{"id":26,"date":"2021-12-15T09:52:55","date_gmt":"2021-12-15T09:52:55","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/logische-begriffe\/"},"modified":"2021-12-15T09:52:55","modified_gmt":"2021-12-15T09:52:55","slug":"logische-begriffe","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/logische-begriffe\/","title":{"raw":"Logische Begriffe","rendered":"Logische Begriffe"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; 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float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style>\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"z65b0f45a2831\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.3 <\/span> <a id=\"x1-60003\"><\/a>Logische Begriffe<\/h3> <p class=\"noindent\">Die logischen Begriffe und die dazugeh\u00f6rende Theorie der Logik haben sich seit der Antike stark ge\u00e4ndert, doch seit der Begriffsschrift von Frege (1848-1925) im Jahre 1879 nicht mehr so stark. Da ein Verst\u00e4ndnis dieser <span class=\"ecti-1095\">logischen Sprache <\/span>f\u00fcr die Mathematik notwendig ist, wollen wir diese hier besprechen. F\u00fcr historisch Interessierte verweisen wir auch auf den <a href=\"http:\/\/www.bbc.co.uk\/programmes\/b00vcqcx\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Podcast<\/a> der BBC, den man sich anh\u00f6ren kann, wenn man schon zu m\u00fcde ist, um \u00dcbungen zu l\u00f6sen oder man Probleme hat einzuschlafen. <\/p><p class=\"indent\">Mathematische Aussagen sind, wenn ein klar definierter Rahmen gegeben ist und der Wert f\u00fcr etwaige Variablen bekannt ist, entweder wahr oder falsch. Diese strenge Sichtweise ist notwendig, damit wir von Bekanntem ausgehend wahre Aussagen (Lemmata und Propositionen zum Beispiel) folgern k\u00f6nnen, auf die wiederum Verlass ist (das heisst, ohne dass man Spezialf\u00e4lle ausschliessen muss). Sie haben vielleicht schon einmal Sudoku gespielt und wissen, wie schwerwiegend ein kleiner Denkfehler werden kann. <a id=\"x1-6001r1\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z758db7c57462\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.3.1 <\/span> <a id=\"x1-70001\"><\/a>Aussagenlogik und die Boolesche Algebra<\/h4> <p class=\"noindent\">Da eine mathematische Aussage nur zwei \u201eWerte\u201c annehmen kann, wahr (w) und falsch (f), k\u00f6nnen wir gewissermassen \u201eRechenoperationen\u201c f\u00fcr solche Aussagen sehr einfach und schnell definieren. Dies wurde erstmals von George Boole im Jahre 1847 formal ausgef\u00fchrt (siehe&nbsp;<span class=\"cite\">[<a href=\"#Xboole\">Boo47<\/a>]<\/span>) und stellt sowohl f\u00fcr die Grundlagen der Mathematik als auch f\u00fcr die Informatik und Elektrotechnik einen historisch bedeutsamen Schritt dar. Im Folgenden werden mathematische Aussagen mit Grossbuchstaben A, B, \u2026dargestellt. <\/p><p class=\"indent\">Die einfachste Operation ist die <span class=\"ecbx-1095\">Negation einer Aussage<\/span>:<a id=\"dx1-7001\"><\/a> Sei A eine Aussage. Die Negation von A ist die Aussage \u201eA gilt nicht\u201c, die wir kurz mit \u201eNicht A\u201c bezeichnen und als \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c schreiben. Die Aussage \u201e <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c hat den Wert f, falls A den Wert w hat und den Wert w, falls A den Wert f hat. Wir stellen dies in einer sogenannten <span class=\"ecbx-1095\">Wahrheitstabelle <\/span>wie folgt dar: <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"websqueeze\" style=\"width: 150px\"><div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-1\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-1-1g\"><col id=\"TBL-1-1\"><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-1-2g\"><col id=\"TBL-1-2\"><\/colgroup><tr id=\"TBL-1-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-1-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-1-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><\/math><\/td><\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr><\/td><td><hr><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-1-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-2-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-2-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-1-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-3-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-3-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div><\/div> <p class=\"noindent\">Wir verwenden das Symbol \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> f\u00fcr die Gleichheit und k\u00f6nnen es gebrauchen, um die Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber zwei Objekte                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> zu bilden. Des Weiteren schreiben wir \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> f\u00fcr die Negation \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> der Gleichheit. <\/p><p class=\"indent\">Sei nun B eine weitere Aussage.<a id=\"dx1-7002\"><\/a> Die <span class=\"ecbx-1095\">Und-Operation <\/span>angewendet auf A und B ist die Aussage \u201e sowohl A als auch B gelten\u201c, kurz \u201eA und B\u201c und symbolisch geschrieben \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math>B\u201c. Die zugeh\u00f6rige Wahrheitstabelle ist <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"websqueeze\" style=\"width: 200px\"><div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-2\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-2-1g\"><col id=\"TBL-2-1\"><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-2-2g\"><col id=\"TBL-2-2\"><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-2-3g\"><col id=\"TBL-2-3\"><\/colgroup><tr id=\"TBL-2-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-1-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-1-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-1-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><\/td><\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-2-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-2-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-2-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-2-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-2-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-3-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-3-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-3-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-2-4-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-4-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-4-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-4-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-2-5-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-5-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-5-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-5-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div><\/div> <p class=\"noindent\">Die <span class=\"ecbx-1095\">Oder-Operation<\/span><a id=\"dx1-7003\"><\/a> angewendet auf die beiden Aussagen A,B ergibt die Aussage \u201e A gilt oder B gilt\u201c, kurz \u201eA oder B\u201c und symbolisch geschrieben \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c. Die zugeh\u00f6rige Wahrheitstabelle ist: <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"websqueeze\" style=\"width: 200px\"><div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-3\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-3-1g\"><col id=\"TBL-3-1\"><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-3-2g\"><col id=\"TBL-3-2\"><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-3-3g\"><col id=\"TBL-3-3\"><\/colgroup><tr id=\"TBL-3-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-1-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-1-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-1-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><\/td><\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-3-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-2-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-2-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-2-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-3-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-3-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-3-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-3-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-3-4-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-4-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-4-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-4-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-3-5-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-5-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-5-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-5-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div><\/div> <p class=\"indent\">Man sollte an dieser Stelle bemerken, dass, wie oben ersichtlich ist, das \u201elogische Oder\u201c (und daher auch das \u201emathematische Oder\u201c) das \u201eeinschliessende Oder\u201c ist, welches auch zutrifft, falls beide Aussagen zutreffen. Dies unterscheidet sich teilweise vom umgangssprachlichen Gebrauch des Wortes \u201e oder\u201c , das oft auch exklusiv gemeint ist (als \u201eentweder \u2026 oder\u201c). Die Aussage \u201eentweder A oder B\u201c kann \u00fcber die drei Grundoperationen Negation, Und und Oder definiert werden (siehe \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7007r4\">1.4<\/a>). <\/p><p class=\"indent\">Die Algebraisierung der Logik hat den entscheidenden Vorteil, dass wir mittels Klammern klar darstellen k\u00f6nnen, wie Verkn\u00fcpfungen von logischen Aussagen zu verstehen sind. In der Umgangssprache gibt es keine Klammern und Aussagen der Form <\/p><blockquote class=\"quote\"> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\">\u201e<span class=\"ecti-1095\">Sokrates hat einen Hund und<\/span><br> <span class=\"ecti-1095\">ein Hund ist das beste Haustier oder<\/span><br> <span class=\"ecti-1095\">eine Katze ist das beste Haustier.<\/span>\u201c<\/p><\/div> <\/blockquote> <p class=\"noindent\">sind zweideutig. (Inkludiert Obiges die Behauptung \u201eSokrates hat einen Hund\u201c oder kann es auch sein, dass die Aussage \u201eSokrates hat keinen Hund und eine Katze ist das beste Haustier\u201c gilt?) <\/p><p class=\"indent\">Wir k\u00f6nnen Verkn\u00fcpfungen (wenn n\u00f6tig mit Klammern) verwenden, um neue logische Operationen zu definieren. Beispielsweise ist die <span class=\"ecbx-1095\">logische Implikation<\/span><a id=\"dx1-7004\"><\/a> \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c als die Aussage \u201e(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c definiert. \u201e A<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math>B\u201c wird als \u201e A impliziert B\u201c ausgesprochen und auch in diesem Sinne verwendet. Denn falls A wahr ist und \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c wahr ist, dann muss auch B wahr sein. Auffallend sind folgende Eigenheiten: <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Jegliche Kausalit\u00e4t  oder  auch  der  konkrete  Zusammenhang  zwischen  den  beiden Aussagen wird ignoriert. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Die Implikation ist immer richtig, falls die Annahme A falsch ist. Also ist zum Beispiel die Aussage <math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>die&nbsp;Welt&nbsp;ist&nbsp;eckig<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-7005r3\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.3)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">dadurch wahr.<\/p><\/div><\/div> <p class=\"indent\">Die <span class=\"ecbx-1095\">logische <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00c4<\/span><span class=\"ecbx-1095\">quivalenz<\/span><a id=\"dx1-7006\"><\/a> der Aussagen A und B wird als \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c geschrieben, als \u201e A genau dann wenn B\u201c oder als \u201eA ist \u00e4quivalent zu B\u201c ausgesprochen und durch die Aussage \u201e(A<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B)<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math>(B<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math>A)\u201c definiert.                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">Es ist hilfreich, sich die logischen Operationen auch als elektrische Schaltungen vorzustellen (siehe zum Beispiel Sektion 3.1 in <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xschichl-steinbauer\">SS12<\/a>]<\/span>). Mit dieser Analogie im Hinterkopf sind die Eigenheiten der obigen Diskussion bzgl. Kausalit\u00e4t oder das Beispiel (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7005r3\">1.3<\/a>) leichter verst\u00e4ndlich, denn einer Schaltung ist egal, wer (Frau, Mann, Kind, Hund oder Maschine) den Schalter bet\u00e4tigt oder warum (absichtlich oder unabsichtlich) dieser bet\u00e4tigt wurde. Auch unsere Beweise werden manchmal keine echte Kausalit\u00e4t herstellen, sondern nur aufzeigen, dass es keine andere M\u00f6glichkeit gibt. <\/p><p class=\"indent\">Sei A eine  Aussage.  Die  Aussage \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)\u201c ist eine sogenannte <span class=\"ecbx-1095\">Tautologie<\/span>, denn sie trifft unabh\u00e4ngig vom Wahrheitswert von A stets zu. In der Tat, wenn A wahr ist, dann ist \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)\u201c wahr und wenn  A  falsch  ist,  dann  ist \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c wahr und \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)\u201c auch wahr. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zba913b5afc6d\"> <a id=\"x1-7007r4\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.4.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien A,B zwei Aussagen.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Bestimmen Sie die Wahrheitstabellen zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">A<\/span><math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><span class=\"ecti-1095\">B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"ecti-1095\">A<\/span><math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><span class=\"ecti-1095\">B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Definieren Sie die logische Operation des <\/span><span class=\"ecbi-1095\">auschliessenden Oder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">A XOR B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mittels<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der obigen Operationen. Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">A XOR B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">soll genau dann zutreffen, wenn A<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oder B zutrifft, aber nicht beide zutreffen.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berpr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">fen Sie, dass die Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">A<\/span><math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><span class=\"ecti-1095\">(<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">(<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">A))<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(A<\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">B)<\/span><math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><span class=\"ecti-1095\">(<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">(<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">A<\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">B))<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Tautologien sind.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Wir werden anstelle der Symbole \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> meist die Worte \u201enicht, und, oder, impliziert, ist \u00e4quivalent zu\u201c verwenden, wobei \u201eoder\u201c immer einschliessend zu verstehen ist. Da wir keine Priorit\u00e4tsregel (wie die bekannte Punkt- vor Strichrechnung) festgelegt haben, sollten wir stets Klammern                                                                                                                                                                           verwenden um Zweideutigkeiten zu vermeiden. Eine \u00fcbliche Priorit\u00e4tsregel ist \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> vor \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>, womit die Aussage \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> als \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> zu verstehen w\u00e4re. Nichtsdestotrotz werden wir letztere Schreibweise bevorzugen und nur die Priorit\u00e4tsregel verwenden, dass die Operation <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math> immer Vorrang hat. Also kann zum Beispiel \u201e(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c auch als \u201e <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c geschrieben werden. <\/p><p class=\"indent\">Seien A, B zwei Aussagen. Eine sehr n\u00fctzliche Tautologie ist die Aussage <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-7011r4\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.4)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Um zu \u00fcberpr\u00fcfen, dass es sich bei (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7011r4\">1.4<\/a>) tats\u00e4chlich um eine Tautologie handelt, verwenden wir zuerst die Definition der logischen Implikation und sehen, dass die linke Seite \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c ist. Die rechte  Seite  wiederum  ist \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>B)<math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c, was zu \u201e B<math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c und damit auch zu \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c \u00e4quivalent ist. <\/p><p class=\"indent\">Die Tautologie (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7011r4\">1.4<\/a>) wird oft in Beweisen verwendet: Angenommen wir wollen zeigen, dass die Aussage A die Aussage B impliziert. Dann ist es manchmal einfacher und wegen (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7011r4\">1.4<\/a>) stets ausreichend zu zeigen, dass falls B nicht zutrifft auch A nicht zutrifft (dies wird Kontraposition genannt, siehe auch Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-240002\">1.8.2<\/a>). <\/p><p class=\"indent\">An dieser Stelle sollte man davor warnen, die Aussagen \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c und \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>B\u201c zu verwechseln; sie sind grundverschieden (auch wenn der Unterschied in politischen Diskussionen manchmal gern ignoriert wird). Wir empfehlen Ihnen, Beispiele                                                                                                                                                                           mathematischer und nicht-mathematischer Art zu finden, die den Unterschied zwischen \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c und \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>B\u201c gut belegen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zc128ac848615\"> <a id=\"x1-7012r5\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.5 <\/span>(Ritter und Knappen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Auf der Insel der Ritter und Knappen ist jeder Einwohner entweder ein Ritter oder ein Knappe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(und jeder weiss den Status von allen anderen Einwohnern). Es ist wichtig zu wissen, dass<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Ritter immer die Wahrheit sagen.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Knappen immer l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">gen.<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Sie werden auf Einwohner der Insel treffen und Ihre Aufgabe ist bei jedem zu entscheiden, ob er ein<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ritter oder ein Knappe ist.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sie treffen Johannes und Willhelm auf der Insel. Johannes sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Willhelm und ich sind<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ritter.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Willhelm sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Das ist eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ge, Johannes ist ein Knappe!<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Was sind sie?<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sie treffen Gildas, Ergard und Telones auf der Insel. Gildas sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Seien Sie vorsichtig,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wir sind nicht alle drei Ritter.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ergard sagt:<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Wir sind auch nicht alle drei Knappen.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Telones sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren Sie nicht auf sie, ich bin der einzige Ritter.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Was sind sie?<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sie treffen  Heinrich  und  Arthur  auf  der  Insel.  Heinrich  murmelt  irgend  etwas<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Unverst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndliches. Arthur sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Er sagte, er sei ein Knappe. Das ist er sicher - vertrauen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sie ihm nicht!<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Was sind sie?<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Dieses Beispiel entstammt aus <\/span><span class=\"cite\"><span class=\"ecti-1095\">[<\/span><a href=\"#Xknightsknaves\"><span class=\"ecti-1095\">Smu78<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">]<\/span><\/span><span class=\"ecti-1095\">, wo Sie noch viele andere R<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tsel dieser Art finden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-7016r7\"><\/a> <h4 id=\"zbb2b6f0fec24\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.3.2 <\/span> <a id=\"x1-80002\"><\/a>Pr\u00e4dikatenlogik<\/h4> <p class=\"noindent\">Die logischen Begriffe, die wir oben vorgestellt haben, sind zwar grundlegend f\u00fcr alles weitere, aber nicht gen\u00fcgend komplex um interessante Aussagen zu bilden. Oft werden Aussagen formuliert, die f\u00fcr Elemente einer bestimmten Menge (an Zahlen, Vektoren, \u00c4pfeln, \u2026; mehr zu Mengen sp\u00e4ter) wahr oder falsch sein k\u00f6nnen. Zum Beispiel k\u00f6nnte <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> f\u00fcr eine nat\u00fcrliche (oder rationale, reelle, \u2026; mehr zu Zahlen sp\u00e4ter) Zahl stehen und \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> ist dann eine Aussage \u00fcber <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die wahr oder falsch sein kann. F\u00fcr derartige Aussagen \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber Elemente <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> einer Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> gibt es nun zwei weitere fundamentale Operationen, sogenannte Quantoren, um weitere Aussagen zu bilden. <\/p><p class=\"indent\">Der <span class=\"ecbx-1095\">Allquantor<\/span><a id=\"dx1-8001\"><\/a>, geschrieben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wird verwendet um eine Aussage \u00fcber alle Elemente von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> zu treffen. Genauer steht die Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> f\u00fcr die Aussage \u201e F\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> gilt die Aussage <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>. Diese Aussage kann wahr oder falsch sein. Zum Beispiel ist die Aussage <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">falsch, aber die Aussage                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">ist richtig (denn wir werden <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> als <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>3<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> definieren). <\/p><p class=\"indent\">Der <span class=\"ecbx-1095\">Existenzquantor<\/span><a id=\"dx1-8002\"><\/a>, geschrieben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wird verwendet um auszudr\u00fccken, dass es ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit einer gewissen Eigenschaft gibt. Genauer steht \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> f\u00fcr \u201e Es gibt ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> f\u00fcr das die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt\u201c . Zum Beispiel ist die Aussage <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">richtig, da <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> eine nat\u00fcrliche Zahl ist, die <math display=\"inline\"><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> erf\u00fcllt. Weiters ist auch die Aussage                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">richtig. In der Tat k\u00f6nnen wir hier <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> verwenden, um die Existenz zu best\u00e4tigen. Alternativ k\u00f6nnen wir aber <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>5<\/mn><\/math> verwenden: denn da <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>5<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>2<\/mn><mn>5<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ist die Implikation \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mn>5<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mn>5<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> wahr. <\/p><p class=\"indent\">Es ist noch wichtig zu bemerken, dass die Variable <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> oder \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> nur innerhalb der Aussage \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> eine Bedeutung hat und wir auch ohne \u00c4nderung der Bedeutung der Aussage eine andere Variable (ohne vorgegebener Bedeutung) verwenden k\u00f6nnten. Der Geltungsbereich der Variable des Quantors geht bis zum Ende der Aussage oder dem Schliessen einer Klammer, die vor dem Quantor ge\u00f6ffnet wurde. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"za0bda1b72955\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung <\/span>(Alternative Notation)<span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Anstelle der Symbole <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> respektive <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> werden teilweise auch die weniger gebr\u00e4uchlichen Symbole <math display=\"inline\"><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c0<\/mtext><\/mstyle><\/math> respektive <math display=\"inline\"><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c1<\/mtext><\/mstyle><\/math> als Synonyme verwendet. Letztere haben den Vorteil, dass sie andeuten, dass <math display=\"inline\"><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c0<\/mtext><\/mstyle><\/math> ein erwachsen gewordenes <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math> und <math display=\"inline\"><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c1<\/mtext><\/mstyle><\/math> ein erwachsen gewordenes <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math> darstellt. Um diesen Kommentar besser zu verstehen, nehmen wir an, dass <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> eine endliche Menge ist, die genau die Elemente&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> enth\u00e4lt. Dann gilt                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c0<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c1<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Sp\u00e4ter werden wir sehen, dass die Symbole <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u22c2<\/mi><mo> <\/mo> <\/math> f\u00fcr den Durchschnitt von Mengen den Symbolen <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> und die Symbole <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c3<\/mi><mo> <\/mo> <\/math> f\u00fcr die Vereinigung von Mengen den Symbolen <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> entsprechen. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Kombinieren wir <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> und <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> so treten sehr schnell f\u00fcr den allgemeinen Sprachgebrauch vielleicht subtile aber f\u00fcr die Logik und die Mathematik fundamentale <span class=\"ecbx-1095\">Nichtvertauschbarkeit <\/span>der Quantoren zu Tage: Seien <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> Mengen und f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> sei <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> eine Aussage. Dann haben die Aussagen                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-8003r5\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.5)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-8004r6\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.6)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">sehr verschiedene Bedeutungen. <\/p><p class=\"indent\">In Worten w\u00fcrde man (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8003r5\">1.5<\/a>) vielleicht als eine <span class=\"ecbx-1095\">individuelle Existenz <\/span>und im Zusammenhang der Analysis als <span class=\"ecbx-1095\">punktweise Existenz <\/span>beschreiben. Denn es gibt zwar f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> ein geeignetes individuelles <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> mit der gew\u00fcnschten Eigenschaft, doch h\u00e4ngt das <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> vielleicht von der Wahl von <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> ab. Hingegen ist (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8004r6\">1.6<\/a>) eine <span class=\"ecbx-1095\">universelle oder gleichm<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbx-1095\">ssige Existenz<\/span>. Denn das <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> wird am Anfang der Aussage ein f\u00fcr alle Mal gew\u00e4hlt und die gew\u00fcnschte Eigenschaft gilt dann f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> gleichermassen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z9d0d6b786d0a\"> <a id=\"x1-8005r6\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.6 <\/span>(Nicht-vertauschbare Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">steht f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Menge der Studienanf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nger an der ETH, <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Menge der Vorlesungen f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Studienanf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nger. Zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Student <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">interessiert sich f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Vorlesung <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">hoffentlich wahr (oder es gibt Studenten, die sich f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das v<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">llig falsche Studium entschieden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">haben). Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist jedoch falsch, denn es gibt sicher zwei Studienanf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nger, die keine gemeinsame Vorlesung<\/span> <span class=\"ecti-1095\">besuchen und auch komplett verschiedene Interessen haben.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Ein mathematisches Beispiel f\u00fcr das gleiche Ph\u00e4nomen: <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zcef8993aac39\"> <a id=\"x1-8006r7\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.7 <\/span>(Nicht-vertauschbare Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine beliebige Menge. Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist dann sicher richtig, da wir f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einfach <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen. Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">hingegen ist nur f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r sehr spezielle Mengen richtig, welche?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die zweite Aussage ist genau dann richtig, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau ein Element hat: Auf Grund der Existenzbehauptung enth<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zumindest ein Element <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und der anschliessende Allquantor besagt nun, dass es kein anderes Element in <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">geben kann.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z1b8778254b5a\"> <a id=\"x1-8007r8\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.8 <\/span>(Nicht-vertauschbare Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und betrachten Sie die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Was bedeuten die Aussagen<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8003r5\">1.5<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8004r6\">1.6<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">in diesem Fall? Treffen die Aussagen zu?<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die individuelle Existenz<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8003r5\">1.5<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">behauptet bloss, dass es zu jeder nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auch eine gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssere gibt. Die universelle Existenz<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8004r6\">1.6<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">behauptet hingegen f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lschlicherweise,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass es eine nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahl gibt, die echt gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sser als alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahlen (auch inklusive<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sich selbst) ist.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Diese Beispiele sind m\u00f6glicherweise zu einfach; wir werden jedoch der Problematik, dass man einen Existenz- mit einem Allquantor nicht vertauschen darf, in komplizierten Situationen wieder begegnen. F\u00fcr zwei Quantoren der gleichen Sorte ist die Situation einfacher: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zb4ecd0d4d1f4\"> <a id=\"x1-8008r9\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.9 <\/span>(Vertauschbarkeit von Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei Mengen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">sei<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aussage. <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berzeugen Sie sich oder noch besser eine Mitstudentin\/einen Mitstudenten davon,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wahre Aussagen sind.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Auf Grund der Aussage in \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8008r9\">1.9<\/a> werden wir, gegeben eine Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber zwei Elemente einer Menge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> anstelle von der Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> auch \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> und anstelle von \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> auch \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> schreiben. <\/p><p class=\"indent\">Wir bemerken noch eine sonderbare <span class=\"ecbx-1095\">Eigenheit des Allquantors<\/span>. Sei <math display=\"inline\"><mi>\u2205<\/mi><\/math> die Menge, die keine Elemente enth\u00e4lt (die sogenannte \u201eleere Menge\u201c - siehe n\u00e4chster Abschnitt). Dann ist \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2205<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> immer wahr, unabh\u00e4ngig davon, welche Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ist. Hingegen ist \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2205<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> immer falsch, da es ja keine Elemente in <math display=\"inline\"><mi>\u2205<\/mi><\/math> gibt. <\/p><p class=\"indent\">Man kann die Quantoren und die logischen Operationen auf sehr viele Arten kombinieren und sehr schnell sehr komplizierte Aussagen bilden. Sp\u00e4ter werden wir viele Beispiele sehen. Gute gew\u00e4hlte Definitionen werden uns aber helfen, komplizierte verschachtelte Aussagen in Pr\u00e4dikatenlogik \u00fcbersichtlicher, einfacher und intuitiver zu machen. <\/p><p class=\"indent\">Als n\u00e4chstes m\u00f6chten wir hier aber noch die <span class=\"ecbx-1095\">Negation von Quantoren <\/span>besprechen. Intuitiv ist die Negation des Allquantors ein Existenzquantor und die Negation des Existenzquantors ein Allquantor. Besser und genauer ausgedr\u00fcckt gelten f\u00fcr eine beliebige Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber Elemente <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> einer Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> die folgenden Aussagen: <\/p><table id=\"z78dc60563b5b\" class=\"equation\"><tr><td> <a id=\"x1-8009r7\"><\/a> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mtable class=\"aligned\"><mtr><mtd columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <\/mtr><mtr><mtd columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <\/mtr> <\/mtable> <\/math><\/td><td class=\"eq-no\">(1.7)<\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\">Damit diese \u00c4quivalenzen wirklich immer (also auch f\u00fcr die leere Menge) gelten,                                                                                                                                                                           m\u00fcssen wir auch die obig erw\u00e4hnte Eigenheit des Allquantors f\u00fcr die leere Menge akzeptieren. <\/p><p class=\"indent\">Beispielsweise ist die Negation von \u201eAuf jedem Planeten herrscht Gravitation\u201c die Aussage \u201eEs gibt einen Planeten, auf dem keine Gravitation herrscht\u201c. Bei mehreren Quantoren verh\u00e4lt sich die Negation \u00e4hnlich wie ein Minus-Symbol vor einem geklammerten Ausdruck und kann <span class=\"ecti-1095\">nach Innen <\/span>geschoben werden. Wir empfehlen dies in folgender \u00dcbung zu \u00fcberdenken. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z652a6081b249\"> <a id=\"x1-8010r10\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.10 <\/span>(Negation und verkettete Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der reellen Zahlen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Bilden Sie die Negation folgender Aussagen und versuchen Sie die Negation so weit wie m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glich<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nach rechts zu verschieben (obwohl die Aussagen geometrische Bedeutung haben, muss man diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">weder kennen noch verstehen, um die Aufgabe zu l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen):<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Hier ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine gebr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">uchliche<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Kurzform f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">anders ausgedr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ckt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">steht f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalenterweise<\/span> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">. Sie k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Negation von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auch einfach<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">schreiben, doch ist dies auf Grund <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">blicher Definitionen und Eigenschaften von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung zum ersten Teil.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Wir demonstrieren die Vorgehensweise am ersten Teil der <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Auf Grund der direkt vor der <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung erw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Rechenregeln<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit Quantoren erhalten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wir<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z184d818e7805\"> <a id=\"x1-8011r11\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.11 <\/span>(Verkn\u00fcpfung von Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wollen in dieser <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung untersuchen, welche Eigenschaften All- und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Existenzquantor gemeinsam mit der Und- und Oder-Operation erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen. Seien<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zwei Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber Elemente <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einer Menge <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Untersuchen Sie jeweils die beiden Aussagen in einer Zeile und <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berlegen Sie sich, ob diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent sind oder ob bloss eine der Aussagen impliziert. Im zweiten Fall bestimmen Sie die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">st<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rkere<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">schw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chere<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aussage und begr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">nden Sie die Implikation. Beide der erw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">M<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glichkeiten treten zweimal auf.<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Untersuchung dieser Fragen empfiehlt es sich die Variablen in den beiden Quantoren rechts statt zweimal<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besser<\/span> <span class=\"ecti-1095\">getrennt mit <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bezeichnen.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Verwandte Operationen (<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">beziehungsweise <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">vertragen sich hier sehr gut und ergeben <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00c4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalenzen: In der ersten Zeile wird in beiden Aussagen behauptet,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass sowohl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. In der letzten Zeile wird in beiden Aussagen behauptet, dass es ein<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r dass zumindest<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine der Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zutrifft. Die Aussagen links und rechts unterscheiden sich in diesen beiden F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen nur in der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Formulierung.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In der zweiten Zeile gilt aber bloss die Implikation<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Denn wenn links zum Beispiel<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zutrifft, so trifft nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlich auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu. Die Umkehrung stimmt im Allgemeinen nicht, da in der Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aussagen <\/span><math display=\"inline\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">verschiedene <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abwechselnd zutreffen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnten, und dann sowohl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">falsch sein k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnten.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In der dritten Zeile gilt hingegen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Denn wenn f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein bestimmtes <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sowohl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zutreffen, so gelten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die beiden Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auf jeden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Fall (in dem man <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlt). Wiederum stimmt aber die Umkehrung im Allgemeinen nicht: In der Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gibt es vielleicht nur<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zwei verschiedene <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ohne dass es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein gemeinsames <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">geben muss. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Ein dritter Quantor, der h\u00e4ufig verwendet wird, ist der <span class=\"ecbx-1095\">Quantor der eindeutigen Existenz<\/span>, geschrieben <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><\/math> . Dieser l\u00e4sst sich mit Hilfe der beiden Quantoren <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> und <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> wie folgt definieren: Die Aussage \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> wird durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definiert. Sie bedeutet, dass es ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> gibt, das die Aussage \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> erf\u00fcllt und dass dieses <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> durch die Aussage eindeutig bestimmt ist. Es gibt also kein weiteres Element <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> welches nicht gleich <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> ist und \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> erf\u00fcllt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z8eb412810195\"> <a id=\"x1-8012r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.12.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Formulieren Sie ein konkretes Beispiel zu obigem. In anderen Worten: finden Sie eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aussage <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber Elemente einer Menge, die von genau einem Element erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt wird.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"likeparagraphHead\"><a id=\"x1-90002\"><\/a>Eine Warnung:<\/span> Sei <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> eine Menge und \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> eine Aussage \u00fcber Elemente von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach dem Satz  \u201eEs gibt ein eindeutig bestimmtes <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> das <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllt.\u201c wird oft dieses <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> in weiteren Argumenten verwendet. Da <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> eindeutig festgelegt ist, ist dies akzeptabel und oft auch sehr nat\u00fcrlich. Manchmal wird aber auch nach dem Satz \u201e Es gibt ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> das <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllt.\u201c so ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in der Argumentation ben\u00f6tigt. Hier sollte man erw\u00e4hnen, dass so ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gew<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlt <\/span>wird. Des Weiteren sollte man, wenn n\u00f6tig, sicher stellen, dass das darauf Folgende nicht (oder nur auf unwesentliche Weise) von der Wahl von <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> abh\u00e4ngt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z61a93162f9ce\"> <a id=\"x1-9001r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.13.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zum Spass: Betrachten Sie den Satz<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Everybody loves my babe, but my babe loves no one<\/span> <span class=\"ecti-1095\">but me<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(leicht adaptiert nach Louis Armstrong) vom streng logischen Standpunkt. Handelt er<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von einem Liebespaar?<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-9002r8\"><\/a> <h4 id=\"z51392f15ac41\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.3.3 <\/span> <a id=\"x1-100003\"><\/a>Eine kurze \u00dcbersicht<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir wollen die wichtigsten logischen Begriffe der Aussagen- und Pr\u00e4dikatenlogik hier nochmals kurz in einer Tabelle zusammenfassen. <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p> <div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-4\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-4-1g\"><col id=\"TBL-4-1\"><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-4-2g\"><col id=\"TBL-4-2\"><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-4-3g\"><col id=\"TBL-4-3\"><\/colgroup><tr id=\"TBL-4-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-1-1\" style=\"text-align:center\">                                  Abk\u00fcrzung                                                    <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-1-2\" style=\"text-align:center\">                                                                                                                              Bedeutung                                                                                                                                                                                                    <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-1-3\" style=\"text-align:center\">                                   Negation                                                       <\/td> <\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr><\/td><td><hr><\/td><td><hr><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-4-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-2-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-2-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> gilt nicht.                                                                                                                                        <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-2-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-3-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-3-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> gelten.                                                                         <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-3-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-4-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-4-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-4-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> (einschliessend) gilt.                                                                <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-4-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-5-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-5-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-5-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> impliziert <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-5-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-6-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-6-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-6-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> sind \u00e4quivalent.                                                                  <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-6-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-7-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-7-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-7-2\" style=\"text-align:center\">     F\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>        <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-7-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-8-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-8-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-8-2\" style=\"text-align:center\">   Es existiert ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>    <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-8-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-9-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-9-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-9-2\" style=\"text-align:center\">Es existiert genau ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-9-3\" style=\"text-align:center\"> <\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-10-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-10-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-10-2\" style=\"text-align:center\">                                                                                                                    \u201eIndividuelle\/punktweise Existenz\u201c                                                                                                                                                                                     <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-10-3\" style=\"text-align:center\"> <\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-11-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-11-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-11-2\" style=\"text-align:center\">                                                                                                                   \u201eUniverselle\/gleichm\u00e4ssige Existenz\u201c                                                                                                                                                                                   <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-11-3\" style=\"text-align:center\"> <\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div> <p class=\"noindent\">F\u00fcr die letzten beiden Zeilen verweisen wir auf die Diskussion nach (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8003r5\">1.5<\/a>)-(<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8004r6\">1.6<\/a>). Wir \u00fcberlassen es der Leserin\/dem Leser die Tabelle zu vervollst\u00e4ndigen und so lange mit Kolleginnen und Kollegen zu besprechen, bis alle auftretenden Zeilen f\u00fcr Sie logisch sind.                                                                                                                                                                           <a id=\"x1-10001r6\"><\/a> <\/p> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"z65b0f45a2831\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.3 <\/span> <a id=\"x1-60003\"><\/a>Logische Begriffe<\/h3> <p class=\"noindent\">Die logischen Begriffe und die dazugeh\u00f6rende Theorie der Logik haben sich seit der Antike stark ge\u00e4ndert, doch seit der Begriffsschrift von Frege (1848-1925) im Jahre 1879 nicht mehr so stark. Da ein Verst\u00e4ndnis dieser <span class=\"ecti-1095\">logischen Sprache <\/span>f\u00fcr die Mathematik notwendig ist, wollen wir diese hier besprechen. F\u00fcr historisch Interessierte verweisen wir auch auf den <a href=\"http:\/\/www.bbc.co.uk\/programmes\/b00vcqcx\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Podcast<\/a> der BBC, den man sich anh\u00f6ren kann, wenn man schon zu m\u00fcde ist, um \u00dcbungen zu l\u00f6sen oder man Probleme hat einzuschlafen. <\/p><p class=\"indent\">Mathematische Aussagen sind, wenn ein klar definierter Rahmen gegeben ist und der Wert f\u00fcr etwaige Variablen bekannt ist, entweder wahr oder falsch. Diese strenge Sichtweise ist notwendig, damit wir von Bekanntem ausgehend wahre Aussagen (Lemmata und Propositionen zum Beispiel) folgern k\u00f6nnen, auf die wiederum Verlass ist (das heisst, ohne dass man Spezialf\u00e4lle ausschliessen muss). Sie haben vielleicht schon einmal Sudoku gespielt und wissen, wie schwerwiegend ein kleiner Denkfehler werden kann. <a id=\"x1-6001r1\"><\/a> <\/p> <h4 id=\"z758db7c57462\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.3.1 <\/span> <a id=\"x1-70001\"><\/a>Aussagenlogik und die Boolesche Algebra<\/h4> <p class=\"noindent\">Da eine mathematische Aussage nur zwei \u201eWerte\u201c annehmen kann, wahr (w) und falsch (f), k\u00f6nnen wir gewissermassen \u201eRechenoperationen\u201c f\u00fcr solche Aussagen sehr einfach und schnell definieren. Dies wurde erstmals von George Boole im Jahre 1847 formal ausgef\u00fchrt (siehe&nbsp;<span class=\"cite\">[<a href=\"#Xboole\">Boo47<\/a>]<\/span>) und stellt sowohl f\u00fcr die Grundlagen der Mathematik als auch f\u00fcr die Informatik und Elektrotechnik einen historisch bedeutsamen Schritt dar. Im Folgenden werden mathematische Aussagen mit Grossbuchstaben A, B, \u2026dargestellt. <\/p><p class=\"indent\">Die einfachste Operation ist die <span class=\"ecbx-1095\">Negation einer Aussage<\/span>:<a id=\"dx1-7001\"><\/a> Sei A eine Aussage. Die Negation von A ist die Aussage \u201eA gilt nicht\u201c, die wir kurz mit \u201eNicht A\u201c bezeichnen und als \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c schreiben. Die Aussage \u201e <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c hat den Wert f, falls A den Wert w hat und den Wert w, falls A den Wert f hat. Wir stellen dies in einer sogenannten <span class=\"ecbx-1095\">Wahrheitstabelle <\/span>wie folgt dar: <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"websqueeze\" style=\"width: 150px\"><div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-1\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-1-1g\"><col id=\"TBL-1-1\" \/><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-1-2g\"><col id=\"TBL-1-2\" \/><\/colgroup><tr id=\"TBL-1-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-1-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-1-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><\/math><\/td><\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-1-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-2-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-2-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-1-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-3-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-1-3-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div><\/div> <p class=\"noindent\">Wir verwenden das Symbol \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> f\u00fcr die Gleichheit und k\u00f6nnen es gebrauchen, um die Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber zwei Objekte                                                                                                                                                                           <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math> zu bilden. Des Weiteren schreiben wir \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> f\u00fcr die Negation \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> der Gleichheit. <\/p><p class=\"indent\">Sei nun B eine weitere Aussage.<a id=\"dx1-7002\"><\/a> Die <span class=\"ecbx-1095\">Und-Operation <\/span>angewendet auf A und B ist die Aussage \u201e sowohl A als auch B gelten\u201c, kurz \u201eA und B\u201c und symbolisch geschrieben \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math>B\u201c. Die zugeh\u00f6rige Wahrheitstabelle ist <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"websqueeze\" style=\"width: 200px\"><div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-2\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-2-1g\"><col id=\"TBL-2-1\" \/><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-2-2g\"><col id=\"TBL-2-2\" \/><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-2-3g\"><col id=\"TBL-2-3\" \/><\/colgroup><tr id=\"TBL-2-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-1-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-1-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-1-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><\/td><\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-2-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-2-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-2-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-2-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-2-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-3-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-3-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-3-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-2-4-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-4-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-4-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-4-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-2-5-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-5-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-5-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-2-5-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div><\/div> <p class=\"noindent\">Die <span class=\"ecbx-1095\">Oder-Operation<\/span><a id=\"dx1-7003\"><\/a> angewendet auf die beiden Aussagen A,B ergibt die Aussage \u201e A gilt oder B gilt\u201c, kurz \u201eA oder B\u201c und symbolisch geschrieben \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c. Die zugeh\u00f6rige Wahrheitstabelle ist: <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"websqueeze\" style=\"width: 200px\"><div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-3\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-3-1g\"><col id=\"TBL-3-1\" \/><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-3-2g\"><col id=\"TBL-3-2\" \/><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-3-3g\"><col id=\"TBL-3-3\" \/><\/colgroup><tr id=\"TBL-3-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-1-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-1-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-1-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><\/td><\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-3-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-2-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-2-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-2-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-3-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-3-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-3-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-3-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-3-4-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-4-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-4-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-4-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>w<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-3-5-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-5-1\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-5-2\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-3-5-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>f<\/mi><\/math><\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div><\/div> <p class=\"indent\">Man sollte an dieser Stelle bemerken, dass, wie oben ersichtlich ist, das \u201elogische Oder\u201c (und daher auch das \u201emathematische Oder\u201c) das \u201eeinschliessende Oder\u201c ist, welches auch zutrifft, falls beide Aussagen zutreffen. Dies unterscheidet sich teilweise vom umgangssprachlichen Gebrauch des Wortes \u201e oder\u201c , das oft auch exklusiv gemeint ist (als \u201eentweder \u2026 oder\u201c). Die Aussage \u201eentweder A oder B\u201c kann \u00fcber die drei Grundoperationen Negation, Und und Oder definiert werden (siehe \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7007r4\">1.4<\/a>). <\/p><p class=\"indent\">Die Algebraisierung der Logik hat den entscheidenden Vorteil, dass wir mittels Klammern klar darstellen k\u00f6nnen, wie Verkn\u00fcpfungen von logischen Aussagen zu verstehen sind. In der Umgangssprache gibt es keine Klammern und Aussagen der Form <\/p><blockquote class=\"quote\"> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><p class=\"noindent\">\u201e<span class=\"ecti-1095\">Sokrates hat einen Hund und<\/span><br \/> <span class=\"ecti-1095\">ein Hund ist das beste Haustier oder<\/span><br \/> <span class=\"ecti-1095\">eine Katze ist das beste Haustier.<\/span>\u201c<\/p><\/div> <\/blockquote> <p class=\"noindent\">sind zweideutig. (Inkludiert Obiges die Behauptung \u201eSokrates hat einen Hund\u201c oder kann es auch sein, dass die Aussage \u201eSokrates hat keinen Hund und eine Katze ist das beste Haustier\u201c gilt?) <\/p><p class=\"indent\">Wir k\u00f6nnen Verkn\u00fcpfungen (wenn n\u00f6tig mit Klammern) verwenden, um neue logische Operationen zu definieren. Beispielsweise ist die <span class=\"ecbx-1095\">logische Implikation<\/span><a id=\"dx1-7004\"><\/a> \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c als die Aussage \u201e(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c definiert. \u201e A<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math>B\u201c wird als \u201e A impliziert B\u201c ausgesprochen und auch in diesem Sinne verwendet. Denn falls A wahr ist und \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c wahr ist, dann muss auch B wahr sein. Auffallend sind folgende Eigenheiten: <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Jegliche Kausalit\u00e4t  oder  auch  der  konkrete  Zusammenhang  zwischen  den  beiden Aussagen wird ignoriert. <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\">Die Implikation ist immer richtig, falls die Annahme A falsch ist. Also ist zum Beispiel die Aussage <math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>die&nbsp;Welt&nbsp;ist&nbsp;eckig<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-7005r3\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.3)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">dadurch wahr.<\/p><\/div><\/div> <p class=\"indent\">Die <span class=\"ecbx-1095\">logische <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00c4<\/span><span class=\"ecbx-1095\">quivalenz<\/span><a id=\"dx1-7006\"><\/a> der Aussagen A und B wird als \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c geschrieben, als \u201e A genau dann wenn B\u201c oder als \u201eA ist \u00e4quivalent zu B\u201c ausgesprochen und durch die Aussage \u201e(A<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B)<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math>(B<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math>A)\u201c definiert.                                                                                                                                                                           <\/p><p class=\"indent\">Es ist hilfreich, sich die logischen Operationen auch als elektrische Schaltungen vorzustellen (siehe zum Beispiel Sektion 3.1 in <span class=\"cite\">[<a href=\"#Xschichl-steinbauer\">SS12<\/a>]<\/span>). Mit dieser Analogie im Hinterkopf sind die Eigenheiten der obigen Diskussion bzgl. Kausalit\u00e4t oder das Beispiel (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7005r3\">1.3<\/a>) leichter verst\u00e4ndlich, denn einer Schaltung ist egal, wer (Frau, Mann, Kind, Hund oder Maschine) den Schalter bet\u00e4tigt oder warum (absichtlich oder unabsichtlich) dieser bet\u00e4tigt wurde. Auch unsere Beweise werden manchmal keine echte Kausalit\u00e4t herstellen, sondern nur aufzeigen, dass es keine andere M\u00f6glichkeit gibt. <\/p><p class=\"indent\">Sei A eine  Aussage.  Die  Aussage \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)\u201c ist eine sogenannte <span class=\"ecbx-1095\">Tautologie<\/span>, denn sie trifft unabh\u00e4ngig vom Wahrheitswert von A stets zu. In der Tat, wenn A wahr ist, dann ist \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)\u201c wahr und wenn  A  falsch  ist,  dann  ist \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c wahr und \u201eA<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)\u201c auch wahr. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zba913b5afc6d\"> <a id=\"x1-7007r4\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.4.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien A,B zwei Aussagen.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Bestimmen Sie die Wahrheitstabellen zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">A<\/span><math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><span class=\"ecti-1095\">B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"ecti-1095\">A<\/span><math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><span class=\"ecti-1095\">B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Definieren Sie die logische Operation des <\/span><span class=\"ecbi-1095\">auschliessenden Oder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">A XOR B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mittels<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der obigen Operationen. Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">A XOR B<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">soll genau dann zutreffen, wenn A<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oder B zutrifft, aber nicht beide zutreffen.<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berpr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">fen Sie, dass die Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">A<\/span><math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><span class=\"ecti-1095\">(<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">(<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">A))<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(A<\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">B)<\/span><math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><span class=\"ecti-1095\">(<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">(<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">A<\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">B))<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Tautologien sind.<\/span><\/dd><\/dl> <\/div> <p class=\"indent\">Wir werden anstelle der Symbole \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> meist die Worte \u201enicht, und, oder, impliziert, ist \u00e4quivalent zu\u201c verwenden, wobei \u201eoder\u201c immer einschliessend zu verstehen ist. Da wir keine Priorit\u00e4tsregel (wie die bekannte Punkt- vor Strichrechnung) festgelegt haben, sollten wir stets Klammern                                                                                                                                                                           verwenden um Zweideutigkeiten zu vermeiden. Eine \u00fcbliche Priorit\u00e4tsregel ist \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> vor \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>, womit die Aussage \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> als \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>C<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> zu verstehen w\u00e4re. Nichtsdestotrotz werden wir letztere Schreibweise bevorzugen und nur die Priorit\u00e4tsregel verwenden, dass die Operation <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math> immer Vorrang hat. Also kann zum Beispiel \u201e(<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A)<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c auch als \u201e <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c geschrieben werden. <\/p><p class=\"indent\">Seien A, B zwei Aussagen. Eine sehr n\u00fctzliche Tautologie ist die Aussage <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-7011r4\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.4)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Um zu \u00fcberpr\u00fcfen, dass es sich bei (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7011r4\">1.4<\/a>) tats\u00e4chlich um eine Tautologie handelt, verwenden wir zuerst die Definition der logischen Implikation und sehen, dass die linke Seite \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c ist. Die rechte  Seite  wiederum  ist \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>B)<math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c, was zu \u201e B<math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A\u201c und damit auch zu \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math>B\u201c \u00e4quivalent ist. <\/p><p class=\"indent\">Die Tautologie (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7011r4\">1.4<\/a>) wird oft in Beweisen verwendet: Angenommen wir wollen zeigen, dass die Aussage A die Aussage B impliziert. Dann ist es manchmal einfacher und wegen (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-7011r4\">1.4<\/a>) stets ausreichend zu zeigen, dass falls B nicht zutrifft auch A nicht zutrifft (dies wird Kontraposition genannt, siehe auch Abschnitt <a href=\"..\/..\/chapter\/trigonometrische-funktionen#x1-240002\">1.8.2<\/a>). <\/p><p class=\"indent\">An dieser Stelle sollte man davor warnen, die Aussagen \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c und \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>B\u201c zu verwechseln; sie sind grundverschieden (auch wenn der Unterschied in politischen Diskussionen manchmal gern ignoriert wird). Wir empfehlen Ihnen, Beispiele                                                                                                                                                                           mathematischer und nicht-mathematischer Art zu finden, die den Unterschied zwischen \u201eA<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo> <mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/> <\/math>B\u201c und \u201e<math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>A<math display=\"inline\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><\/math>B\u201c gut belegen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zc128ac848615\"> <a id=\"x1-7012r5\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.5 <\/span>(Ritter und Knappen)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Auf der Insel der Ritter und Knappen ist jeder Einwohner entweder ein Ritter oder ein Knappe<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(und jeder weiss den Status von allen anderen Einwohnern). Es ist wichtig zu wissen, dass<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Ritter immer die Wahrheit sagen.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Knappen immer l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">gen.<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Sie werden auf Einwohner der Insel treffen und Ihre Aufgabe ist bei jedem zu entscheiden, ob er ein<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ritter oder ein Knappe ist.<\/span> <\/p><dl class=\"enumerate\"><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(i)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sie treffen Johannes und Willhelm auf der Insel. Johannes sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Willhelm und ich sind<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ritter.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Willhelm sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Das ist eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ge, Johannes ist ein Knappe!<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Was sind sie?<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(ii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sie treffen Gildas, Ergard und Telones auf der Insel. Gildas sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Seien Sie vorsichtig,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wir sind nicht alle drei Ritter.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Ergard sagt:<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Wir sind auch nicht alle drei Knappen.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Telones sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">H<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">ren Sie nicht auf sie, ich bin der einzige Ritter.<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Was sind sie?<\/span> <\/dd><dt class=\"enumerate\"> <span class=\"ecti-1095\">(iii)<\/span><\/dt><dd class=\"enumerate\"><span class=\"ecti-1095\">Sie treffen  Heinrich  und  Arthur  auf  der  Insel.  Heinrich  murmelt  irgend  etwas<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Unverst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndliches. Arthur sagt<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Er sagte, er sei ein Knappe. Das ist er sicher &#8211; vertrauen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Sie ihm nicht!<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Was sind sie?<\/span><\/dd><\/dl> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Dieses Beispiel entstammt aus <\/span><span class=\"cite\"><span class=\"ecti-1095\">[<\/span><a href=\"#Xknightsknaves\"><span class=\"ecti-1095\">Smu78<\/span><\/a><span class=\"ecti-1095\">]<\/span><\/span><span class=\"ecti-1095\">, wo Sie noch viele andere R<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tsel dieser Art finden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen.<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-7016r7\"><\/a> <h4 id=\"zbb2b6f0fec24\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.3.2 <\/span> <a id=\"x1-80002\"><\/a>Pr\u00e4dikatenlogik<\/h4> <p class=\"noindent\">Die logischen Begriffe, die wir oben vorgestellt haben, sind zwar grundlegend f\u00fcr alles weitere, aber nicht gen\u00fcgend komplex um interessante Aussagen zu bilden. Oft werden Aussagen formuliert, die f\u00fcr Elemente einer bestimmten Menge (an Zahlen, Vektoren, \u00c4pfeln, \u2026; mehr zu Mengen sp\u00e4ter) wahr oder falsch sein k\u00f6nnen. Zum Beispiel k\u00f6nnte <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> f\u00fcr eine nat\u00fcrliche (oder rationale, reelle, \u2026; mehr zu Zahlen sp\u00e4ter) Zahl stehen und \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> ist dann eine Aussage \u00fcber <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> die wahr oder falsch sein kann. F\u00fcr derartige Aussagen \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber Elemente <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> einer Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> gibt es nun zwei weitere fundamentale Operationen, sogenannte Quantoren, um weitere Aussagen zu bilden. <\/p><p class=\"indent\">Der <span class=\"ecbx-1095\">Allquantor<\/span><a id=\"dx1-8001\"><\/a>, geschrieben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wird verwendet um eine Aussage \u00fcber alle Elemente von <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> zu treffen. Genauer steht die Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> f\u00fcr die Aussage \u201e F\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> gilt die Aussage <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span>. Diese Aussage kann wahr oder falsch sein. Zum Beispiel ist die Aussage <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">falsch, aber die Aussage                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">ist richtig (denn wir werden <math display=\"inline\"><mi>\u2115<\/mi><\/math> als <math display=\"inline\"> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>2<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mn>3<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> definieren). <\/p><p class=\"indent\">Der <span class=\"ecbx-1095\">Existenzquantor<\/span><a id=\"dx1-8002\"><\/a>, geschrieben <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> wird verwendet um auszudr\u00fccken, dass es ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> mit einer gewissen Eigenschaft gibt. Genauer steht \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> f\u00fcr \u201e Es gibt ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> f\u00fcr das die Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> gilt\u201c . Zum Beispiel ist die Aussage <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thinspace\" width=\"0.17em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">richtig, da <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> eine nat\u00fcrliche Zahl ist, die <math display=\"inline\"><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> erf\u00fcllt. Weiters ist auch die Aussage                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2115<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">richtig. In der Tat k\u00f6nnen wir hier <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> verwenden, um die Existenz zu best\u00e4tigen. Alternativ k\u00f6nnen wir aber <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>5<\/mn><\/math> verwenden: denn da <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>5<\/mn><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo> <mn>2<\/mn><mn>5<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ist die Implikation \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mn>5<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mn>5<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mn>5<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> wahr. <\/p><p class=\"indent\">Es ist noch wichtig zu bemerken, dass die Variable <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> oder \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> nur innerhalb der Aussage \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> eine Bedeutung hat und wir auch ohne \u00c4nderung der Bedeutung der Aussage eine andere Variable (ohne vorgegebener Bedeutung) verwenden k\u00f6nnten. Der Geltungsbereich der Variable des Quantors geht bis zum Ende der Aussage oder dem Schliessen einer Klammer, die vor dem Quantor ge\u00f6ffnet wurde. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"za0bda1b72955\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung <\/span>(Alternative Notation)<span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\">Anstelle der Symbole <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> respektive <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> werden teilweise auch die weniger gebr\u00e4uchlichen Symbole <math display=\"inline\"><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c0<\/mtext><\/mstyle><\/math> respektive <math display=\"inline\"><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c1<\/mtext><\/mstyle><\/math> als Synonyme verwendet. Letztere haben den Vorteil, dass sie andeuten, dass <math display=\"inline\"><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c0<\/mtext><\/mstyle><\/math> ein erwachsen gewordenes <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math> und <math display=\"inline\"><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c1<\/mtext><\/mstyle><\/math> ein erwachsen gewordenes <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math> darstellt. Um diesen Kommentar besser zu verstehen, nehmen wir an, dass <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/math> eine endliche Menge ist, die genau die Elemente&nbsp;<math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><\/math> enth\u00e4lt. Dann gilt                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c0<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mstyle class=\"mbox\"><mtext>\u22c1<\/mtext><\/mstyle><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Sp\u00e4ter werden wir sehen, dass die Symbole <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2229<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u22c2<\/mi><mo> <\/mo> <\/math> f\u00fcr den Durchschnitt von Mengen den Symbolen <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> und die Symbole <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\"> \u22c3<\/mi><mo> <\/mo> <\/math> f\u00fcr die Vereinigung von Mengen den Symbolen <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> entsprechen. <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Kombinieren wir <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> und <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> so treten sehr schnell f\u00fcr den allgemeinen Sprachgebrauch vielleicht subtile aber f\u00fcr die Logik und die Mathematik fundamentale <span class=\"ecbx-1095\">Nichtvertauschbarkeit <\/span>der Quantoren zu Tage: Seien <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> Mengen und f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> sei <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> eine Aussage. Dann haben die Aussagen                                                                                                                                                                           <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-8003r5\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.5)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">und <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-8004r6\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.6)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">sehr verschiedene Bedeutungen. <\/p><p class=\"indent\">In Worten w\u00fcrde man (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8003r5\">1.5<\/a>) vielleicht als eine <span class=\"ecbx-1095\">individuelle Existenz <\/span>und im Zusammenhang der Analysis als <span class=\"ecbx-1095\">punktweise Existenz <\/span>beschreiben. Denn es gibt zwar f\u00fcr jedes <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> ein geeignetes individuelles <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> mit der gew\u00fcnschten Eigenschaft, doch h\u00e4ngt das <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> vielleicht von der Wahl von <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> ab. Hingegen ist (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8004r6\">1.6<\/a>) eine <span class=\"ecbx-1095\">universelle oder gleichm<\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecbx-1095\">ssige Existenz<\/span>. Denn das <math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math> wird am Anfang der Aussage ein f\u00fcr alle Mal gew\u00e4hlt und die gew\u00fcnschte Eigenschaft gilt dann f\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> gleichermassen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z9d0d6b786d0a\"> <a id=\"x1-8005r6\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.6 <\/span>(Nicht-vertauschbare Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">steht f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Menge der Studienanf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nger an der ETH, <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Menge der Vorlesungen f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Studienanf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nger. Zu <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Student <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">interessiert sich f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Vorlesung <\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dann ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">hoffentlich wahr (oder es gibt Studenten, die sich f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r das v<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">llig falsche Studium entschieden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">haben). Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist jedoch falsch, denn es gibt sicher zwei Studienanf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">nger, die keine gemeinsame Vorlesung<\/span> <span class=\"ecti-1095\">besuchen und auch komplett verschiedene Interessen haben.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Ein mathematisches Beispiel f\u00fcr das gleiche Ph\u00e4nomen: <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zcef8993aac39\"> <a id=\"x1-8006r7\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Beispiel 1.7 <\/span>(Nicht-vertauschbare Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine beliebige Menge. Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ist dann sicher richtig, da wir f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einfach <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen. Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">hingegen ist nur f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r sehr spezielle Mengen richtig, welche?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Teill<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die zweite Aussage ist genau dann richtig, wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">genau ein Element hat: Auf Grund der Existenzbehauptung enth<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lt <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">zumindest ein Element <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und der anschliessende Allquantor besagt nun, dass es kein anderes Element in <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">geben kann.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z1b8778254b5a\"> <a id=\"x1-8007r8\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.8 <\/span>(Nicht-vertauschbare Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>\u2115<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und betrachten Sie die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Was bedeuten die Aussagen<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8003r5\">1.5<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8004r6\">1.6<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">in diesem Fall? Treffen die Aussagen zu?<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Die individuelle Existenz<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8003r5\">1.5<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">behauptet bloss, dass es zu jeder nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auch eine gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">ssere gibt. Die universelle Existenz<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8004r6\">1.6<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">behauptet hingegen f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">lschlicherweise,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass es eine nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahl gibt, die echt gr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sser als alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahlen (auch inklusive<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sich selbst) ist.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Diese Beispiele sind m\u00f6glicherweise zu einfach; wir werden jedoch der Problematik, dass man einen Existenz- mit einem Allquantor nicht vertauschen darf, in komplizierten Situationen wieder begegnen. F\u00fcr zwei Quantoren der gleichen Sorte ist die Situation einfacher: <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zb4ecd0d4d1f4\"> <a id=\"x1-8008r9\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.9 <\/span>(Vertauschbarkeit von Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Seien <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">zwei Mengen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r jedes <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">sei<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aussage. <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berzeugen Sie sich oder noch besser eine Mitstudentin\/einen Mitstudenten davon,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">wahre Aussagen sind.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Auf Grund der Aussage in \u00dcbung <a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8008r9\">1.9<\/a> werden wir, gegeben eine Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber zwei Elemente einer Menge <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> anstelle von der Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> auch \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> und anstelle von \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> auch \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> schreiben. <\/p><p class=\"indent\">Wir bemerken noch eine sonderbare <span class=\"ecbx-1095\">Eigenheit des Allquantors<\/span>. Sei <math display=\"inline\"><mi>\u2205<\/mi><\/math> die Menge, die keine Elemente enth\u00e4lt (die sogenannte \u201eleere Menge\u201c &#8211; siehe n\u00e4chster Abschnitt). Dann ist \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u2205<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> immer wahr, unabh\u00e4ngig davon, welche Aussage <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> ist. Hingegen ist \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo><mi>\u2205<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> immer falsch, da es ja keine Elemente in <math display=\"inline\"><mi>\u2205<\/mi><\/math> gibt. <\/p><p class=\"indent\">Man kann die Quantoren und die logischen Operationen auf sehr viele Arten kombinieren und sehr schnell sehr komplizierte Aussagen bilden. Sp\u00e4ter werden wir viele Beispiele sehen. Gute gew\u00e4hlte Definitionen werden uns aber helfen, komplizierte verschachtelte Aussagen in Pr\u00e4dikatenlogik \u00fcbersichtlicher, einfacher und intuitiver zu machen. <\/p><p class=\"indent\">Als n\u00e4chstes m\u00f6chten wir hier aber noch die <span class=\"ecbx-1095\">Negation von Quantoren <\/span>besprechen. Intuitiv ist die Negation des Allquantors ein Existenzquantor und die Negation des Existenzquantors ein Allquantor. Besser und genauer ausgedr\u00fcckt gelten f\u00fcr eine beliebige Aussage \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> \u00fcber Elemente <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> einer Menge <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> die folgenden Aussagen: <\/p><table id=\"z78dc60563b5b\" class=\"equation\"><tr><td> <a id=\"x1-8009r7\"><\/a> <math class=\"equation\" display=\"block\"> <mtable class=\"aligned\"><mtr><mtd columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <\/mtr><mtr><mtd columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <\/mtr> <\/mtable> <\/math><\/td><td class=\"eq-no\">(1.7)<\/td><\/tr><\/table> <p class=\"indent\">Damit diese \u00c4quivalenzen wirklich immer (also auch f\u00fcr die leere Menge) gelten,                                                                                                                                                                           m\u00fcssen wir auch die obig erw\u00e4hnte Eigenheit des Allquantors f\u00fcr die leere Menge akzeptieren. <\/p><p class=\"indent\">Beispielsweise ist die Negation von \u201eAuf jedem Planeten herrscht Gravitation\u201c die Aussage \u201eEs gibt einen Planeten, auf dem keine Gravitation herrscht\u201c. Bei mehreren Quantoren verh\u00e4lt sich die Negation \u00e4hnlich wie ein Minus-Symbol vor einem geklammerten Ausdruck und kann <span class=\"ecti-1095\">nach Innen <\/span>geschoben werden. Wir empfehlen dies in folgender \u00dcbung zu \u00fcberdenken. <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z652a6081b249\"> <a id=\"x1-8010r10\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Wichtige <\/span><span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.10 <\/span>(Negation und verkettete Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine Teilmenge<\/span> <span class=\"ecti-1095\">der reellen Zahlen <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Bilden Sie die Negation folgender Aussagen und versuchen Sie die Negation so weit wie m<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glich<\/span> <span class=\"ecti-1095\">nach rechts zu verschieben (obwohl die Aussagen geometrische Bedeutung haben, muss man diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">weder kennen noch verstehen, um die Aufgabe zu l<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sen):<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Hier ist<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine gebr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">uchliche<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Kurzform f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">anders ausgedr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ckt f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Die Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">steht f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oder <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalenterweise<\/span> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">. Sie k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Negation von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auch einfach<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">schreiben, doch ist dies auf Grund <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">blicher Definitionen und Eigenschaften von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span><span class=\"ecti-1095\">.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">Eine L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung zum ersten Teil.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"> <span class=\"ecti-1095\">Wir demonstrieren die Vorgehensweise am ersten Teil der <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Auf Grund der direkt vor der <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung erw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Rechenregeln<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit Quantoren erhalten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">wir<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle><mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> )<\/mo><mrow \/><mo fence=\"true\" form=\"postfix\" \/><\/mrow><\/mstyle><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>\ud835\udf00<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&gt;<\/mo> <mn>0<\/mn><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-rel\">|<\/mo><mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mi>\ud835\udf00<\/mi><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><\/details>  <\/div> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z184d818e7805\"> <a id=\"x1-8011r11\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.11 <\/span>(Verkn\u00fcpfung von Quantoren)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir wollen in dieser <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecti-1095\">bung untersuchen, welche Eigenschaften All- und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Existenzquantor gemeinsam mit der Und- und Oder-Operation erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen. Seien<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zwei Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber Elemente <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">einer Menge <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Untersuchen Sie jeweils die beiden Aussagen in einer Zeile und <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berlegen Sie sich, ob diese<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalent sind oder ob bloss eine der Aussagen impliziert. Im zweiten Fall bestimmen Sie die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">st<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rkere<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">schw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">chere<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aussage und begr<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">nden Sie die Implikation. Beide der erw<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hnten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">M<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">glichkeiten treten zweimal auf.<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r die Untersuchung dieser Fragen empfiehlt es sich die Variablen in den beiden Quantoren rechts statt zweimal<\/span> <span class=\"ecti-1095\">mit <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">besser<\/span> <span class=\"ecti-1095\">getrennt mit <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">zu<\/span> <span class=\"ecti-1095\">bezeichnen.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">L<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">sung.<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Verwandte Operationen (<\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><\/math> <span class=\"ecti-1095\">beziehungsweise <\/span><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">)<\/span> <span class=\"ecti-1095\">vertragen sich hier sehr gut und ergeben <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00c4<\/span><span class=\"ecti-1095\">quivalenzen: In der ersten Zeile wird in beiden Aussagen behauptet,<\/span> <span class=\"ecti-1095\">dass sowohl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gilt. In der letzten Zeile wird in beiden Aussagen behauptet, dass es ein<\/span> <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gibt, f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r dass zumindest<\/span> <span class=\"ecti-1095\">eine der Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oder<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zutrifft. Die Aussagen links und rechts unterscheiden sich in diesen beiden F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">llen nur in der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Formulierung.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In der zweiten Zeile gilt aber bloss die Implikation<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Denn wenn links zum Beispiel<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zutrifft, so trifft nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlich auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zu. Die Umkehrung stimmt im Allgemeinen nicht, da in der Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aussagen <\/span><math display=\"inline\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><math display=\"inline\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r<\/span> <span class=\"ecti-1095\">verschiedene <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">abwechselnd zutreffen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnten, und dann sowohl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">falsch sein k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnten.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">In der dritten Zeile gilt hingegen<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Denn wenn f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein bestimmtes <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">sowohl<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">als auch<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zutreffen, so gelten<\/span> <span class=\"ecti-1095\">die beiden Aussagen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span> <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">auf jeden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Fall (in dem man <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r ein <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in<\/span> <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">w<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlt). Wiederum stimmt aber die Umkehrung im Allgemeinen nicht: In der Aussage<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">gibt es vielleicht nur<\/span> <span class=\"ecti-1095\">zwei verschiedene <\/span><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-rel\">\u2260<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>1<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ohne dass es<\/span> <span class=\"ecti-1095\">ein gemeinsames <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">mit<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">geben muss. <\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">Ein dritter Quantor, der h\u00e4ufig verwendet wird, ist der <span class=\"ecbx-1095\">Quantor der eindeutigen Existenz<\/span>, geschrieben <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><\/math> . Dieser l\u00e4sst sich mit Hilfe der beiden Quantoren <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><\/math> und <math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><\/math> wie folgt definieren: Die Aussage \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> wird durch <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201e<\/mtext><\/mstyle><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mstyle class=\"text\"><mtext>\u201c<\/mtext><\/mstyle><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">definiert. Sie bedeutet, dass es ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> gibt, das die Aussage \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> erf\u00fcllt und dass dieses <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> durch die Aussage eindeutig bestimmt ist. Es gibt also kein weiteres Element <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> welches nicht gleich <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> ist und \u201e <span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> erf\u00fcllt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z8eb412810195\"> <a id=\"x1-8012r12\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.12.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Formulieren Sie ein konkretes Beispiel zu obigem. In anderen Worten: finden Sie eine<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Aussage <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">ber Elemente einer Menge, die von genau einem Element erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt wird.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"likeparagraphHead\"><a id=\"x1-90002\"><\/a>Eine Warnung:<\/span> Sei <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> eine Menge und \u201e<span class=\"maendquote\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"endquote\">\u201c<\/span> eine Aussage \u00fcber Elemente von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Nach dem Satz  \u201eEs gibt ein eindeutig bestimmtes <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> das <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllt.\u201c wird oft dieses <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <\/math> in weiteren Argumenten verwendet. Da <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><\/msub><\/math> eindeutig festgelegt ist, ist dies akzeptabel und oft auch sehr nat\u00fcrlich. Manchmal wird aber auch nach dem Satz \u201e Es gibt ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> das <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math> erf\u00fcllt.\u201c so ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in der Argumentation ben\u00f6tigt. Hier sollte man erw\u00e4hnen, dass so ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">gew<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">hlt <\/span>wird. Des Weiteren sollte man, wenn n\u00f6tig, sicher stellen, dass das darauf Folgende nicht (oder nur auf unwesentliche Weise) von der Wahl von <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> abh\u00e4ngt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z61a93162f9ce\"> <a id=\"x1-9001r13\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">\u00dc<\/span><span class=\"ecbx-1095\">bung 1.13.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Zum Spass: Betrachten Sie den Satz<\/span> <span class=\"ecti-1095\">\u201e<\/span><span class=\"ecti-1095\">Everybody loves my babe, but my babe loves no one<\/span> <span class=\"ecti-1095\">but me<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u201c<\/span> <span class=\"ecti-1095\">(leicht adaptiert nach Louis Armstrong) vom streng logischen Standpunkt. Handelt er<\/span> <span class=\"ecti-1095\">von einem Liebespaar?<\/span> <\/p> <\/div> <a id=\"x1-9002r8\"><\/a> <h4 id=\"z51392f15ac41\" class=\"subsectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.3.3 <\/span> <a id=\"x1-100003\"><\/a>Eine kurze \u00dcbersicht<\/h4> <p class=\"noindent\">Wir wollen die wichtigsten logischen Begriffe der Aussagen- und Pr\u00e4dikatenlogik hier nochmals kurz in einer Tabelle zusammenfassen. <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"tabular\"><table class=\"tabular\" id=\"TBL-4\" rules=\"groups\"><colgroup id=\"TBL-4-1g\"><col id=\"TBL-4-1\" \/><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-4-2g\"><col id=\"TBL-4-2\" \/><\/colgroup><colgroup id=\"TBL-4-3g\"><col id=\"TBL-4-3\" \/><\/colgroup><tr id=\"TBL-4-1-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-1-1\" style=\"text-align:center\">                                  Abk\u00fcrzung                                                    <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-1-2\" style=\"text-align:center\">                                                                                                                              Bedeutung                                                                                                                                                                                                    <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-1-3\" style=\"text-align:center\">                                   Negation                                                       <\/td> <\/tr><tr class=\"hline\"><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><td><hr \/><\/td><\/tr><tr id=\"TBL-4-2-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-2-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-2-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> gilt nicht.                                                                                                                                        <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-2-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-3-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-3-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-3-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> gelten.                                                                         <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-3-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-4-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-4-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-4-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> oder <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> (einschliessend) gilt.                                                                <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-4-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-5-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-5-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d2<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-5-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> impliziert <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/math> <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-5-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-6-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-6-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mo class=\"MathClass-rel\">\u21d4<\/mo><mspace class=\"thickpace\" width=\"0.28em\" \/><mi>B<\/mi><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-6-2\" style=\"text-align:center\"> <math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><\/math> und <math display=\"inline\"><mi>B<\/mi><\/math> sind \u00e4quivalent.                                                                  <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-6-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2228<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2227<\/mo> <mi>B<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-7-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-7-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-7-2\" style=\"text-align:center\">     F\u00fcr alle <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> gilt <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>        <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-7-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-8-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-8-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-8-2\" style=\"text-align:center\">   Es existiert ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span>    <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-8-3\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi class=\"MathClass-op\">\u00ac<\/mi><mo> <\/mo><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-9-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-9-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mo class=\"MathClass-punc\">!<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-9-2\" style=\"text-align:center\">Es existiert genau ein <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> in <math display=\"inline\"><mi>X<\/mi><\/math> mit <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-9-3\" style=\"text-align:center\"> <\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-10-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-10-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-10-2\" style=\"text-align:center\">                                                                                                                    \u201eIndividuelle\/punktweise Existenz\u201c                                                                                                                                                                                     <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-10-3\" style=\"text-align:center\"> <\/td> <\/tr><tr id=\"TBL-4-11-\" style=\"vertical-align:baseline\"><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-11-1\" style=\"text-align:center\"><math display=\"inline\"><mi class=\"MathClass-op\">\u2203<\/mi><mo> <\/mo><mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>Y<\/mi> <mi class=\"MathClass-op\">\u2200<\/mi><mo> <\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>X<\/mi> <mo class=\"MathClass-punc\">:<\/mo> <mi>A<\/mi><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-11-2\" style=\"text-align:center\">                                                                                                                   \u201eUniverselle\/gleichm\u00e4ssige Existenz\u201c                                                                                                                                                                                   <\/td><td class=\"td11\" id=\"TBL-4-11-3\" style=\"text-align:center\"> <\/td><\/tr><\/table> <\/div><\/div> <p class=\"noindent\">F\u00fcr die letzten beiden Zeilen verweisen wir auf die Diskussion nach (<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8003r5\">1.5<\/a>)-(<a href=\"..\/..\/chapter\/logische-begriffe#x1-8004r6\">1.6<\/a>). Wir \u00fcberlassen es der Leserin\/dem Leser die Tabelle zu vervollst\u00e4ndigen und so lange mit Kolleginnen und Kollegen zu besprechen, bis alle auftretenden Zeilen f\u00fcr Sie logisch sind.                                                                                                                                                                           <a id=\"x1-10001r6\"><\/a> <\/p> \n","protected":false},"author":1089,"menu_order":3,"template":"","meta":{"pb_show_title":"","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-26","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":23,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/26","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/26\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/23"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/26\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=26"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=26"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=26"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=26"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}