <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir nehmen weiterhin an, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt dann <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. In der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Tat, da <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist, folgt aus <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Gleichheit <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Da<\/span> <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">erhalten wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">daraus <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Falls<\/span> <span class=\"ecti-1095\">umgekehrt <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">, dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">existiert ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und es muss<\/span> <span class=\"ecti-1095\">des Weiteren <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gelten, was <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zef3b65efdb7f\"> <a id=\"x1-15010r50\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 1.50 <\/span>(Bilder und Urbilder)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><\/p><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 674px\"><iframe height=\"547px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/c8emqvtm\/width\/674\/height\/547\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten eine Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die auf einem Intervall <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert ist. Je nach Einstellung des Applets wird entweder das Bild <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eines Teilintervalls <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder das Urbild <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eines Intervalls <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">dargestellt.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-15011r15\"><\/a> <h4 id=\"ze86f55e20d5b\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.5 <\/span> <a id=\"x1-160005\"><\/a>Partitionen<\/h4> <p class=\"noindent\">Der folgende Begriff kann f\u00fcr die Definition von Funktionen durch \u201eFallunterscheidung\u201c n\u00fctzlich sein. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zc62e11658a0c\"> <a id=\"x1-16001r51\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.51 <\/span>(Partition)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> eine Menge und <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> eine Familie von nicht-leeren, paarweise disjunkten Teilmengen von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow> <mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u2a06<\/mtext><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann wird <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> eine <span class=\"ecbx-1095\">Partition <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> genannt.                                                                                                                                                                           <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Folgendes Lemma beschreibt, unter welchen Bedingungen man eine Funktion aus Funktionen auf Teilmengen \u201e zusammensetzen\u201c kann: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zdbec942a7b81\"> <a id=\"x1-16002r52\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 1.52 <\/span>(Funktionen durch Fallunterscheidungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Partition von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Angenommen es ist f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben. Dann existiert eine eindeutige Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir definieren die gew\u00fcnschte Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> wie folgt: Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert genau ein <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> eine Partition ist. Wir setzen nun <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und haben also eine Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> definiert. Diese erf\u00fcllt <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> nach Konstruktion. <\/p><p class=\"indent\">Wir zeigen noch die Eindeutigkeit von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Sei also <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine weitere Funktion mit <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Sei <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein beliebiges Element und <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> das                                                                                                                                                                           Partitionselement mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gilt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da dies f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> gilt, erhalten wir <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z0bb43be205d1\"> <a id=\"x1-16003r53\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.53 <\/span>(Funktionen durch Fallunterscheidungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Bedingung in Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-16002r52\"><span class=\"ecti-1095\">1.52<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass<\/span> <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Partition ist, notwendig ist, durch Auffinden geeigneter Beispiele:<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie Mengen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine Kollektion <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht paarweise disjunkter Teilmengen mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c3<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und Funktionen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass keine Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen, <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Kollektion paarweise disjunkter Teilmengen mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u22c3<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und Funktionen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben. Zeigen Sie, dass mehrere Funktionen <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existieren, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mehr als ein Element enth<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span><\/div><\/div> <\/div> <a id=\"x1-16004r16\"><\/a> <h4 id=\"z7a66a360fca7\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.6 <\/span> <a id=\"x1-170006\"><\/a>Iterationen<\/h4> <p class=\"noindent\">Eine Funktion, f\u00fcr die Wertebereich gleich dem Definitionsbereich ist, l\u00e4sst sich auch mit sich selbst verkn\u00fcpfen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z3b49ec9adc47\"> <a id=\"x1-17001r54\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.54 <\/span>(Iterationen einer Funktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> eine Funktion von einer Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> auf sich selbst. Wir definieren die <span class=\"ecbx-1095\">Iterationen der Funktion<\/span><a id=\"dx1-17002\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und rekursiv auch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir sprechen <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> auch als \u201e <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> hoch <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> aus und setzen des Weiteren <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass man die Iteration einer Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> oft einfach auch durch <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> bezeichnet.<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Wir wollen zumindest anfangs die Notation <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> verwenden, um Verwirrungen mit der <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math>-ten Potenz einer reellwertigen Funktion zu vermeiden.<\/span><\/span> <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zb9caebe4e412\"> <a id=\"x1-17003r55\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.55 <\/span>(Beispiele und eine Eigenschaft von Iterationen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>c<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Menge mit <\/span><math display=\"inline\"><mn>3<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verschiedenen Elementen und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Funktion definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>c<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist. Beschreiben Sie die Umkehrabbildung und alle Iterationen von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">explizit.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Iterieren Sie die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mn>3<\/mn><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und beschreiben Sie intuitiv, wie sich <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und verschiedene <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Iterieren Sie die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und beschreiben Sie intuitiv, wie sich <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und verschiedene <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Menge und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Transformation auf<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Eine Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Wir erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren hier die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung zum letzten Teil. Falls<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt, gibt es nichts<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu zeigen, da <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert wurde. Wir verwenden zuerst das Assoziativgesetz in Beispiel<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13023r38\"><span class=\"ecti-1095\">1.38<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und die Definition der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Iteration um<\/span> <\/p> <table id=\"zcc5be824396e\" class=\"equation\"><tr><td> <a id=\"x1-17008r9\"><\/a> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <\/math><\/td><td class=\"eq-no\">(1.9)<\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">zu zeigen. Die erste Gleichung ist bloss unsere Definition der Iteration. Die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zweite Gleichung wollen wir mittels vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndiger Induktion beweisen und gilt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">was den Induktionsanfang darstellt. Falls nun<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17008r9\">1.9<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">bereits f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt, so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten wir gemeinsam mit der Definition<\/span> <\/p><table id=\"z9cede7b27221\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Dies beweist<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17008r9\">1.9<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mittels vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndiger Induktion.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir behaupten nun<\/span> <\/p><table id=\"z024a2dd46502\" class=\"equation\"><tr><td> <a id=\"x1-17009r10\"><\/a> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <\/math><\/td><td class=\"eq-no\">(1.10)<\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und wollen wiederum vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndige Induktion verwenden. Genauer formuliert, wollen wir vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndige<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Induktion nach<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Aussage<\/span> <\/p><table id=\"z8fa11d8105a2\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">verwenden.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Nach<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17008r9\">1.9<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17009r10\">1.10<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">was den Induktionsanfang darstellt. Angenommen<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17009r10\">1.10<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">gilt bereits f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann erhalten wir<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">womit der Induktionsschritt und damit auch<\/span>  (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17009r10\">1.10<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bewiesen ist. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-17010r17\"><\/a> <h4 id=\"z1e896ec4d83c\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.7 <\/span> <a id=\"x1-180007\"><\/a>Das Hilbert Hotel<\/h4> <p class=\"noindent\">F\u00fcr eine Abbildung <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> auf einer endlichen Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> sind Injektivit\u00e4t und Surjektivit\u00e4t \u00e4quivalent (siehe Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/endliche-und-abzaehlbare-mengen#x1-210007\">1.7<\/a>). F\u00fcr unendliche Mengen ergeben sich jedoch weitere M\u00f6glichkeiten, die auf den ersten Blick ungew\u00f6hnlich erscheinen k\u00f6nnten. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zadf8d439e7ab\"> <a id=\"x1-18001r56\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.56 <\/span>(Hilbert Hotel)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Abbildung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">ist zwar injektiv aber nicht surjektiv, denn <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dies kann man sich zur Veranschaulichung wie folgt vorstellen: Angenommen ein Hotel<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(das sogenannte <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Hilbert Hotel<\/span><span class=\"ecti-1095\">) ist voll belegt und hat f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jede nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahl<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Hotelzimmer mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der T<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rnummer <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(entlang eines wirklich sehr langen Ganges der Reihe nach nummeriert). Dann kann man trotzdem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">noch einen Gast unterbringen. Dazu muss die Rezeption bloss dem Gast im ersten Zimmer einen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Brief mit folgender Botschaft aush<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigen:<\/span> <\/p><blockquote class=\"quote\"> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Wir bedauern, Ihnen mitzuteilen, dass wir Ihnen ein neues Zimmer zuweisen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen. Bitte packen Sie ihre Sachen, <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bergeben Sie diesen Brief dem Gast im<\/span> <span class=\"ecti-1095\">n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chsten Zimmer und <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bernehmen Sie dieses Zimmer, sobald es frei ist.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span><\/p><\/blockquote> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Daraufhin wird das erste Zimmer frei sein, wo dann der neue Gast untergebracht werden kann. Ebenso<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bekommen alle alten G<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ste jeweils ein neues Zimmer.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Genauso gibt es auch surjektive Abbildungen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nicht injektiv sind, zum Beispiel<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mn>1<\/mn> <\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle> <mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Das Gedankenspiel von Hilberts Hotel l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich durchaus erweiteren. Wir verweisen dazu auf die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chste <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung und diesen <\/span><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OxGsU8oIWjY\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span class=\"ecti-1095\">Kurzfilm<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, der folgende <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung aufl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">st und erweitert.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z0d8b1bdec6c5\"> <a id=\"x1-18002r57\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.57 <\/span>(Hilberts Bus)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir setzen  das  Gedankenspiel  von  Hilberts  Hotel  fort:  Stellen  Sie  sich  vor,  dass<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein sehr langer,  voll  besetzter  Bus  mit  G<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sten  vor  Hilberts  vollem  Hotel  auff<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrt,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jede  nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche  Zahl  einen  entsprechend  nummerierten  Sitzplatz  aufweist.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wie k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen  Sie  die  neuen  G<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ste  alle  im  Hotel  unterbringen?  Welche  Abbildung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie verwenden, um im Hotel Platz zu beschaffen?<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-18003r11\"><\/a> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; border-left: 0; border-right: 0; }\ncenter { margin-top:1em; margin-bottom:1em; }\ntd center { margin-top:0em; margin-bottom:0em; }\n.Canvas { position:relative; }\nmath { text-indent: 0em; }\nli p.indent { text-indent: 0em }\nli p:first-child{ margin-top:0em; }\nli p:last-child, li div:last-child { margin-bottom:0.5em; }\nli p~ul:last-child, li p~ol:last-child{ margin-bottom:0.5em; }\n.enumerate1 {list-style-type:decimal;}\n.enumerate2 {list-style-type:lower-alpha;}\n.enumerate3 {list-style-type:lower-roman;}\n.enumerate4 {list-style-type:upper-alpha;}\n.obeylines-h,.obeylines-v {white-space: nowrap; }\ndiv.obeylines-v p { margin-top:0; margin-bottom:0; }\n.overline{ text-decoration:overline; }\n.overline img{ border-top: 1px solid black; }\ntd.displaylines {text-align:center; white-space:nowrap;}\n.centerline {text-align:center;}\n.rightline {text-align:right;}\npre.verbatim {font-family: monospace,monospace; text-align:left; clear:both; }\n.fbox {padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.tabbing-right {text-align:right;}\ndiv.float, div.figure {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ndiv.float img {text-align:center;}\ndiv.figure img {text-align:center;}\n.marginpar,.reversemarginpar {width:20%; float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"zfef55639fa5b\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4 <\/span> <a id=\"x1-110004\"><\/a>Mengenlehre und Abbildungen<\/h3> <a id=\"x1-11001r10\"><\/a> <h4 id=\"z2d650d0cdf7f\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.1 <\/span> <a id=\"x1-120001\"><\/a>Naive Mengenlehre<\/h4> <p class=\"noindent\">Georg Cantor definierte 1895 in <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xcantor\">Can95<\/a>]<\/span> den Begriff einer Menge wie folgt: <\/p><blockquote class=\"quote\"> <p class=\"noindent\">\u201e<span class=\"ecti-1095\">Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Denken (welche Elemente von <\/span><math display=\"inline\"><mi>M<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genannt werden) zu einem Ganzen.<\/span>\u201c<\/p><\/blockquote> <p class=\"noindent\">Also sind die zentralen Annahmen der naiven Mengenlehre (oder Cantorschen Mengenlehre) die folgenden Punkte. <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> (1)<\/dt><dd class=\"enumerate\">Eine <span class=\"ecbx-1095\">Menge <\/span>besteht aus beliebigen unterscheidbaren Elementen. Etwaige Vielfachheiten werden ignoriert. <\/dd><dt class=\"enumerate\"> (2)<\/dt><dd class=\"enumerate\">Eine Menge ist unverwechselbar durch ihre <span class=\"ecbx-1095\">Elemente <\/span>bestimmt. <\/dd><dt class=\"enumerate\"> (3)<\/dt><dd class=\"enumerate\">Jede Eigenschaft <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> definiert<a id=\"dx1-12004\"><\/a> die <span class=\"ecbx-1095\">Menge der Objekte <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die diese Eigenschaft besitzen (das heisst, die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllen).<\/dd><\/dl> <p class=\"indent\">Manchmal beschreiben wir eine Menge durch eine konkrete Auflistung ihrer Elemente (zum Beispiel in der Form <math display=\"inline\"><mi>M<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math>). Die<a id=\"dx1-12005\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">leere Menge<\/span>, geschrieben als <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> oder auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u2205<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ist die Menge, die keine Elemente enth\u00e4lt. Mengen werden teilweise auch <span class=\"ecbx-1095\">Familien <\/span>(oder Kollektionen, Ansammlungen) genannt. Wir schreiben \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>, falls <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> ein Element der Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> ist. Je nach Zusammenhang nennen wir die Elemente mitunter auch Punkte, Zahlen oder Vektoren. Falls <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> kein Element der Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> ist (also <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math>), so schreiben wir auch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zb11801afd8c2\"> <a id=\"x1-12006r14\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.14 <\/span>(Inklusionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Wir sagen, dass eine Menge <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">Teilmenge<\/span><a id=\"dx1-12007\"><\/a> einer Menge <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist und schreiben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math> auch <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> gilt (in Pr\u00e4dikatenlogik <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math>). Wir sagen, dass <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> eine <span class=\"ecbx-1095\">echte Teilmenge <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist und schreiben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u228a<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> eine Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist, aber nicht gleich <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist. Wir schreiben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2288<\/mo><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">keine Teilmenge <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist (also <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt). <\/p><p class=\"indent\">\u00c4quivalente Formulierungen f\u00fcr \u201e<math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> ist eine Teilmenge von <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><a id=\"dx1-12008\"><\/a> sind \u201e <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> ist in <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">enthalten<\/span>\u201c und \u201e<math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist eine <span class=\"ecbx-1095\">Obermenge <\/span>von <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>, was wir auch als \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2287<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> schreiben. Die Bedeutung der Aussage \u201e<math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> ist eine <span class=\"ecbx-1095\">echte Obermenge <\/span>von <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>, geschrieben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u228b<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ergibt sich nun implizit. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> und eine Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber Elemente <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> schreiben wir auch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-12009r8\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.8)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr die Teilmenge aller <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> f\u00fcr die die Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> gilt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z10cff9ab59a6\"> <a id=\"x1-12010r15\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.15.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen. Formuliere die Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist eine echte Teilmenge von <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist keine Teilmenge von <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">in Pr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">dikatenlogik.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist eine echte Teilmenge<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist durch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">definiert. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wegen der zweiten Annahme der naiven Mengenlehre sind zwei Mengen <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> genau dann gleich, wenn <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math> gelten. Insbesondere k\u00f6nnte <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> gelten, falls <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> ist. Also gibt es f\u00fcr Elemente einer Menge keine Vielfachheiten, aber es ist prinzipiell erlaubt ein Element mehrmals als Element einer Menge aufzulisten. Im Folgenden f\u00fchren wir gel\u00e4ufige Konstruktionen von Mengen aus gegebenen Mengen ein. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z395c59046fff\"> <a id=\"x1-12011r16\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.16 <\/span>(Mengenoperationen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Seien <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> zwei Mengen. Der <span class=\"ecbx-1095\">Durchschnitt<\/span><a id=\"dx1-12012\"><\/a> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die <span class=\"ecbx-1095\">Vereinigung<\/span><a id=\"dx1-12013\"><\/a> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> das <span class=\"ecbx-1095\">relative<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Komplement<\/span><a id=\"dx1-12014\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> und die <span class=\"ecbx-1095\">symmetrische Differenz<\/span><a id=\"dx1-12015\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>Q<\/mi><\/math> sind durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>Q<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">\u25b3<\/mo><mi>Q<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>XOR<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definiert. Wenn aus dem Zusammenhang klar ist, dass alle betrachteten Mengen Teilmengen einer gegebenen (Grund-) Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> sind, dann ist das <span class=\"ecbx-1095\">Komplement<\/span><a id=\"dx1-12016\"><\/a> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> (in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>) definiert durch <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies ist alles in den Bildern <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12017r4\">1.4<\/a> und <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12019r5\">1.5<\/a> veranschaulicht. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Im Zusammenhang dieser Definitionen wollen wir noch erw\u00e4hnen, dass man der Komplementbildung zu einer Grundmenge immer die h\u00f6chste Priorit\u00e4t und der Vereinigungsoperation die geringste Priorit\u00e4t zuordnet. Also sollte man f\u00fcr Teilmengen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>D<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> einer Grundmenge                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> zum Beispiel den Ausdruck <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>C<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>E<\/mi><\/math> als <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>D<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>E<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> lesen. Im Zweifel schreibt man aber lieber eine Klammer zu viel um Verwirrungen zu vermeiden. <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=492&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Mengenoperationen\/mengenoperationen-tot.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z692f978bfaa5\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Mengenoperationen\/mengenoperationen-tot.svg\" width=\"492\" \/><\/div> <a id=\"x1-12017r4\"><\/a> <a id=\"x1-12018\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.4:            <\/span><span class=\"content\">Schnitt,            Vereinigung,            Komplement               beziehungsweise             symmetrische             Differenz             von               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Q<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>               Skizzen dieser Art nennen sich auch Venndiagramme.                       &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=335&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Mengenoperationen\/absoluteskomplement.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"ze72fdfcd75c9\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Mengenoperationen\/absoluteskomplement.svg\" width=\"335\" \/><\/div> <a id=\"x1-12019r5\"><\/a> <a id=\"x1-12020\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.5: <\/span><span class=\"content\">Das Komplement <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math>             von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math>             in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"za1fa0a33d640\"> <a id=\"x1-12021r17\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.17 <\/span>(Distributivgesetze)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie die folgenden Distributivgesetze:<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Aussagen. Zeigen Sie<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen. Zeigen Sie<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">K<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie auch Kommutativ- und Assoziativgesetze formulieren?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Eine Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Als Illustration davon, wie man hier vorgehen kann,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wollen wir den ersten Teil von (i) l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen. Angenommen die Aussage<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist wahr. Dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stimmt <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stimmt <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Angenommen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">stimmt. Dann ist<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wahr und somit auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Genauso<\/span> <span class=\"ecti-1095\">geht man vor, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">stimmt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen die Aussage <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist wahr. Dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. In erstem Fall<\/span> <span class=\"ecti-1095\">stimmen die Aussagen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(und damit auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>C<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">also folgt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Der zweite Fall ist analog.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Kommutativgesetze der Aussagenlogik lauten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Assoziativgesetze lauten<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zdd648d3594e3\"> <a id=\"x1-12024r18\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.18 <\/span>(Gesetze von De Morgan)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">einer Grundmenge <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie den folgenden Spezialfall der De Morganschen Gesetze:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>Q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>P<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>Q<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Erl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">utern Sie Ihr Vorgehen an einem Bild im Stile von Figuren <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12017r4\"><span class=\"ecti-1095\">1.4<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12019r5\"><span class=\"ecti-1095\">1.5<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir verallgemeinern nun zwei Begriffe aus Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12011r16\">1.16<\/a>: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z474e225be393\"> <a id=\"x1-12025r19\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.19 <\/span>(Beliebige Vereinigungen und Schnitte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> eine Kollektion von Mengen. Dann definieren wir die <span class=\"ecbx-1095\">Vereinigung<\/span><a id=\"dx1-12026\"><\/a> der Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> als                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">{<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Falls <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> eine nicht-leere Kollektion von Mengen ist, so definieren wir auch den <span class=\"ecbx-1095\">Durchschnitt <\/span>\u00fcber alle Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">{<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Falls wir die Vereinigung nicht \u00fcber alle Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> nehmen wollen, sondern nur \u00fcber solche, die eine gewisse Eigenschaft <math display=\"inline\"><mi>E<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllen, dann schreiben wir daf\u00fcr auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c3<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo><mi>E<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><mi>A<\/mi><\/math> und analog f\u00fcr den Durchschnitt. Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann schreiben wir auch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/munder><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow> <mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass wir den Durchschnitt <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c2<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2205<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>A<\/mi><\/math> nicht definieren wollen. W\u00fcrden wir obige Definition in diesem Fall anwenden, so erhielten wir die \u201eZusammenfassung aller Objekte unserer Anschauung und unseres Denkes\u201c im Sinne des eingangs erw\u00e4hnten Zitats von Georg Cantor. Wir wollen diese Zusammenfassung nicht betrachten und auch kein Symbol daf\u00fcr einf\u00fchren. Falls wir aber im Rahmen einer Diskussion nur Teilmengen einer bestimmten vorgegebenen Grundmenge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> betrachten, so werden wir den Durchschnitt <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c2<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2205<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>A<\/mi><\/math> als <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> definieren. Dies ist mit den Aussagen in folgender \u00dcbung kompatibel. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z4e98dae40c40\"> <a id=\"x1-12027r20\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.20 <\/span>(De Morgansche Gesetze)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">eine Kollektion von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen einer Grundmenge <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie die allgemeine Form der De Morganschen Gesetze:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munder class=\"msub\"><mrow><mo>\u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi><msup><mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><mi>A<\/mi><msup><mrow><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><munder class=\"msub\"><mrow><mo> \u22c3<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/munder><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mi>c<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Dieses Gesetz entspricht der Dualit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t der Quantoren<\/span> <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8009r7\">1.7<\/a>)<span class=\"ecti-1095\">.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z68110b664b88\"> <a id=\"x1-12028r21\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.21.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Was ist die Menge<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><munderover accent=\"false\" accentunder=\"false\"><mrow><mo>\u22c2<\/mo> <\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mi>\u221e<\/mi><\/mrow><\/munderover><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> |<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wobei <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wie in Definition <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12025r19\"><span class=\"ecti-1095\">1.19<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">uft, und wie nennen wir dies?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Wir haben dieses Prinzip bereits in Abschnitt <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-40001\"><span class=\"ecti-1095\">1.1<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">kurz besprochen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr unsere Zwecke wird folgende Definition ebenfalls n\u00fctzlich sein: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z9f4f7785aca7\"> <a id=\"x1-12029r22\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.22 <\/span>(Disjunktheit)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Zwei Mengen <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>B<\/mi><\/math> heissen <span class=\"ecbx-1095\">disjunkt<\/span>, falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In diesem Fall wird ihre Vereinigung <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">disjunkte Vereinigung <\/span>genannt und auch als <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2294<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math> geschrieben. F\u00fcr eine Kollektion <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> von Mengen, sagen wir, dass die Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">paarweise disjunkt <\/span>sind, falls f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msub><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die Vereinigung der Mengen in <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/math> wird dann auch  <span class=\"ecbx-1095\">disjunkte  Vereinigung<\/span><a id=\"dx1-12030\"><\/a> genannt  und  wird  in  diesem  Fall  auch  oft  als <math display=\"inline\"><msub><mrow><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u2a06<\/mtext><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udc9c<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>A<\/mi><\/math> geschrieben. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir wenden uns nun einer weiteren, intuitiv vielleicht bekannten, Mengenkonstruktion zu: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z159b7b6421c2\"> <a id=\"x1-12031r23\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.23 <\/span>(Kartesisches Produkt)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">F\u00fcr zwei Mengen <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> ist das <span class=\"ecbx-1095\">kartesische<\/span> <span class=\"ecbx-1095\">Produkt<\/span><a id=\"dx1-12032\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> die Menge aller geordneten Paare <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> wobei <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In Symbolen,                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>und<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Allgemeiner ist  das  kartesische  Produkt  von <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math>-Mengen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> definiert als <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Weiters definieren wir <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> f\u00fcr eine nat\u00fcrliche Zahl <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> als das <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math>-fache kartesische Produkt von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> mit sich selbst. Das heisst, <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und so weiter. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Graphisch (meist schematisch) wird das kartesische Produkt <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zweier Mengen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> wie in folgendem Bild dargestellt. <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=550&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/kartesisches_produkt\/produkt_total.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z32aa534bded7\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/kartesisches_produkt\/produkt_total.svg\" width=\"550\" \/><\/div> <a id=\"x1-12033r6\"><\/a> <a id=\"x1-12034\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.6: <\/span><span class=\"content\">Zwei Darstellungen von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Wir wollen kurz ein paar Beispiele dieser Konstruktion erw\u00e4hnen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z2cfed88266af\"> <a id=\"x1-12035r24\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.24 <\/span>(Einige kartesische Produkte)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, dann ist<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>z<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Menge der Buchstaben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">im Alphabet ist, so kann man <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit der Menge aller m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glichen (potenziell sinnfreien) W<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rter der L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">identifizieren. Die Menge der deutschen W<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">rter der L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bildet eine echte<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Teilmenge von <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">unter dieser Identifikation.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zf02ba8501e1a\"> <a id=\"x1-12036r25\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.25 <\/span>(Digitale Uhr)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Menge der von einer digitalen Uhr angezeigten Uhrzeiten l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich als kartesisches<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Produkt zweier Mengen auffassen. Wie?<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zcac027c981bf\"> <a id=\"x1-12037r26\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.26 <\/span>(Schnitte von Rechtecken)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen und <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie die Formel<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berzeugen Sie sich auch davon, dass es keine <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnliche Formel f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Vereinigung<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gibt.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Unsere vorerst letzte Konstruktion von Mengen ist in der n\u00e4chsten Definition gegeben: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z582029c78007\"> <a id=\"x1-12038r27\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.27 <\/span>(Potenzmenge)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <a id=\"dx1-12039\"><\/a> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> ist die <span class=\"ecbx-1095\">Potenzmenge <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> durch die Menge all ihrer Teilmengen gegeben, das heisst <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>Q<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>Q<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;ist&nbsp;eine&nbsp;Menge&nbsp;und&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>Q<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z68b511f92083\"> <a id=\"x1-12040r28\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.28.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Bestimmen Sie <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung zu Ersterem.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so muss jedes Element, das in <\/span><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">liegt, auch in <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">liegen. Also muss <\/span><math display=\"inline\"><mi>Q<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die leere Menge sein. Umgekehrt ist die leere Menge nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlich in der leeren Menge enthalten.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Also besteht die Potenzmenge <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">{<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">}<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">der leeren Menge genau aus der Menge <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die ein Element enth<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Wir empfehlen Ihnen, analog zu Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-100003\">1.3.3<\/a> eine \u00dcbersicht aller Abk\u00fcrzungen in der Mengenlehre zusammenzustellen.                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">Der Grund, warum Obiges die naive Mengenlehre genannt wird, ist, dass sie Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts durch die <span class=\"ecbx-1095\">axiomatische Mengenlehre <\/span>(ZF- oder ZFC-Mengenlehre abh\u00e4ngig von einem weiteren Axiom &#8211; ZF steht f\u00fcr Zermelo-Fraenkel) ersetzt wurde. Denn die naive Mengenlehre kann sehr schnell zu Widerspr\u00fcchen gef\u00fchrt werden: <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3c35ead9a914\"> <a id=\"x1-12041r29\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.29 <\/span>(Russell 1903)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten, also<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>X<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;ist&nbsp;eine&nbsp;Menge&nbsp;und&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>X<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Stellt man nun die Frage, ob <\/span><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">selbst zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">geh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren<\/span> <span class=\"ecti-1095\">kann, so erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>R<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>R<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>R<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>R<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dies kann aber nicht gelten und ist also ein Widerspruch der naiven Mengenlehre (siehe<\/span> <span class=\"cite\"><span class=\"ecti-1095\">[<\/span><a href=\"#Xrussell\"><span class=\"ecti-1095\">Rus03<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">]<\/span><\/span><span class=\"ecti-1095\">).<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Dieses Beispiel wird <span class=\"ecbx-1095\">Russell-Paradox <\/span>genannt (siehe auch diesen <a href=\"http:\/\/plato.stanford.edu\/entries\/russell-paradox\/\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Link<\/a>) und ist eine Version des sogenannten L\u00fcgner-Paradoxons (\u201eDieser Satz ist falsch.\u201c oder \u201eIch l\u00fcge immer.\u201c). Es entstand, da wir ohne vern\u00fcnftige Einschr\u00e4nkungen das Bilden beliebiger neuer Mengen erlaubten. In der axiomatischen Mengenlehre werden nur gewisse Konstruktionen (wie zum Beispiel die Potenzmenge oder die Definition einer Teilmenge in (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-12009r8\">1.8<\/a>) anstelle der dritten Annahme der naiven Mengenlehre) erlaubt, was dazu f\u00fchrt, dass die Menge <math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> aus dem Russell-Paradox keine Menge mehr ist. Dies l\u00f6st den Widerspruch auf: <math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> kann sich somit nicht                                                                                                                                                                           selbst enthalten, da <math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> ja nur Mengen enth\u00e4lt. <math display=\"inline\"><mi>R<\/mi><\/math> wird in der axiomatischen Mengenlehre eine <span class=\"ecbx-1095\">Klasse <\/span>genannt. Weiters d\u00fcrfen Klassen nicht als Elemente von Mengen oder Klassen auftreten. <\/p><p class=\"indent\">Im folgenden bedienen wir uns der naiven Mengenlehre, da wir die Zeit nicht aufbringen k\u00f6nnen, die axiomatische Mengenlehre ausreichend zu besprechen und da wir auf jeden Fall nur \u201cvern\u00fcnftige\u201d Mengenkonstruktionen verwenden werden. (Dies macht vom streng logischen Standpunkt wenig Sinn, ist aber ein notwendiger Kompromiss.) <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zb06fcedb832b\"> <a id=\"x1-12042r30\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.30 <\/span>(Der Barber aus Sevilla)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Bart, der Barber in dem Dorf Sevilla, rasiert alle M<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nner von Sevilla, die sich nicht selbst<\/span> <span class=\"ecti-1095\">rasieren. Sonst rasiert Bart aber niemanden. Rasiert Bart sich selbst?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die Aussage ist nicht paradox und der zu findende Ausweg ist analog zur obigen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aufl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung des Russell-Paradoxes.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-12043r12\"><\/a> <h4 id=\"zff7dc8281e21\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.2 <\/span> <a id=\"x1-130002\"><\/a>Abbildungen<\/h4> <p class=\"noindent\">Der Begriff der Funktion ist f\u00fcr die Analysis, die Lineare Algebra, die Mathematik allgemein und ihre Anwendungen unentbehrlich. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zf0af4183f85b\"> <a id=\"x1-13001r31\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.31 <\/span>(Funktionen und erste dazugeh\u00f6rige Begriffe)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <a id=\"dx1-13002\"><\/a> <p class=\"indent\">In Worten ausgedr\u00fcckt ist eine <span class=\"ecbx-1095\">Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> von der Menge&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> nach der Menge <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> eine Zuordnung, die jedem <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein eindeutig bestimmtes <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zuweist. Wir schreiben <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> f\u00fcr eine Funktion von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> nach <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span>                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr die Zuordnung, und sprechen manchmal auch von einer <span class=\"ecbx-1095\">Abbildung <\/span>oder einer <span class=\"ecbx-1095\">Transformation<\/span>. Zu einer Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> wird <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> der <span class=\"ecbx-1095\">Definitionsbereich <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> der <span class=\"ecbx-1095\">Wertebereich <\/span>(oder <span class=\"ecbx-1095\">Zielbereich<\/span>) von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> genannt. Im Zusammenhang mit der Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> wird ein Element <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> des Definitionsbereichs auch <span class=\"ecbx-1095\">Argument <\/span>und ein von der Funktion angenommenes Element <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> f\u00fcr ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> auch <span class=\"ecbx-1095\">Wert <\/span>der Funktion genannt. <\/p><p class=\"indent\">Zwei                                                                                                 Funktionen <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <msub><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> und <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> gelten nur        dann        als        <span class=\"ecbx-1095\">gleich<\/span>,        falls        die        Definitionsbereiche <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> \u00fcbereinstimmen,                                      die                                      Wertebereiche <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> \u00fcbereinstimmen,                         und                         nat\u00fcrlich                         auch <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr                                                                                                                alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> gilt. <\/p><p class=\"indent\">Das <span class=\"ecbx-1095\">Bild einer Funktion<\/span><a id=\"dx1-13003\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> ist die Menge <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Falls <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion und <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> eine Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> ist, dann definieren wir die <span class=\"ecbx-1095\">Einschr<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbx-1095\">nkung<\/span><a id=\"dx1-13004\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> durch <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Umgekehrt wird die Abbildung <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> auch als eine <span class=\"ecbx-1095\">Fortsetzung <\/span>der Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> bezeichnet. Des Weiteren definieren wir das <span class=\"ecbx-1095\">Bild der Teilmenge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> unter <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> als <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Oft, aber bei weitem nicht immer, wird eine Funktion durch eine Formel wie zum Beispiel <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> definiert. Wir wollen aber betonen, dass ohne Angabe des Definitionsbereichs und des Wertebereichs die Definition der Funktion unvollst\u00e4ndig w\u00e4re (siehe auch Beispiel <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13014r35\">1.35<\/a>). Wir diskutieren hier kurz gel\u00e4ufige Art und Weisen, diesen Mangel zu beheben. Ist <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion, so schreibt man auch<a id=\"dx1-13005\"><\/a> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">oder <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">wobei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> eine konkrete Formel sein k\u00f6nnte. Beispielsweise w\u00e4re <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> eine vollst\u00e4ndig definierte Funktion in dieser Notation. Alternativ schreibt man auch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">also zum Beispiel <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und hat auch hier Definitions- und Wertebereich angegeben. Wir sprechen \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> unter anderem als \u201ewird abgebildet auf\u201c aus.                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">Wir wollen auch noch kurz den Begriff \u201ewohldefiniert\u201c erw\u00e4hnen. Angenommen wir wollen <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> als Definitionsbereich und <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> als Wertebereich verwenden und haben auch bereits ausgesprochen, wie wir jedem <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zuordnen wollen. Aber vielleicht wissen wir noch nicht genau, ob oder warum diese Zuordnung f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> auch wirklich ein zugeordnets <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> findet. Oder vielleicht wissen wir noch nicht, warum dieses <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> auch durch <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> eindeutig bestimmt wird. Beides sind aber fundamentale notwendige Forderung an einer Funktion <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also wird einer der n\u00e4chsten Schritte der Diskussion der Beweis dieser Forderungen sein. In diesem Zusammenhang sagen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">wohldefiniert <\/span>ist, wenn wir eben zeigen konnten, dass die gew\u00e4hlte Zuordnung tats\u00e4chlich jedem <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein eindeutig bestimmtes <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zuordnet. <\/p><p class=\"indent\">Also wenn wir von einer wohldefinierten Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> sprechen, dann wollen wir damit die notwendige Eigenschaft einer Funktion, dass diese jedem <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein eindeutig bestimmtes <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> zuordnet, betonen. Aber formal gesehen kann das Wort \u201ewohldefiniert\u201c in der Aussage \u201e<math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> ist eine wohldefinierte Funktion.\u201c ersatzlos gestrichen werden, ohne dass sich der logische Inhalt der Aussage \u00e4ndern w\u00fcrde. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6176fc8097f8\"> <a id=\"x1-13006r32\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.32 <\/span>(Erste Funktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Menge. Die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Identit<\/span><span class=\"ecbi-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbi-1095\">tsabbildung <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist die Funktion definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi class=\"qopname\">id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen und sei <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion. Solche Funktionen werden <\/span><span class=\"ecbi-1095\">konstante Funktionen <\/span><span class=\"ecti-1095\">genannt.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge. Die Funktion<\/span><a id=\"dx1-13010\"><\/a> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>0<\/mn><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"> <mstyle class=\"text\"><mtext>f\u00fcr&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>A<\/mi> <\/mtd> <\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mn>1<\/mn><\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"center\"><mstyle class=\"text\"><mtext>f\u00fcr&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/mtd><\/mtr><\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wird die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">charakteristische Funktion <\/span><span class=\"ecti-1095\">von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genannt. Das Bild<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist genau dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ganz <\/span><math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>1<\/mn> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><span class=\"ecti-1095\">, wenn die Menge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">weder leer noch ganz<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><button class=\"hover-trigger\"><span class=\"ecti-1095\">(Wieso?)<\/span><\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\"><span class=\"ecti-1095\">In der Tat<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann falls es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wie in der ersten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeile der Definition von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gibt, und <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann wenn es ein <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(wie in der zweiten Zeile) gibt.<\/span><\/span><\/span><span class=\"ecti-1095\">. Eine zweite ebenso <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bliche Notation f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine characteristische Funktion<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c7<\/mi><\/mrow><mrow><mi>A<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>\ud835\udfd9<\/mi><\/mrow> <mrow> <mi>A<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(d)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r zwei Mengen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definieren wir die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Projektionen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Das Bild von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><span class=\"ecti-1095\">, falls<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht leer ist, und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ebenso ist <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><span class=\"ecti-1095\">, falls<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir schreiben<\/span> <span class=\"ecti-1095\">manchmal auch <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">anstelle von <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">anstelle<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=474&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/projektionen.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"zb0edf2db3656\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/projektionen.svg\" width=\"474\" \/><\/div>  <\/div> <\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zf4b391abe791\"> <a id=\"x1-13012r33\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.33 <\/span>(Drei Eigenschaften von Funktionen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion. <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Die Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">injektiv <\/span>oder eine <span class=\"ecbx-1095\">Injektion <\/span>falls f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> gilt, dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Die Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> ist <span class=\"ecbx-1095\">surjektiv<\/span>, eine <span class=\"ecbx-1095\">Surjektion <\/span>oder eine Funktion von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">auf <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> falls es zu jedem <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> gibt. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Die Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> heisst <span class=\"ecbx-1095\">bijektiv<\/span>, eine <span class=\"ecbx-1095\">Bijektion <\/span>oder eine <span class=\"ecbx-1095\">eineindeutige Abbildung<\/span>, falls <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> surjektiv und injektiv ist.<\/div><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Eine Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> ist also nicht injektiv, falls zwei verschiedene Elemente <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> existieren mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Des Weiteren ist <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> surjektiv genau dann wenn das Bild <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> der Funktion (siehe Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13001r31\">1.31<\/a>) gleich <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> ist. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z00058c38e5ec\"> <a id=\"x1-13013r34\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 1.34 <\/span>(Funktionen auf Mengen mit h\u00f6chstens drei Elementen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"658px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/zb82nnw3\/width\/688\/height\/658\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In diesem         Applet         kann         man         verschiedene         Funktionen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">von                                                einer                                                Menge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chstens          drei          Elementen          nach          einer          Menge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chstens drei Elementen definieren. Hierbei kommt es zu verschiedenen Eigenschaften<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der Funktion.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">(*)<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die vielleicht eigenartigste Frage ist, welche Eigenschaften die Funktion von der leeren Menge<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zur leeren Menge besitzt. Folgt man stur der Definition der Begriffe (was sonst sollte man machen)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so erkennt man, dass diese Funktion injektiv, surjektiv, und daher auch bijektiv ist. Doch ist diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Funktion auch konstant? Dies h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngt davon ab, welche der beiden Aussagen man als die Definition<\/span> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine konstante Funktion ansieht:<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Diese beiden Aussagen <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber eine Funktion<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent, sobald<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht die leere Menge ist, und k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnten beide als Definition des Begriffs<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">konstant<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">angesehen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">werden. Doch f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r den eigenartigen Spezialfall der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">leeren Funktion<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">, welche auf der leeren Menge<\/span> <span class=\"ecti-1095\">definiert ist und Werte in der leeren Menge annimmt, sind diese beiden Aussagen unterschiedlich.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Da wir ab nun diesen h<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">chst eigenartigen Spezialfall einfach ignorieren und nur Funktionen auf<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nicht-leeren Mengen betrachten wollen, m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen wir uns nicht f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r eine der beiden Definitionen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">entscheiden.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Im folgenden Beispiel schreiben wir <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> f\u00fcr die Menge der nicht-negativen reellen Zahlen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zb7df8b2367b8\"> <a id=\"x1-13014r35\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.35 <\/span>(Ist Quadrieren bijektiv?)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv, surjektiv oder bijektiv? Diese Frage macht wie oben erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rt (noch) keinen Sinn, da weder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Definitionsbereich noch Wertebereich festgelegt wurden und wir diese zur Beantwortung der Frage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">kennen m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen. Folgende Beobachtungen best<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tigen, dass die Antwort zur Frage in der Tat von der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wahl des Definitionsbereichs und des Wertebereichs abh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ngt:<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(a)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist injektiv, denn falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei nicht-negative Zahlen mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sind, so gilt auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Genauso folgt aus <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <msup><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist. Sie ist jedoch nicht surjektiv: <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist nicht Element des Bildes von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">da Quadrate von reellen Zahlen niemals negativ sind.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(b)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist surjektiv (es existiert eine Wurzel), sie ist aber nicht injektiv, denn <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(c)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist weder injektiv noch surjektiv.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(d)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist bijektiv.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir werden diese Aussagen sp<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ter noch ausf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrlicher beweisen (d.h.<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;auf die noch einzuf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrenden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Axiome der reellen Zahlen zur<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ckf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">hren).<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine bijektive Funktion. Dann existiert zu jedem <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math>                                                                                                                                                                           ein eindeutig bestimmtes <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">:<\/span> Da <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> surjektiv ist, existiert ein solches <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> und da <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> injektiv ist, kann es h\u00f6chstens ein solches <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> geben. Daher r\u00fchrt auch die Bezeichnung \u201eeineindeutige Abbildung\u201c f\u00fcr eine Bijektion. Insbesondere kann man wie folgt eine Abbildung definieren. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zd1a2b36b8da7\"> <a id=\"x1-13019r36\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.36 <\/span>(Umkehrabbildung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Bijektion.   Die   <span class=\"ecbx-1095\">Umkehrabbildung<\/span><a id=\"dx1-13020\"><\/a>   (<span class=\"ecbx-1095\">Inverse   Abbildung   <\/span>oder   auch   kurz <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecbx-1095\">invers<\/span>) <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> ist                     die                     Abbildung,                     welche                     jedem <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> das                           eindeutig                           bestimmte                           Element <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zuweist. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">An dieser Stelle sollte man noch erw\u00e4hnen, dass <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> nicht durch eine Formel gegeben sein muss, selbst wenn <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> durch eine Formel definiert war. Des Weiteren wollen wir anmerken, dass sich allgemeiner f\u00fcr eine injektive Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Umkehrabbildung mit eingeschr\u00e4nktem Definitionsbereich <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> definieren l\u00e4sst. In der Tat ist die Funktion <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> (also \u201e <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> mit eingeschr\u00e4nktem Wertebereich\u201c) bijektiv.                                                                                                                                                                           <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z7f94dca6911a\"> <a id=\"x1-13021r37\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.37 <\/span>(Verkn\u00fcpfung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Angenommen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> sind Funktionen. Dann ist die <span class=\"ecbx-1095\">Verkn<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">pfung<\/span><a id=\"dx1-13022\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> (gesprochen <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> nach <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> Ring <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math>) f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> durch <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> definiert. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass f\u00fcr eine bijektive Abbildung <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> und ihre Umkehrabbildung <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> die Identit\u00e4ten <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow> <mi>Y<\/mi> <\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow> <mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">erf\u00fcllt sind \u2013 eben per Konstruktion von <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> (siehe auch \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13034r42\">1.42<\/a>). <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z65da7e195b65\"> <a id=\"x1-13023r38\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.38 <\/span>(Assoziativgesetz f\u00fcr Verkn\u00fcpfungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Funktionen. Dann k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wir sowohl die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als auch die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">betrachten. Gl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">cklicherweise sind die Klammern irrelevant, denn es gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>h<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Deswegen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">schreiben wir einfach <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z567e41ffaddf\"> <a id=\"x1-13024r39\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.39 <\/span>(Verkn\u00fcpfung ist nicht kommutativ)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r zwei Funktionen <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">macht zwischen <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">im Allgemeinen nur <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Sinn, da <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert sein muss. Dies kann man sich mit einer Analogie aus der Informatik illustrieren.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Seien zwei Programme <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben, so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Zahl als Input und einen Zeichenkette als Output hat und <\/span><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Zeichenkette als Input und eine Zeichenkette als Output hat. In diesem Fall kann man<\/span> <math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">den Output von <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als Input <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bergeben; umgekehrt jedoch kann man <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">den Output von <\/span><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bergeben, da <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nur mit einer Zahl etwas anzufangen weiss.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Nimmt man nun an, dass <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass sowohl <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Sinn machen und beide Abbildungen auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert sind, dann gilt die Gleichheit <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">im Allgemeinen trotzdem nicht. Wir nennen ein geometrisches Beispiel. Seien <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Spiegelung um die <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-Achse<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Verschiebung (Translation) um <\/span><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in positiver Richtung entlang der <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">-Achse.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Der Ursprung <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wird unter <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abgebildet und unter <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abgebildet, also gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Sowohl die Eigenschaften in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13012r33\">1.33<\/a> als auch die Verkn\u00fcpfung in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13021r37\">1.37<\/a> sind so grundlegend, dass wir nicht umhin kommen, einige fundamentale Tatsachen zu beweisen: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zad7301901f26\"> <a id=\"x1-13025r40\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 1.40 <\/span>(Eigenschaften von Verkn\u00fcpfungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Funktionen.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv sind, dann ist auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv sind, dann ist auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv sind, dann ist auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv und es gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">(i): Angenommen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> sind injektiv und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr Elemente <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wegen <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> muss <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gelten, da <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> injektiv ist. Da <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> injektiv ist, folgt <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> (aus <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math>). Wir haben also gesehen, dass <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> impliziert, dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies bedeutet aber genau, dass <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> injektiv ist. <\/p><p class=\"indent\">(ii): Angenommen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> sind surjektiv und <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> ist ein beliebiges Element. Da <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> surjektiv ist, k\u00f6nnen wir ein <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> w\u00e4hlen. Da auch <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> surjektiv                                                                                                                                                                           ist, gibt es ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> und damit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also existiert f\u00fcr jedes Element <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> ein Element <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> und daher ist <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> surjektiv. <\/p><p class=\"indent\">(iii): Angenommen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> sind bijektiv. Der erste Teil von (iii) folgt direkt, denn nach (i) ist <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> injektiv und nach (ii) surjektiv. Wir verifizieren nun die behauptete Formel. Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir m\u00fcssen zeigen, dass <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein Punkt (und damit der Punkt) ist, der unter <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> auf <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi><\/math> abgebildet wird. Tats\u00e4chlich erf\u00fcllen die Inversen <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> and <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> die Aussagen <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> und <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Weswegen <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>z<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> gilt. Damit ist nun auch (iii) bewiesen. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Mit ein wenig \u00dcbung und dem aktiven Wissen, wie denn eigentlich Injektivit\u00e4t, Surjektivit\u00e4t, und Bijektivit\u00e4t (in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13012r33\">1.33<\/a>) definiert sind, schreibt sich obiger                                                                                                                                                                           Beweis fast von selbst: Wenn wir zum Beispiel im Beweis von (i) zeigen wollen, dass <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> injektiv ist, dann beginnen wir automatisch auf Grund der Definition (der zu zeigenden Aussage) mit der Annahme <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Zu diesem Zeitpunkt k\u00f6nnen wir aber nur eine einzige Annahme, n\u00e4mlich die Injektivit\u00e4t von <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> verwenden, um <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> zu erhalten. Danach haben wir eine einzige Annahme noch nicht verwendet, n\u00e4mlich die Injektivit\u00e4t von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> und dies ist auch genau die Annahme aus der wir die gew\u00fcnschte Aussage <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> schliessen k\u00f6nnen. Der Beweis von (ii) ergibt sich auf \u00e4hnliche Weise. Gewissermassen sind die Definitionen f\u00fcr die Begriffe in derartigen Beweise einfach gebaute Bauteile oder Schichten, die eigentlich nur auf eine Art und Weise zu einem Ganzem \u2013 dem Beweis \u2013 zusammgengebaut werden k\u00f6nnen. <\/p><p class=\"indent\">Wir werden klare F\u00e4lle (und nur ganz klare F\u00e4lle) von solchen Beweisen hier im eSkript mittels dem Emoji matrbeweis als \u201eMatrjoschkabeweise\u201c kennzeichnen, sie sollten dies als Einladung sehen diese Beweise nach Wiederholung der Definitionen selbst zu schreiben. <\/p><p class=\"indent\">In der folgenden \u00dcbung kombinieren wir die Begriffe aus den Definitionen <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13012r33\">1.33<\/a> und <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13021r37\">1.37<\/a> ein weiteres Mal: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zeaf6a40e44c3\"> <a id=\"x1-13029r41\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.41 <\/span>(Weitere Eigenschaften von Verkn\u00fcpfungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Funktionen.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist. <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berzeugen Sie sich davon, dass in diesem Fall <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht unbedingt surjektiv sein muss.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berzeugen Sie sich davon, dass in diesem Fall <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht unbedingt injektiv sein muss.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist.<\/span><\/dd><\/dl> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist surjektiv wie in (i). Dann existiert f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes<\/span> <math display=\"inline\"><mi>z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, womit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>z<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Dies beweist die allgemeine Behauptung in (i). Falls nun zus<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzlich<\/span> <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist wie in (ii),<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so ist <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Lemma<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13025r40\"><span class=\"ecti-1095\">1.40<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">(ii) zeigt, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist. Bei genauer Untersuchung von diesem Argument l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich auch ein einfaches Beispiel wie in (i) finden,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wobei man sogar <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Z<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>2<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">setzen kann. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zdb6d0efde461\"> <a id=\"x1-13034r42\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.42 <\/span>(Bijektivit\u00e4t und Existenz einer Umkehrabbildung)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion. Wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist, dann gelten <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wie schon bemerkt wurde. Wir zeigen hier die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Umkehrung<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">: Angenommen es existiert eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie unter Verwendung der letzten <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist und dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Des Weiteren, <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berpr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">fen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ebenfalls bijektiv ist. Was ist die Umkehrabbildung von <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"endquote\">?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Wir nehmen an, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sowohl <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">als auch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen. Nach <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13029r41\"><span class=\"ecti-1095\">1.41<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">folgt, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">daher bijektiv ist. Des Weiteren gilt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und daher auch <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Da dies f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt, erhalten wir <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Vertauschen wir die Rollen von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so erhalten wir, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>g<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msup><mrow><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Gewisse Objekte bezeichnet man als <span class=\"ecbx-1095\">kanonisch <\/span>oder <span class=\"ecbx-1095\">nat<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">rlich<\/span>, wenn sie unabh\u00e4ngig von jeglicher Wahl sind. Dieser Begriff dr\u00e4ngt sich insbesondere in der Linearen Algebra auf. Wir m\u00f6chten dies an einem Beispiel erl\u00e4utern. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z94aed5138b8e\"> <a id=\"x1-13035r43\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.43 <\/span>(Kanonische Abbildungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Menge und<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge. Wir betrachten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">injektive Abbildungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und versuchen darunter eine kanonische auszumachen. Da<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge ist, ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die injektive Abbildung <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die man am schnellsten hinschreiben kann, die <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Inklusionsabbildung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>\u03b9<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>x<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">am nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichsten. Denn wir mussten dazu weder spezifische Elemente von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">noch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen. Es gibt nun aber ganz viele andere injektive Abbildungen von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nach<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">involvieren jedoch alle eine (recht zuf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">llige) Regel.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir untersuchen das konkrete Beispiel <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>c<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dann gibt es<\/span> <math display=\"inline\"><mn>3<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verschiedene injektive<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Abbildungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Nebst der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Inklusionsabbildung (die <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abbildet) sind dies<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>b<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>c<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r diese beiden Abbildungen mussten wir jedoch die Menge<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">kennen und spezifische<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Elemente von <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(das<\/span> <span class=\"ecti-1095\">w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren <\/span><math display=\"inline\"><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>c<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">) ausw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">was bei der Inklusionsabbildung nicht der Fall war. In diesem Sinne ist die Inklusionsabbildung unter den injektiven<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Abbildungen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche, die kanonische.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Ein weiteres interessanteres Beispiel bilden die in Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13006r32\"><span class=\"ecti-1095\">1.32<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">definierten <\/span><span class=\"ecbi-1095\">kanonischen Projektionen<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r zwei<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Mengen<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr zwei Mengen <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Y<\/mi> <\/math> wird die <span class=\"ecbx-1095\">Menge aller Abbildungen <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> nach <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> als <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mi>X<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> geschrieben, formaler <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mstyle class=\"text\"><mtext>&nbsp;ist&nbsp;eine&nbsp;Funktion<\/mtext><\/mstyle><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Grund f\u00fcr die Notation ist unter anderem die folgende Behauptung: Falls <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> endliche Mengen sind mit <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><\/math> resp.&nbsp;<math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> Elementen f\u00fcr zwei nat\u00fcrliche Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so hat <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>Y<\/mi> <\/mrow><mrow><mi>X<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> genau <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mi>m<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> Elemente (siehe auch Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/endliche-und-abzaehlbare-mengen#x1-210007\">1.7<\/a>). <a id=\"x1-13036r13\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"zea57c6a8b239\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.3 <\/span> <a id=\"x1-140003\"><\/a>Graph einer Abbildung<\/h4> <p class=\"noindent\">Mit Hilfe des folgenden Begriffs l\u00e4sst sich der Funktionsbegriff, der in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13001r31\">1.31<\/a> in Worten eingef\u00fchrt wurde, formalisieren und auch besser visualisieren: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z2954c10efe4a\"> <a id=\"x1-14001r44\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.44 <\/span>(Graph einer Funktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion. Der <span class=\"ecbx-1095\">Graph <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> ist                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi class=\"qopname\"> graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Der Graph einer Funktion enth\u00e4lt viel Information \u00fcber die Funktion selbst. Unter anderem l\u00e4sst sich aus dem Graphen bereits erkennen, ob die Funktion wohldefiniert ist (das heisst in der Tat eine Funktion ist) oder nicht. Beispielsweise kann folgende Teilmenge von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> nicht der Graph einer Funktion von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> nach <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> sein: <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=417&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/not-fct3.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z8ede9dea459e\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/not-fct3.svg\" width=\"417\" \/><\/div> <a id=\"x1-14002r7\"><\/a> <a id=\"x1-14003\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.7:        <\/span><span class=\"content\">Die        hier        dargestellte        Teilmenge        von               <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math>             ist        nicht        der        Graph        einer        Funktion        von               <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>             nach <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>               Denn      man      m\u00fcsste      dem      gr\u00fcn      markierten      Punkt               <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math>                   in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>             vier verschiedene Punkte in <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math>             zuweisen,        was        der        Definition        einer        Funktion               widerspricht.      Genauso      problematisch      ist      der      Punkt               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span>               dem gar kein Punkt zugewiesen wird. Standardm\u00e4ssig nimmt man bei               der Darstellung des Graphen einer Funktion den Definitionbereich als               die Horizontale und den Wertebereich als die Vertikale.                     &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Welche Teilmengen von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> Graphen einer Funktion sein k\u00f6nnen und welche nicht, wollen wir im Folgenden erkl\u00e4ren. Wir beginnen damit, das in Figur <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14002r7\">1.7<\/a> aufgetauchte Problem formal zu interpretieren: <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6d252e31c92f\"> <a id=\"x1-14004r45\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.45 <\/span>(Graphen und Projektion auf den Definitionsbereich)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion. Wie in Beispiel <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13006r32\"><span class=\"ecti-1095\">1.32<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">bezeichnen wir mit<\/span> <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Projektion<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, die durch<\/span> <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und mit <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Projektion auf <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo><mi class=\"qopname\"> graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist und finden Sie die Umkehrabbildung. Beweisen Sie des Weiteren die Identit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">welche erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rt, wie man aus dem Graphen einer Funktion, die Funktion zur<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ckerhalten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">kann.<\/span> <\/p><\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass eine Teilmenge <\/span><math display=\"inline\"><mi>\u0393<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau dann ein Graph einer Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist, wenn <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>\u0393<\/mi><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u0393<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist. Verifizieren Sie auch, dass in diesem Fall<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eindeutig bestimmt ist.<\/span><\/dd><\/dl> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die Aussagen sind im Wesentlichen eine Umformulierung der Definition einer<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Funktion.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Auch die Eigenschaften aus Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13012r33\">1.33<\/a> lassen sich im Graphen erkennen. Unter anderem ist ersichtlich, ob eine Funktion injektiv ist oder nicht: <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=381&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-not-inj.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"zff06f6876498\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-not-inj.svg\" width=\"381\" \/><\/div> <a id=\"x1-14007r8\"><\/a> <a id=\"x1-14008\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.8:                                    <\/span><span class=\"content\">Dies                                    ist               der Graph einer nicht injektiven Funktion. Der gr\u00fcn markierte Punkt               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             in               <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math>             wird   unter   der   Funktion   von   vier   verschiedenen   Elementen   in               <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>             angenommen.                                                                            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=425&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-inj1.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z8122704b66d0\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-inj1.svg\" width=\"425\" \/><\/div> <a id=\"x1-14009r9\"><\/a> <a id=\"x1-14010\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.9:       <\/span><span class=\"content\">Dies       ist       der       Graph       einer       injektiven               Funktion.            Der            gr\u00fcn            markierte            Punkt               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math>             ist        das        Bild        von        nur        einem        Punkt        in               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>               Dies         ist         immer         noch         der         Fall,         wenn               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             verschoben       wird       (bis       auf       die       Tatsache,       dass               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             dann vielleicht gar nicht mehr im Bild liegt). In anderen Worten: jede               horizontale Linie schneidet den Graphen in h\u00f6chstens einem Punkt.   &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Genauso l\u00e4sst sich beurteilen, ob eine Funktion surjektiv ist oder nicht &#8211; siehe Figuren <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14011r10\">1.10<\/a> und <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14013r11\">1.11<\/a>. Wir formalisieren dies in \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14016r47\">1.47<\/a>. <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=404&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-not-surj.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z95fccfa66229\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-not-surj.svg\" width=\"404\" \/><\/div> <a id=\"x1-14011r10\"><\/a> <a id=\"x1-14012\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.10:                                   <\/span><span class=\"content\">Dies                                   ist               der Graph einer nicht-surjektiven Funktion. Der gr\u00fcn markierte Punkt               <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math>             in               <math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math>             wird     unter     der     Funktion     von     keinem     Element     in               <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math>             angenommen.                                                                            &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=404&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-surj.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"zbe9ca9ac1840\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Graphen\/graph-surj.svg\" width=\"404\" \/><\/div> <a id=\"x1-14013r11\"><\/a> <a id=\"x1-14014\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.11:   <\/span><span class=\"content\">Dies   ist   der   Graph   einer   surjektiven   Funktion.               Jede     horizontale     Linie     (wie     zum     Beispiel     jene     durch               <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math>                   oder <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math>)               schneidet den Graphen in mindestens einem Punkt.                          &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z4fc9aed34f3d\"> <a id=\"x1-14015r46\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 1.46 <\/span>(Einschr\u00e4nkungen einer Funktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 688px\"><iframe height=\"594px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/jnbdsnxv\/width\/688\/height\/594\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten eine Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die auf einem Intervall <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert ist. Durch Einschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nken der Funktion auf Teilintervalle <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">des Definitionsbereichs oder durch Einschr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nken des Wertebereichs auf ein Intervall <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen wir mitunter Injektivit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t, Surjektivit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t, oder auch Bijektivit<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">t der neuen Funktion<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erreichen.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z6fd3c8b9133d\"> <a id=\"x1-14016r47\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.47 <\/span>(Eigenschaften des Graphen unter Projektion auf den Wertebereich)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion.<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist genau dann, wenn <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist genau dann, wenn <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>\u03c0<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">surjektiv ist. Intuitiv bedeutet letzteres, dass die Projektion des Graphen <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"qopname\">graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">auf <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">jedes Element erreicht.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist bijektiv. Wie findet man den Graphen von <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"endquote\">?<\/span><\/div><\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Hinweis.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die Aufgabe l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich entweder direkt oder unter Verwendung von <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-14004r45\"><span class=\"ecti-1095\">1.45<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">(i) l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen. Den Graph von<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">erh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt man, indem man die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Koordinaten jedes Punktes <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi class=\"qopname\"> graph<\/mi><mo>  <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">vertauscht.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-14017r14\"><\/a> <h4 id=\"zb8ad9c84693b\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.4 <\/span> <a id=\"x1-150004\"><\/a>Bild- und Urbildmengen<\/h4> <p class=\"noindent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine Funktion und <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> eine Teilmenge. Wir verwenden manchmal auch die Notation <math display=\"inline\"><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> f\u00fcr das Bild <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> der Teilmenge <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> wie in Definition <a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13001r31\">1.31<\/a>. Ebenso schreiben wir auch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">wobei <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> irgend eine Aussage \u00fcber Elemente <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> sein kann. In dieser Gleichung haben wir rechts genau nach dem Schema in der dritten Annahme an die Mengenlehre (siehe Abschnitt&nbsp;<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-120001\">1.4.1<\/a>) eine Menge definiert und verwenden dies, um den k\u00fcrzeren (und \u00fcbersichtlicheren) Ausdruck links zu definieren. <\/p><p class=\"indent\">Folgende Definition der Urbildmengen ist auch f\u00fcr nicht bijektive Funktionen n\u00fctzlich: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zd6d790cfbb03\"> <a id=\"x1-15001r48\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.48 <\/span>(Urbilder bez\u00fcglich einer Funktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">F\u00fcr eine Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> und eine Teilmenge <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> definieren wir das <span class=\"ecbx-1095\">Urbild<\/span><a id=\"dx1-15002\"><\/a> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> von <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> unter <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> als <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>B<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\">Beispielsweise gilt f\u00fcr eine Funktion <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dass <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> und <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> In der n\u00e4chsten \u00dcbung pr\u00fcfen wir einige Eigenschaften von Bildmengen und Urbildmengen. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z04b5538e965c\"> <a id=\"x1-15003r49\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.49 <\/span>(Verhalten von Bildern und Urbildern unter Mengenoperationen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Gegeben sei eine Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">und Teilmengen <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Unter welcher Bedingung an <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt auf jeden Fall Gleichheit?<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2287<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. Unter welcher Bedingung an <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt auf jeden Fall Gleichheit?<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie die Gleichungen<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und dass<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Gleichheit gilt, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. Verifzieren Sie, dass in diesem Fall auch<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(v)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gelten.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(vi)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Verallgemeinern Sie die Regeln <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>B<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r beliebige Vereinigungen resp. Schnitte.<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Zusammenfassend sollten Sie sich merken, dass die Urbildoperation mit allen von uns besprochenen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mengentheoretischen Operationen (unter anderem Vereinigung, Durchschnitt und Komplement)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">vertr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">glich ist, w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrend dies die Bildoperation nur f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Vereinigung oder unter gewissen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Bedingungen erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Wir beweisen Teil (iv). Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion, <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">Teilmengen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">des Definitionsbereichs und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dann gilt <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Dies beweist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bereits <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir nehmen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nun zus<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzlich an, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <\/math><span class=\"ecti-1095\">. Da<\/span> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">impliziert dies <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und damit <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten daher <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir nehmen weiterhin an, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv ist. F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt dann <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. In der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Tat, da <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">injektiv<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist, folgt aus <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Gleichheit <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Da<\/span> <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">erhalten wir<\/span> <span class=\"ecti-1095\">daraus <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">. Falls<\/span> <span class=\"ecti-1095\">umgekehrt <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">, dann<\/span> <span class=\"ecti-1095\">existiert ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>A<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und es muss<\/span> <span class=\"ecti-1095\">des Weiteren <\/span><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gelten, was <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2216<\/mo> <msup><mrow><mi>A<\/mi><\/mrow><mrow><mo>\u2032<\/mo><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">impliziert. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zef3b65efdb7f\"> <a id=\"x1-15010r50\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 1.50 <\/span>(Bilder und Urbilder)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 674px\"><iframe height=\"547px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/c8emqvtm\/width\/674\/height\/547\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir betrachten eine Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die auf einem Intervall <\/span><math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert ist. Je nach Einstellung des Applets wird entweder das Bild <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eines Teilintervalls <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>I<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder das Urbild <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eines Intervalls <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>y<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2286<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">dargestellt.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-15011r15\"><\/a> <h4 id=\"ze86f55e20d5b\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.5 <\/span> <a id=\"x1-160005\"><\/a>Partitionen<\/h4> <p class=\"noindent\">Der folgende Begriff kann f\u00fcr die Definition von Funktionen durch \u201eFallunterscheidung\u201c n\u00fctzlich sein. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zc62e11658a0c\"> <a id=\"x1-16001r51\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.51 <\/span>(Partition)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> eine Menge und <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> eine Familie von nicht-leeren, paarweise disjunkten Teilmengen von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so dass <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow> <mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u2a06<\/mtext><\/mstyle><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann wird <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> eine <span class=\"ecbx-1095\">Partition <\/span>von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> genannt.                                                                                                                                                                           <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Folgendes Lemma beschreibt, unter welchen Bedingungen man eine Funktion aus Funktionen auf Teilmengen \u201e zusammensetzen\u201c kann: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zdbec942a7b81\"> <a id=\"x1-16002r52\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 1.52 <\/span>(Funktionen durch Fallunterscheidungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen und sei <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Partition von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Angenommen es ist f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Funktion <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben. Dann existiert eine eindeutige Funktion <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\">Wir definieren die gew\u00fcnschte Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> wie folgt: Sei <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann existiert genau ein <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> da <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> eine Partition ist. Wir setzen nun <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> und haben also eine Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> definiert. Diese erf\u00fcllt <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> nach Konstruktion. <\/p><p class=\"indent\">Wir zeigen noch die Eindeutigkeit von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Sei also <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> eine weitere Funktion mit <math display=\"inline\"><mi>g<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> f\u00fcr alle <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Sei <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> ein beliebiges Element und <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> das                                                                                                                                                                           Partitionselement mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dann gilt <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>g<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>g<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Da dies f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> gilt, erhalten wir <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z0bb43be205d1\"> <a id=\"x1-16003r53\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.53 <\/span>(Funktionen durch Fallunterscheidungen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass die Bedingung in Lemma <\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-16002r52\"><span class=\"ecti-1095\">1.52<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, dass<\/span> <math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Partition ist, notwendig ist, durch Auffinden geeigneter Beispiele:<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Finden Sie Mengen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Y<\/mi> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine Kollektion <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">nicht paarweise disjunkter Teilmengen mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c3<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und Funktionen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">so dass keine Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existiert.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">Mengen, <\/span><math display=\"inline\"><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Kollektion paarweise disjunkter Teilmengen mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><msub><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u22c3<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mrow><mi>P<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/mrow><\/msub><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und Funktionen <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gegeben. Zeigen Sie, dass mehrere Funktionen <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><msub><mrow><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>P<\/mi> <\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi mathvariant=\"bold-script\">\ud835\udcab<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">existieren, falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">mehr als ein Element enth<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span><\/div><\/div> <\/div> <a id=\"x1-16004r16\"><\/a> <h4 id=\"z7a66a360fca7\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.6 <\/span> <a id=\"x1-170006\"><\/a>Iterationen<\/h4> <p class=\"noindent\">Eine Funktion, f\u00fcr die Wertebereich gleich dem Definitionsbereich ist, l\u00e4sst sich auch mit sich selbst verkn\u00fcpfen. <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z3b49ec9adc47\"> <a id=\"x1-17001r54\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Definition 1.54 <\/span>(Iterationen einer Funktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Sei <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> eine Funktion von einer Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> auf sich selbst. Wir definieren die <span class=\"ecbx-1095\">Iterationen der Funktion<\/span><a id=\"dx1-17002\"><\/a> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"quad\" width=\"1em\" \/><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und rekursiv auch                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir sprechen <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> auch als \u201e <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> hoch <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> aus und setzen des Weiteren <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Wir bemerken, dass man die Iteration einer Funktion <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> oft einfach auch durch <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><\/math> bezeichnet.<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Wir wollen zumindest anfangs die Notation <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <\/math> verwenden, um Verwirrungen mit der <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math>-ten Potenz einer reellwertigen Funktion zu vermeiden.<\/span><\/span> <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zb9caebe4e412\"> <a id=\"x1-17003r55\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.55 <\/span>(Beispiele und eine Eigenschaft von Iterationen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>c<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Menge mit <\/span><math display=\"inline\"><mn>3<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verschiedenen Elementen und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Funktion definiert durch <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>c<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>a<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bijektiv ist. Beschreiben Sie die Umkehrabbildung und alle Iterationen von <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">explizit.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Iterieren Sie die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mn>3<\/mn><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und beschreiben Sie intuitiv, wie sich <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und verschiedene <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Iterieren Sie die Funktion <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und beschreiben Sie intuitiv, wie sich <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und verschiedene <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">verh<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iv)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Menge und <\/span><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Transformation auf<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Zeigen Sie, dass f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msub><mrow><mi>\u2115<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi> <\/mrow> <\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/dd><\/dl> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Eine Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Wir erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren hier die L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung zum letzten Teil. Falls<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt, gibt es nichts<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu zeigen, da <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><msub><mrow><mi class=\"qopname\"> id<\/mi><mo>  <\/mo><\/mrow><mrow><mi>X<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">definiert wurde. Wir verwenden zuerst das Assoziativgesetz in Beispiel<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-13023r38\"><span class=\"ecti-1095\">1.38<\/span><\/a> <span class=\"ecti-1095\">und die Definition der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Iteration um<\/span> <\/p> <table id=\"zcc5be824396e\" class=\"equation\"><tr><td> <a id=\"x1-17008r9\"><\/a> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <\/math><\/td><td class=\"eq-no\">(1.9)<\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">zu zeigen. Die erste Gleichung ist bloss unsere Definition der Iteration. Die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zweite Gleichung wollen wir mittels vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndiger Induktion beweisen und gilt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">was den Induktionsanfang darstellt. Falls nun<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17008r9\">1.9<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">bereits f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt, so<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten wir gemeinsam mit der Definition<\/span> <\/p><table id=\"z9cede7b27221\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Dies beweist<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17008r9\">1.9<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mittels vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndiger Induktion.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir behaupten nun<\/span> <\/p><table id=\"z024a2dd46502\" class=\"equation\"><tr><td> <a id=\"x1-17009r10\"><\/a> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <\/math><\/td><td class=\"eq-no\">(1.10)<\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und wollen wiederum vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndige Induktion verwenden. Genauer formuliert, wollen wir vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndige<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Induktion nach<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Aussage<\/span> <\/p><table id=\"z8fa11d8105a2\" class=\"equation-star\"><tr><td> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo> <\/math><\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">verwenden.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Nach<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17008r9\">1.9<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">gilt<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17009r10\">1.10<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">was den Induktionsanfang darstellt. Angenommen<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17009r10\">1.10<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">gilt bereits f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann erhalten wir<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mi>m<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo> <msup><mrow><mi>f<\/mi><\/mrow><mrow><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-bin\">\u2218<\/mo><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span><span class=\"ecti-1095\">&nbsp;<\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>m<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">womit der Induktionsschritt und damit auch<\/span>  (<a href=\"..\/..\/chapter\/mengenlehre-und-abbildungen#x1-17009r10\">1.10<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle<\/span> <math display=\"inline\"><mi>m<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">bewiesen ist. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <a id=\"x1-17010r17\"><\/a> <h4 id=\"z1e896ec4d83c\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.4.7 <\/span> <a id=\"x1-180007\"><\/a>Das Hilbert Hotel<\/h4> <p class=\"noindent\">F\u00fcr eine Abbildung <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> auf einer endlichen Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> sind Injektivit\u00e4t und Surjektivit\u00e4t \u00e4quivalent (siehe Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/endliche-und-abzaehlbare-mengen#x1-210007\">1.7<\/a>). F\u00fcr unendliche Mengen ergeben sich jedoch weitere M\u00f6glichkeiten, die auf den ersten Blick ungew\u00f6hnlich erscheinen k\u00f6nnten. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zadf8d439e7ab\"> <a id=\"x1-18001r56\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.56 <\/span>(Hilbert Hotel)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Die Abbildung<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>f<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">ist zwar injektiv aber nicht surjektiv, denn <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">\u2209<\/mo><mi>f<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dies kann man sich zur Veranschaulichung wie folgt vorstellen: Angenommen ein Hotel<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(das sogenannte <\/span><span class=\"ecbi-1095\">Hilbert Hotel<\/span><span class=\"ecti-1095\">) ist voll belegt und hat f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jede nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahl<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein Hotelzimmer mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der T<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rnummer <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">(entlang eines wirklich sehr langen Ganges der Reihe nach nummeriert). Dann kann man trotzdem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">noch einen Gast unterbringen. Dazu muss die Rezeption bloss dem Gast im ersten Zimmer einen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Brief mit folgender Botschaft aush<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndigen:<\/span> <\/p><blockquote class=\"quote\"> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Wir bedauern, Ihnen mitzuteilen, dass wir Ihnen ein neues Zimmer zuweisen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssen. Bitte packen Sie ihre Sachen, <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bergeben Sie diesen Brief dem Gast im<\/span> <span class=\"ecti-1095\">n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chsten Zimmer und <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bernehmen Sie dieses Zimmer, sobald es frei ist.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span><\/p><\/blockquote> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Daraufhin wird das erste Zimmer frei sein, wo dann der neue Gast untergebracht werden kann. Ebenso<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bekommen alle alten G<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ste jeweils ein neues Zimmer.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Genauso gibt es auch surjektive Abbildungen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math><span class=\"ecti-1095\">, die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nicht injektiv sind, zum Beispiel<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>g<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u21a6<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow> <mtable align=\"axis\" class=\"array\" columnlines=\"none\" equalcolumns=\"false\" equalrows=\"false\"> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mn>1<\/mn> <\/mtd><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr> <mtr><mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd> <mtd class=\"array\" columnalign=\"left\"><mstyle class=\"text\"><mtext>falls&nbsp;<\/mtext><\/mstyle> <mi>n<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mtd><\/mtr> <\/mtable> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Das Gedankenspiel von Hilberts Hotel l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sst sich durchaus erweiteren. Wir verweisen dazu auf die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">n<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chste <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung und diesen <\/span><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=OxGsU8oIWjY\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\"><span class=\"ecti-1095\">Kurzfilm<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">, der folgende <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung aufl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">st und erweitert.<\/span> <\/p> <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z0d8b1bdec6c5\"> <a id=\"x1-18002r57\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.57 <\/span>(Hilberts Bus)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir setzen  das  Gedankenspiel  von  Hilberts  Hotel  fort:  Stellen  Sie  sich  vor,  dass<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein sehr langer,  voll  besetzter  Bus  mit  G<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">sten  vor  Hilberts  vollem  Hotel  auff<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hrt,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jede  nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche  Zahl  einen  entsprechend  nummerierten  Sitzplatz  aufweist.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Wie k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen  Sie  die  neuen  G<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ste  alle  im  Hotel  unterbringen?  Welche  Abbildung<\/span> <math display=\"inline\"><mi>h<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2192<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen Sie verwenden, um im Hotel Platz zu beschaffen?<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-18003r11\"><\/a> \n","protected":false},"author":1089,"menu_order":4,"template":"","meta":{"pb_show_title":"","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-27","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":23,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/27","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/27\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/23"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/27\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=27"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=27"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=27"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=27"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}