{"id":24,"date":"2021-12-15T09:52:55","date_gmt":"2021-12-15T09:52:55","guid":{"rendered":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/quadratur-der-parabel\/"},"modified":"2021-12-15T09:52:55","modified_gmt":"2021-12-15T09:52:55","slug":"quadratur-der-parabel","status":"publish","type":"chapter","link":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/chapter\/quadratur-der-parabel\/","title":{"raw":"Quadratur der Parabel","rendered":"Quadratur der Parabel"},"content":{"raw":"\n<style>.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.fbox {display:table}\ndiv.center div.fbox {text-align:center; clear:both; padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\ndiv.minipage{width:100%;}\ndiv.center, div.center div.center {text-align: center; margin-left:1em; margin-right:1em;}\ndiv.center {text-align: left;}\ndiv.flushright, div.flushright div.flushright {text-align: right;}\ndiv.flushright div {text-align: left;}\ndiv.flushleft {text-align: left;}\n.underline{ text-decoration:underline; }\n.underline img{ border-bottom: 1px solid black; margin-bottom:1pt; }\n.framebox-c, .framebox-l, .framebox-r { padding-left:3.0pt; padding-right:3.0pt; text-indent:0pt; border:solid black 0.4pt; }\n.framebox-c {text-align:center;}\n.framebox-l {text-align:left;}\n.framebox-r {text-align:right;}\nspan.thank-mark{ vertical-align: super }\nspan.footnote-mark sup.textsuperscript, span.footnote-mark a sup.textsuperscript{ font-size:80%; }\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; 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font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; 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width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style>\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"z8512c8d7b08e\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.1 <\/span> <a id=\"x1-40001\"><\/a>Quadratur der Parabel<\/h3> <p class=\"noindent\">Als Beispiel, wie wir hier denken und vorgehen wollen, aber auch als Einleitung in die Integralrechnung, werden wir uns in diesem Abschnitt mit dem Bereich <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-4001r1\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.1)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">unter der Parabel zwischen <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> besch\u00e4ftigen und dessen Fl\u00e4cheninhalt berechnen. Dieser Fl\u00e4cheninhalt wurde als erster krummlinig begrenzter Bereich schon von Archimedes (ca.&nbsp;287\u2013ca.&nbsp;212 v.Chr.) im 3.&nbsp;Jahrhundert v.Chr. bestimmt. (Historisch Interessierten empfehlen wir auch den <a href=\"http:\/\/www.bbc.co.uk\/programmes\/b00773bv\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Podcast<\/a> der BBC \u00fcber Archimedes, wobei man bei der zwanzigsten Minute einsteigen kann, wenn man wenig Zeit hat.) Wir wollen f\u00fcr die Fl\u00e4chenberechnung davon ausgehen, dass wir wissen, was die Symbole in der Definition in Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4001r1\">1.1<\/a>) bedeuten und dass <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> gerade den Bereich in folgendem Bild (Figur <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4002r1\">1.1<\/a>) beschreibt.<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Insbesondere nehmen wir vorl\u00e4ufig an, dass wir die Menge <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> der reellen Zahlen bereits kennen.<\/span><\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=285&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture1.pdf\"><img id=\"z3e3513731e62\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture1.svg\" width=\"285\"><\/div> <a id=\"x1-4002r1\"><\/a> <a id=\"x1-4003\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.1: <\/span><span class=\"content\">Der Bereich <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Nat\u00fcrlich ist die Berechnung des Fl\u00e4cheninhalts von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> keine Herausforderung und innerhalb von Sekunden m\u00f6glich, wenn wir das bestimmte (Riemann-) Integral und die dazugeh\u00f6rigen Rechenregeln verwenden. Wir wollen dies jedoch nicht als bekannt voraussetzen, da wir das Integral erst in etwa einem Monat einf\u00fchren und verstehen werden. <\/p><p class=\"indent\">Genau genommen m\u00fcssen wir uns vor der Berechnung folgende fundamentale Frage stellen: <\/p><blockquote class=\"quote\"> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Was ist eigentlich ein Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt?<\/span><\/p><\/div> <\/blockquote> <p class=\"noindent\">Wenn wir diese Frage nicht genau beantworten k\u00f6nnen, dann k\u00f6nnen wir eigentlich nicht wissen, was es bedeutet, den Fl\u00e4cheninhalt von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> zu berechnen. Deswegen relativieren wir unser Ziel in folgender Weise \u2013 eine <span class=\"ecti-1095\">Proposition <\/span>ist ein mathematischer Satz, also eine mathematische Aussage, mittlerer Bedeutung: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z1ac3146c10f5\"> <a id=\"x1-4004r1\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 1.1 <\/span>(Fl\u00e4cheninhalt unter der Parabel)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen es gibt einen Begriff eines Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalts f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Bereiche in<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math><span class=\"ecti-1095\">, der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">folgende Eigenschaften erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt:<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Der Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt des sogenannten abgeschlossenen Rechtecks<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>d<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und des sogenannten offenen Rechtecks<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">ist gleich <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">, wobei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">reelle Zahlen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sind mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Bereich in <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist und <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein in <\/span><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">enthaltener Bereich ist, dann ist der Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">kleiner oder gleich dem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Bereiche <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">ohne gemeinsame Punkte ist der Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt des vereinigten Bereiches<\/span> <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Summe der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalte von <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Dann ist der Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt von <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wie in Gleichung<\/span>  (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4001r1\">1.1<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">(falls <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berhaupt definiert) gleich<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">In anderen Worten: wir haben die Frage, ob es einen Begriff des Fl\u00e4cheninhalts gibt und f\u00fcr welche Bereiche dieser definiert ist, offengelassen, wollen aber zeigen, dass <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> der einzige \u201cvern\u00fcnftige\u201d  Wert f\u00fcr den Fl\u00e4cheninhalt von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> darstellt. Die Idee unseres Beweises wird auch im folgenden Applet dargestellt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zeb3ce46a9eae\"> <a id=\"x1-4005r2\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 1.2 <\/span>(Absch\u00e4tzung eines Fl\u00e4cheninhaltes)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><\/p><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 657px\"><iframe height=\"624px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/b8fkmbfv\/width\/657\/height\/624\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir verwenden jeweils bis zu 1000 Rechtecke um den Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt von unten und von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oben abzusch<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzen. Im Beweis unten werden wir aber unbegrenzt viele Rechtecke verwenden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen damit den Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt ohne jegliche Unsch<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rfe genau bestimmen.<\/span> <\/p><p class=\"indent\"><\/p><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">(Bitte hier klicken!)<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Wir verwenden die Farbe Orange im eSkript und den Applets f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r all<\/span> <span class=\"ecti-1095\">jene Objekte, die Sie anklicken, bewegen oder einstellen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen. In den meisten unserer Apps<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten Sie Erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rungen zu Objekten, wenn Sie auf diese klicken beziehungsweise tippen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr den Beweis von Proposition <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4004r1\">1.1<\/a> ben\u00f6tigen wir ein <span class=\"ecti-1095\">Lemma <\/span>(auch <span class=\"ecti-1095\">Hilfssatz <\/span>genannt): <\/p> <div class=\"me melemma\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"zcb020cb5172c\"> <a id=\"x1-4006r3\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 1.3 <\/span>(Summenformel mittels Induktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahl. Dann gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-4007r2\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.2)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis (mittels vollst\u00e4ndiger Induktion).<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\"> F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist die linke Seite von Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) gleich <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und die rechte Seite gleich <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also stimmt Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dieser Beweisschritt wird Induktionsanfang genannt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Angenommen wir wissen bereits, dass Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) f\u00fcr die nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> gilt. Wir wollen nun zeigen, dass daraus folgt, dass Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) auch f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> gilt. Hierzu beginnen wir mit der rechten Seite von Gleichung&nbsp;(<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und erhalten <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>3<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">durch geschicktes Umformen, Umordnen und Zusammenfassen gewisser Terme. Der erste Klammerausdruck in der letzten Zeile ist nun genau die rechte Seite der Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) (die wir f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> als bekannt angenommen haben). Der zweite Klammerausdruck ist genau <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> weswegen wir <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">gezeigt haben. <span class=\"ecti-1095\">Dieser Beweisschritt wird Induktionsschritt genannt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Es folgt, dass Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) wegen dem Induktionsanfang f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> stimmt und daher auch f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math> wegen dem Induktionsschritt und weiter f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>3<\/mn><\/math> wieder wegen dem Induktionsschritt. F\u00e4hrt man so weiter, erh\u00e4lt man (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) f\u00fcr jede nat\u00fcrliche Zahl. <span class=\"ecti-1095\">Wir sagen, dass Gleichung<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">mittels vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndiger Induktion f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">folgt. Des Weiteren deuten wir das Ende des Beweises mit einem kleinen Quadrat an<\/span>. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\"> <\/p> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open><summary><b>Beweis von Proposition <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4004r1\">1.1<\/a>.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\"> Wir nehmen an, dass es einen Begriff des Fl\u00e4cheninhalts mit den Eigenschaften in der Proposition gibt und dieser f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> definiert ist. Angenommen <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> ist der Fl\u00e4cheninhalt von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir \u00fcberdecken <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> f\u00fcr eine gegebene nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> mit Rechtecken wie in Figur <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4008r2\">1.2<\/a>. <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=244&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture4.pdf\"><img id=\"z8b9fc5e506ac\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture4.svg\" width=\"244\"><\/div> <a id=\"x1-4008r2\"><\/a> <a id=\"x1-4009\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.2: <\/span><span class=\"content\">Die \u00dcberdeckung von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math>             mit Rechtecken f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Wir erhalten aus den angenommenen Eigenschaften des Fl\u00e4cheninhalts und Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4006r3\">1.3<\/a>, dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>I<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Wir bemerken, dass die Geradenst\u00fccke, bei denen sich die Rechtecke ber\u00fchren, Fl\u00e4cheninhalt <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> haben und wir sie also einfach ignorieren d\u00fcrfen. <button class=\"hover-trigger\">(Warum genau?)<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">Betrachten Sie die offenen Rechtecke, interpretieren Sie die Seiten der Rechtecke als abgeschlossene Rechtecke mit Fl\u00e4cheninhalt Null, und verwenden Sie nun die angenommene Additionseigenschaft f\u00fcr Mengen ohne gemeinsame Punkte.<\/span><\/span> Verwenden wir hingegen Rechtecke wie in Figur <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4010r3\">1.3<\/a> erhalten wir ebenso <\/p> <div class=\"center\"> <p class=\"noindent\"> <\/p><p class=\"noindent\"><\/p><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=244&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture5.pdf\"><img id=\"zbb6884d79890\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture5.svg\" width=\"244\"><\/div> <a id=\"x1-4010r3\"><\/a> <a id=\"x1-4011\"><\/a> <br><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.3: <\/span><span class=\"content\">Von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math>             \u00fcberdeckte          Kollektion          von          Rechtecken          f\u00fcr               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"noindent\"> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>I<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> Zusammenfassend gilt also <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die einzige Zahl, die kleiner als <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> und gr\u00f6sser als <math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> ist f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ist die <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies ist anschaulich relativ klar (siehe unten) und wird sp\u00e4ter aus dem <span class=\"ecti-1095\">Archimedischen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Prinzip <\/span>folgen, welches wir in drei Wochen ausf\u00fchrlich besprechen werden. Daher gilt <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> und die Proposition folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir haben in obigem Beweis folgenden Satz ben\u00f6tigt: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z772218a406e1\"> <span class=\"ecbx-1095\">Satz <\/span>(Eine Version des Archimedischen Prinzips)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Ungleichung <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt, dann ist <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Warum ist dies \u201eanschaulich klar\u201c? Stellen Sie sich <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> in der Dezimaldarstellung vor. Verwenden wir die Annahme f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so sehen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> von der Form <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mn>0<\/mn><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math> sein muss f\u00fcr vorerst unbekannte Ziffern <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Verwenden wir nun <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann sehen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> nach dem Komma mindestens <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math> Nullen haben muss (das heisst, <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>). Da aber die Annahme ebenso f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> f\u00fcr eine beliebige nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> gilt, sehen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> unendlich viele Nullen nach dem Komma haben muss. Also ist <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> Null. Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so erf\u00fcllt <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> die Ungleichung <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> und insbesondere ist <math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           und damit <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> gleich Null nach vorherigem Argument. Dies ist kein Beweis (ausser man hat vorher die reellen Zahlen als Dezimalbr\u00fcche eingef\u00fchrt und alle \u00fcbliche Eigenschaften bewiesen) \u2013 wir werden sp\u00e4ter unter Verwendung klar formulierter Axiome einen vollst\u00e4ndigen Beweis des Archimedischen Prinzips erbringen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <p class=\"indent\"><\/p><h4 id=\"z4b501b7e8c93\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\">Wie schon erw\u00e4hnt, haben wir die Frage, ob es einen Fl\u00e4cheninhalt f\u00fcr Bereiche im <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> gibt, nicht beantwortet. Wir haben auch nicht genau beschrieben, was denn eigentlich Bereiche im <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> sind; wir sind  aber  implizit  davon  ausgegangen,  dass  Bereiche  jene  Teilmengen  des <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> sind, denen wir  einen  Fl\u00e4cheninhalt  zuordnen  k\u00f6nnen.  Diese  grundlegenden  Fragen werden zum Teil  in  Analysis  I  und  II  mit  den  Begriffen  des  Riemann-Integrals  und  der Jordan-messbaren  Mengen  beantwortet.  Des  Weiteren  werden  diese  Fragen  in  gr\u00f6sserer Allgemeinheit in der Vorlesung Analysis III \u00fcber Mass- und Integrationstheorie im dritten Semester und  anderen  weiterf\u00fchrenden  Vorlesungen  im  dritten  oder  vierten  Jahr  des Mathematikstudiums besprochen. <\/p> <\/div> <a id=\"x1-4012r4\"><\/a> \n","rendered":"\n<style scoped=\"scoped\">.cmr-5{font-size:50%;}\n.cmr-7{font-size:70%;}\n.cmmi-5{font-size:50%;font-style: italic;}\n.cmmi-7{font-size:70%;font-style: italic;}\n.cmmi-10{font-style: italic;}\n.cmsy-5{font-size:50%;}\n.cmsy-7{font-size:70%;}\n.cmbx-10{ font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-10{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-size:70%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-7{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-size:50%;font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmbsy-5{font-weight: bold;}\n.cmex-7{font-size:70%;}\n.cmex-7x-x-71{font-size:49%;}\n.msam-7{font-size:70%;}\n.msam-5{font-size:50%;}\n.msbm-7{font-size:70%;}\n.msbm-5{font-size:50%;}\n.cmr-17{font-size:170%;}\n.cmr-12{font-size:120%;}\n.cmti-10{ font-style: italic;}\np{margin-top:0;margin-bottom:0}\np.indent{text-indent:0;}\np + p{margin-top:1em;}\np + div, p + pre {margin-top:1em;}\ndiv + p, pre + p {margin-top:1em;}\n@media print {div.crosslinks {visibility:hidden;}}\na img { border-top: 0; 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float:right; text-align:left; margin-left:auto; margin-top:0.5em; font-size:85%; text-decoration:underline;}\n.marginpar p,.reversemarginpar p{margin-top:0.4em; margin-bottom:0.4em;}\n.reversemarginpar{float:left;}\n.equation td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntd.eq-no{ width:5%; }\ntable.equation { width:100%; }\ndiv.math-display, div.par-math-display{text-align:center;}\nmtr.hline mtd{ border-bottom:black solid 1px; padding-top:2px; padding-bottom:0em; }\nmtr.hline mtd mo{ display:none }\nmath .texttt { font-family: monospace; }\nmath .textit { font-style: italic; }\nmath .textsl { font-style: oblique; }\nmath .textsf { font-family: sans-serif; }\nmath .textbf { font-weight: bold; }\nmo.MathClass-op + mi{margin-left:0.3em}\nmi + mo.MathClass-op{margin-left:0.3em}\n math mstyle[mathvariant=\"bold\"] { font-weight: bold; font-style: normal; }\n math mstyle[mathvariant=\"normal\"] { font-weight: normal; font-style: normal; }\n.partToc a, .partToc, .likepartToc a, .likepartToc {line-height: 200%; font-weight:bold; font-size:110%;}\n.index-item, .index-subitem, .index-subsubitem {display:block}\ndiv.caption {text-indent:-2em; margin-left:3em; margin-right:1em; text-align:left;}\ndiv.caption span.id{font-weight: bold; white-space: nowrap; }\nh1.partHead{text-align: center}\np.bibitem { text-indent: -2em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\np.bibitem-p { text-indent: 0em; margin-left: 2em; margin-top:0.6em; margin-bottom:0.6em; }\n.paragraphHead, .likeparagraphHead { margin-top:2em; font-weight: bold;}\n.subparagraphHead, .likesubparagraphHead { font-weight: bold;}\n.quote {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; margin-right:1em; text-align:justify;}\n.verse{white-space:nowrap; margin-left:2em}\ndiv.maketitle {text-align:center;}\nh2.titleHead{text-align:center;}\ndiv.maketitle{ margin-bottom: 2em; }\ndiv.author, div.date {text-align:center;}\ndiv.thanks{text-align:left; margin-left:10%; font-size:85%; font-style:italic; }\ndiv.author{white-space: nowrap;}\n.quotation {margin-bottom:0.25em; margin-top:0.25em; margin-left:1em; }\n.abstract p {margin-left:5%; margin-right:5%;}\ndiv.abstract {width:100%;}\ndiv.tabular, div.center div.tabular {text-align: center; margin-top:0.5em; margin-bottom:0.5em; }\ntable.tabular td p{margin-top:0em;}\ntable.tabular {margin-left: auto; margin-right: auto;}\ntd p:first-child{ margin-top:0em; }\ntd p:last-child{ margin-bottom:0em; }\ndiv.td00{ margin-left:0pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td01{ margin-left:0pt; margin-right:5pt; }\ndiv.td10{ margin-left:5pt; margin-right:0pt; }\ndiv.td11{ margin-left:5pt; margin-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\ntd.td00{ padding-left:0pt; padding-right:0pt; }\ntd.td01{ padding-left:0pt; padding-right:5pt; }\ntd.td10{ padding-left:5pt; padding-right:0pt; }\ntd.td11{ padding-left:5pt; padding-right:5pt; }\ntable[rules] {border-left:solid black 0.4pt; border-right:solid black 0.4pt; }\n.hline hr, .cline hr{ height : 0px; margin:0px; }\n.hline td, .cline td{ padding: 0; }\n.hline hr, .cline hr{border:none;border-top:1px solid black;}\n.equation-star td{text-align:center; vertical-align:middle; }\ntable.equation-star { width:100%; border-bottom-color: rgb(255,255,255); }\n#content table.equation-star, #content table.equation-star tbody tr td { border: 0px none rgb(255,255,255); }\nmtd.align-odd{margin-left:2em; text-align:right;}\nmtd.align-even{margin-right:2em; text-align:left;}\n.boxed{border: 1px solid black; padding-left:2px; padding-right:2px;}\n.rotatebox{display: inline-block;}\n.item-head{float:left;width:2em;clear:left;}\n.item-content{margin-left:2em;}\n .foreignobject {line-height:100%; font-size:120%; font-family:STIXgeneral,Times,Symbol,cmr10,CMSY10,CMEX10;padding:0; margin:0; text-align:center; }\nmath {vertical-align:baseline; line-height:100%; font-size:100%; font-family:STIXGeneral,Times,Symbol, cmr10,cmsy10,cmex10,cmmi10; font-style: normal; margin:0; padding:0; }\n\n.entry-title{display: none}\n\ndiv.newtheorem { margin-bottom: 2em; margin-top: 2em; border: 1px solid #333; background: #c7e4da; border-color: #4eb79e;}\ndiv.newtheorem h3 { background: #4eb79e; color: white; padding: 0px 15px 0px 15px; margin-top: 12px}\ndiv.newtheorem p { padding: 15px 15px 15px 15px; }\n\ndiv.newtheorem p span.head .ecbx-1095{font-weight: bold}\ndiv.newtheorem p .ecti-1095{font-style: italic}\ndiv.newtheorem div.custom-itemize{font-style: italic}\ndiv.quote{font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl, dl.enumerate {display: grid; grid-template-columns: 5% auto; align-items: start; margin-top: 1em}\ndiv.newtheorem dl dd, dl.enumerate dd {margin-bottom: 0.5em}\ndiv.newtheorem dl dt, dl.enumerate dt {font-weight: normal; margin-top: 0px; text-align: right; margin-right: 15%}\ndiv.newtheorem dl dd {font-style: italic}\ndiv.newtheorem dl dt {font-style: italic}\ndiv.proof p span.ecti-1095 {font-style: italic}\ndiv.figure p img { margin-left: auto; margin-right: auto; display: block; }\ndiv.mefigcentered, div.figure { text-align: center }\n\ndl:after {content:\"\";display:table;clear:both;}\ndd {padding:.5em 0;}\ndl {width:100%;}\ndt, dd {display:inline-block; width:125%;}\ndt {text-align:right; font-weight:bold; clear:left; float:left;}\ndd {width:100%; padding-left:1em; padding-top: 0px; clear:right;}\ndd + dd {float:right; clear:both;}\ndd + dt {clear:both;}\ndt + dt {width: 100%; float: none; padding: 0 70% 0 0;}\ndt + dt + dd {margin-top: -2em;}\ndt + dt + dd + dt {margin-top: 2em;}\n<\/style>\n<style scoped=\"scoped\">\n\/* CSS Analysis-Skript D-Math ETHZ *\/\n\n\/* Uniform Font, also for headers *\/\nh3 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n\tmargin-bottom: 35px;\n}\nh4 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\nh5 {\n\tfont-family: \"Times New Roman\", serif;\n}\n\n\/* Bold font, e.g. for definitions *\/\n.ecbx-1095 {font-weight: 550 ;}\n\n\n\/* Uniform spacing, indent: larger, noindent, enumerate, itemize *\/\np.indent {\n\tmargin: 25px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\np.noindent {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n\ttext-indent: 0px; \n}\ndl.enumerate {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndl.enumerate dt, dl.enumerate dd {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\ndiv.custom-itemize {\n\tmargin: 0px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n\ttext-align: center;\n}\ndiv.custom-itemize div.item-head:first-of-type {\n\tmargin-top: 0px;\n} \ndiv.custom-itemize div.item-content {\n\tmargin-top: 15px;\n\tmargin-bottom: 0px;\n}\n.MJXc-display {\n\tmargin: 15px 0px 0px 0px;\n}\n\n\n\n\/* green metheorem\/melemma CSS class for more\/medium important latex-theorem-environments *\/\n\/* metheorem box+header *\/\ndiv.metheorem {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #c7e4da;\n}\ndiv.metheorem h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* melemma box+header *\/\ndiv.melemma {\n    margin-bottom: 40px;\n    margin-top: 40px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n    border: 1px solid #333;\n    border-color: #4eb79e;\n    background: #F2F2F2;\n}\ndiv.melemma h4 {\n    background: #4eb79e;\n    color: white;\n\tmargin-top: 12px;\n\tmargin-left: -15px;\n\tmargin-right: -15px;\n\tpadding: 0px 15px 0px 15px;\n}\n\/* meexample box+header *\/\ndiv.meexample {\n    margin-bottom: 30px;\n    margin-top: 30px;\n\tpadding: 0px 15px 15px 15px;\n\tborder-color: gainsboro;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n}\ndiv.meexample h4 {\n\tfont-size: inherit;\n\tfont-weight: bold;\n    padding: 15px 0px 0px 0px;\n\tmargin-top: 0px;\n\tmargin-bottom: 5px;\n}\ndiv.meexample h4+p.noindent, div.meexample h4+p.indent {\n\tmargin-top: 5px;\n\ttext-indent: 0px;\n}\n\/* padding and margins for stuff inside these boxes, CSS-selector &gt; doesn't work in WP *\/\ndiv.me details {\n\tmargin: 10px 0px 0px 0px;\n}\ndiv.me dd {\n    width: calc(100% - 30px);\n}\t\n\n\n\/* fixing background of pictures *\/\nimg {\n\tbackground: white;\n}\n\n\/* div-container for centered geoapplet *\/\ndiv.geoapplet {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n\tmargin-top: 15px;\n\tmax-width: 100%;\n}\ndiv.geoapplet iframe {\n\tborder-style: none;\n\tmax-height: 110vw;\n}\n\n\/* div-container for centered squeezed tables *\/\ndiv.websqueeze {\n\tmargin-left: auto;\n\tmargin-right: auto;\n}\n\n\/* two containers for squeezing text sizes *\/\ndiv.mesmalltext, div.mesmalltext * {\n\tfont-size: 15px;\n}\nspan.metinytext, span.metinytext * {\n\tfont-size: 12px;\n}\n\n\n\/* removing grid lines in equations *\/\n#content table.equation tr td, #content table.equation tr th {\n    border: none;\n}\n#content table.equation {\n    border: none;\n}\n\n\/* hover\/click-solution for short inline explanations and footnotes *\/\n.hover-text {    \/* hidden part *\/\n    display: none;\n}\n.marginpar {     \/* style for footnote as marginpar *\/\n\ttext-decoration: none;\n\tborder: solid;\n\tborder-width: 1pt;\n\tpadding: 3pt;\t\n\twidth: 30%;\n\tbackground: white;\n}\n.hover-trigger { \/* style for hover\/click-trigger text\/symbol *\/\n\tbackground: none;\n\tborder: none;\n\tpadding: 0;\n\toutline: inherit;\t\n\ttext-transform: none;\n\tfont: inherit;\n\tposition: inherit;\n\tvertical-align: baseline;\n    color: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n.hover-trigger:hover +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n.hover-trigger:active +.hover-text{\n    display: inline;\n}\n\n\/* simplifying style of details\/summary, removing triangle *\/\ndetails summary {\n  background: none;\n  list-style: none;\n  outline: none;\n  cursor: pointer;\n}\ndetails summary::-webkit-details-marker { \n  display: inline;\n  display: none;\n}\n\n\/* MC-True\/False as inline details\/summary *\/\ndetails.mcquest, div.me details.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tmargin-top: 0px;\n}\nsummary.mcquest {\n\tdisplay: inline;\n\tcolor: #FF7F00;\n\tcursor: help;\n}\n\n\/* proof style: simple black box with gray background \n                little black square at the end on the right *\/\ndiv.proof {\n\tborder-color: black;\n\tborder-style: solid;\n\tborder-width: thin;\n\tbackground-color: #F2F2F2;\n\tpadding: 15px;\n\tmargin-top: 1em; \n}\ndiv.proof p:first-of-type {\n\tmargin: 0px;\n}\ndiv.qed {\n\tmargin-top: -25px;\n\tmargin-bottom: -7px;\n\ttext-align: right;\n}\ntable.equation+div.qed {\n\tmargin-top: -65px;\n}\n\n\/* The following is making also math-formulas inside the headers of Lemmas, etc., white. *\/\ndiv.melemma h4 span {\n    color: white;\n}\ndiv.metheorem h4 span {\n    color: white;\n}\n\n\/* The following are used to avoid fullstop, period, colon, semicolon, and endquote (broader) to move by itself to the next line after a formula.\n   The math-environment before needs to be wrapped in span.maperiod and the fullstop etc. in a span.period --- together they achieve what we want.  *\/\nspan.maperiod {\n       margin-right: 5px;\n}\nspan.period {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -5px;\n       margin-right: 4.9px;\n\t   text-indent: 0px;\n}\nspan.maendquote {\n       margin-right: 8px;\n}\nspan.endquote {\n       display: inline-block;\n       width: 0px;\n       margin-left: -8px;\n       margin-right: 7.9px;\n}\n\n\n\/* The following is removing an extra space left of the equation side in aligned equations *\/\nspan.mjx-mtd {\n    padding-left: 0em !important;\n}\n\n\/* The following fixes the weird problem that math appears smaller if it was rendered while the details tag was closed. *\/\ndetails span.mjx-chtml, details span.MathJax_CHTML {\n font-size: 100% !important;\n}\n\n\/* trying to fix line breaks in verbatim, new lines are missing *\/\npre.verbatim {\n\twhite-space: pre-wrap;\n\tfont-size: small;\n}\n<\/style><h3 id=\"z8512c8d7b08e\" class=\"sectionHead\"><span class=\"titlemark\">1.1 <\/span> <a id=\"x1-40001\"><\/a>Quadratur der Parabel<\/h3> <p class=\"noindent\">Als Beispiel, wie wir hier denken und vorgehen wollen, aber auch als Einleitung in die Integralrechnung, werden wir uns in diesem Abschnitt mit dem Bereich <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>P<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <msup><mrow><mi>x<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-4001r1\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.1)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">unter der Parabel zwischen <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> und <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> besch\u00e4ftigen und dessen Fl\u00e4cheninhalt berechnen. Dieser Fl\u00e4cheninhalt wurde als erster krummlinig begrenzter Bereich schon von Archimedes (ca.&nbsp;287\u2013ca.&nbsp;212 v.Chr.) im 3.&nbsp;Jahrhundert v.Chr. bestimmt. (Historisch Interessierten empfehlen wir auch den <a href=\"http:\/\/www.bbc.co.uk\/programmes\/b00773bv\" target=\"_blank\" rel=\"noopener\">Podcast<\/a> der BBC \u00fcber Archimedes, wobei man bei der zwanzigsten Minute einsteigen kann, wenn man wenig Zeit hat.) Wir wollen f\u00fcr die Fl\u00e4chenberechnung davon ausgehen, dass wir wissen, was die Symbole in der Definition in Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4001r1\">1.1<\/a>) bedeuten und dass <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> gerade den Bereich in folgendem Bild (Figur <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4002r1\">1.1<\/a>) beschreibt.<button class=\"hover-trigger\" style=\"vertical-align: super;font: smaller\">\u2020<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">\u2020 Insbesondere nehmen wir vorl\u00e4ufig an, dass wir die Menge <math display=\"inline\"><mi>\u211d<\/mi><\/math> der reellen Zahlen bereits kennen.<\/span><\/span> <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=285&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture1.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z3e3513731e62\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture1.svg\" width=\"285\" \/><\/div> <a id=\"x1-4002r1\"><\/a> <a id=\"x1-4003\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.1: <\/span><span class=\"content\">Der Bereich <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Nat\u00fcrlich ist die Berechnung des Fl\u00e4cheninhalts von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> keine Herausforderung und innerhalb von Sekunden m\u00f6glich, wenn wir das bestimmte (Riemann-) Integral und die dazugeh\u00f6rigen Rechenregeln verwenden. Wir wollen dies jedoch nicht als bekannt voraussetzen, da wir das Integral erst in etwa einem Monat einf\u00fchren und verstehen werden. <\/p><p class=\"indent\">Genau genommen m\u00fcssen wir uns vor der Berechnung folgende fundamentale Frage stellen: <\/p><blockquote class=\"quote\"> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Was ist eigentlich ein Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt?<\/span><\/p><\/div> <\/blockquote> <p class=\"noindent\">Wenn wir diese Frage nicht genau beantworten k\u00f6nnen, dann k\u00f6nnen wir eigentlich nicht wissen, was es bedeutet, den Fl\u00e4cheninhalt von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> zu berechnen. Deswegen relativieren wir unser Ziel in folgender Weise \u2013 eine <span class=\"ecti-1095\">Proposition <\/span>ist ein mathematischer Satz, also eine mathematische Aussage, mittlerer Bedeutung: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z1ac3146c10f5\"> <a id=\"x1-4004r1\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Proposition 1.1 <\/span>(Fl\u00e4cheninhalt unter der Parabel)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Angenommen es gibt einen Begriff eines Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalts f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Bereiche in<\/span> <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math><span class=\"ecti-1095\">, der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">folgende Eigenschaften erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt:<\/span> <\/p> <div class=\"custom-itemize\"><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Der Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt des sogenannten abgeschlossenen Rechtecks<\/span> <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">[<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">]<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>d<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">und des sogenannten offenen Rechtecks<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u00d7<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>d<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> {<\/mo><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>x<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>y<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-rel\">\u2223<\/mo><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/><mi>c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>y<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">&lt;<\/mo> <mi>d<\/mi><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">}<\/mo><\/mrow><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">ist gleich <\/span><math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>b<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>d<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/math><span class=\"ecti-1095\">, wobei<\/span> <math display=\"inline\"><mi>a<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>c<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">reelle Zahlen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">sind mit <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>a<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>b<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>c<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>d<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p><\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">Falls <\/span><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Bereich in <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ist und <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">ein in <\/span><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">enthaltener Bereich ist, dann ist der Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt von<\/span> <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">kleiner oder gleich dem<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt von <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/div><div class=\"item-head\"> <span class=\"tcrm-1095\">\u2022<\/span><\/div><div class=\"item-content\"><span class=\"ecti-1095\">F<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r Bereiche <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">in <\/span><math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> <span class=\"ecti-1095\">ohne gemeinsame Punkte ist der Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt des vereinigten Bereiches<\/span> <math display=\"inline\"><mi>F<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u222a<\/mo> <mi>G<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Summe der<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalte von <\/span><math display=\"inline\"><mi>F<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">und <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>G<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span><\/div><\/div> <p class=\"noindent\"><span class=\"ecti-1095\">Dann ist der Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt von <\/span><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">wie in Gleichung<\/span>  (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4001r1\">1.1<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">(falls <\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">berhaupt definiert) gleich<\/span> <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">In anderen Worten: wir haben die Frage, ob es einen Begriff des Fl\u00e4cheninhalts gibt und f\u00fcr welche Bereiche dieser definiert ist, offengelassen, wollen aber zeigen, dass <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> der einzige \u201cvern\u00fcnftige\u201d  Wert f\u00fcr den Fl\u00e4cheninhalt von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> darstellt. Die Idee unseres Beweises wird auch im folgenden Applet dargestellt. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zeb3ce46a9eae\"> <a id=\"x1-4005r2\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Applet 1.2 <\/span>(Absch\u00e4tzung eines Fl\u00e4cheninhaltes)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"geoapplet\" style=\"width: 657px\"><iframe height=\"624px\" scrolling=\"no\" src=\"https:\/\/www.geogebra.org\/material\/iframe\/id\/b8fkmbfv\/width\/657\/height\/624\/border\/888888\/rc\/false\/ai\/false\/sdz\/false\/smb\/false\/stb\/false\/stbh\/false\/ld\/false\/sri\/false\" style=\"border:0px\"><\/iframe><\/div><p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wir verwenden jeweils bis zu 1000 Rechtecke um den Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt von unten und von<\/span> <span class=\"ecti-1095\">oben abzusch<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">tzen. Im Beweis unten werden wir aber unbegrenzt viele Rechtecke verwenden<\/span> <span class=\"ecti-1095\">und k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen damit den Fl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">cheninhalt ohne jegliche Unsch<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rfe genau bestimmen.<\/span> <\/p><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><details><summary style=\"color:#FF7F00\"><span class=\"ecti-1095\">(Bitte hier klicken!)<\/span><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 0\"><span class=\"ecti-1095\">Wir verwenden die Farbe Orange im eSkript und den Applets f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r all<\/span> <span class=\"ecti-1095\">jene Objekte, die Sie anklicken, bewegen oder einstellen k<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00f6<\/span><span class=\"ecti-1095\">nnen. In den meisten unserer Apps<\/span> <span class=\"ecti-1095\">erhalten Sie Erkl<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">rungen zu Objekten, wenn Sie auf diese klicken beziehungsweise tippen.<\/span><\/p><\/details>  <\/div> <p class=\"indent\">F\u00fcr den Beweis von Proposition <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4004r1\">1.1<\/a> ben\u00f6tigen wir ein <span class=\"ecti-1095\">Lemma <\/span>(auch <span class=\"ecti-1095\">Hilfssatz <\/span>genannt): <\/p> <div class=\"me melemma\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"zcb020cb5172c\"> <a id=\"x1-4006r3\"><\/a> <span class=\"ecbx-1095\">Lemma 1.3 <\/span>(Summenformel mittels Induktion)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Sei <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">eine nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rliche Zahl. Dann gilt<\/span> <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"><mstyle class=\"label\" id=\"x1-4007r2\" \/><mstyle class=\"maketag\"><mtext>(1.2)<\/mtext><\/mstyle><mspace class=\"nbsp\" width=\"0.33em\" \/> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis (mittels vollst\u00e4ndiger Induktion).<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\"> F\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> ist die linke Seite von Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) gleich <math display=\"inline\"><mn>1<\/mn><\/math> und die rechte Seite gleich <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Also stimmt Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Dieser Beweisschritt wird Induktionsanfang genannt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Angenommen wir wissen bereits, dass Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) f\u00fcr die nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> gilt. Wir wollen nun zeigen, dass daraus folgt, dass Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) auch f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> gilt. Hierzu beginnen wir mit der rechten Seite von Gleichung&nbsp;(<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> und erhalten <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>3<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>3<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>2<\/mn><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">durch geschicktes Umformen, Umordnen und Zusammenfassen gewisser Terme. Der erste Klammerausdruck in der letzten Zeile ist nun genau die rechte Seite der Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) (die wir f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> als bekannt angenommen haben). Der zweite Klammerausdruck ist genau <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> weswegen wir <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">gezeigt haben. <span class=\"ecti-1095\">Dieser Beweisschritt wird Induktionsschritt genannt.<\/span> <\/p><p class=\"indent\">Es folgt, dass Gleichung (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) wegen dem Induktionsanfang f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> stimmt und daher auch f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>2<\/mn><\/math> wegen dem Induktionsschritt und weiter f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>3<\/mn><\/math> wieder wegen dem Induktionsschritt. F\u00e4hrt man so weiter, erh\u00e4lt man (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) f\u00fcr jede nat\u00fcrliche Zahl. <span class=\"ecti-1095\">Wir sagen, dass Gleichung<\/span> (<a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4007r2\">1.2<\/a>) <span class=\"ecti-1095\">mittels vollst<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00e4<\/span><span class=\"ecti-1095\">ndiger Induktion f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen<\/span> <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> <span class=\"ecti-1095\">folgt. Des Weiteren deuten wir das Ende des Beweises mit einem kleinen Quadrat an<\/span>. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div> <div class=\"proof\"> <p class=\"indent\"><span class=\"head\"><\/span><\/p><details open=\"open\"><summary><b>Beweis von Proposition <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4004r1\">1.1<\/a>.<\/b><\/summary><p class=\"indent\" style=\"margin-top: 10\"> Wir nehmen an, dass es einen Begriff des Fl\u00e4cheninhalts mit den Eigenschaften in der Proposition gibt und dieser f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> definiert ist. Angenommen <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi><\/math> ist der Fl\u00e4cheninhalt von <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Wir \u00fcberdecken <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math> f\u00fcr eine gegebene nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> mit Rechtecken wie in Figur <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4008r2\">1.2<\/a>. <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=244&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture4.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"z8b9fc5e506ac\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture4.svg\" width=\"244\" \/><\/div> <a id=\"x1-4008r2\"><\/a> <a id=\"x1-4009\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.2: <\/span><span class=\"content\">Die \u00dcberdeckung von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math>             mit Rechtecken f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <p class=\"indent\">Wir erhalten aus den angenommenen Eigenschaften des Fl\u00e4cheninhalts und Lemma <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4006r3\">1.3<\/a>, dass <\/p><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>I<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">Wir bemerken, dass die Geradenst\u00fccke, bei denen sich die Rechtecke ber\u00fchren, Fl\u00e4cheninhalt <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math> haben und wir sie also einfach ignorieren d\u00fcrfen. <button class=\"hover-trigger\">(Warum genau?)<\/button><span class=\"hover-text\"><span class=\"marginpar\">Betrachten Sie die offenen Rechtecke, interpretieren Sie die Seiten der Rechtecke als abgeschlossene Rechtecke mit Fl\u00e4cheninhalt Null, und verwenden Sie nun die angenommene Additionseigenschaft f\u00fcr Mengen ohne gemeinsame Punkte.<\/span><\/span> Verwenden wir hingegen Rechtecke wie in Figur <a href=\"..\/..\/chapter\/quadratur-der-parabel#x1-4010r3\">1.3<\/a> erhalten wir ebenso <\/p> <div class=\"center\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"wp-nocaption \"><\/div><div class=\"mefigcentered\" id=\"wpsize=244&amp;url=Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture5.pdf\"><img decoding=\"async\" id=\"zbb6884d79890\" alt=\"PIC\" src=\"https:\/\/people.math.ethz.ch\/~einsiedl\/Pictures\/Einfuehrung\/Flaechenberechnung\/Picture5.svg\" width=\"244\" \/><\/div> <a id=\"x1-4010r3\"><\/a> <a id=\"x1-4011\"><\/a> <br \/><div class=\"caption\"><span class=\"id\">&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;              Figur&nbsp;1.3: <\/span><span class=\"content\">Von <math display=\"inline\"><mi>P<\/mi><\/math>             \u00fcberdeckte          Kollektion          von          Rechtecken          f\u00fcr               <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <\/span><\/div> <\/div> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"><mi>I<\/mi><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mfrac><mrow><msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac><mrow><mo class=\"MathClass-open\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">(<\/mo><mrow><msup><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mo class=\"MathClass-rel\">\u22ef<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mo class=\"MathClass-open\">(<\/mo><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mn>1<\/mn><mo class=\"MathClass-close\">)<\/mo><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo class=\"MathClass-close\" fence=\"true\" mathsize=\"1.19em\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mfrac><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow> <mrow><mn>6<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><\/mfrac> <mrow><mo fence=\"true\" form=\"prefix\"> (<\/mo><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <msup><mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup><\/mrow><mo fence=\"true\" form=\"postfix\">)<\/mo><\/mrow><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-even\"> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\" \/> <mtd class=\"align-label\"> <mspace width=\"2em\" \/><\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> Zusammenfassend gilt also <math display=\"block\"><mtable class=\"align-star\" columnalign=\"left\"> <mtr><mtd class=\"align-odd\" columnalign=\"right\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/mtd> <mtd class=\"align-even\"><mspace width=\"2em\" \/><\/mtd> <mtd class=\"align-label\" columnalign=\"right\"> <\/mtd><\/mtr><\/mtable><\/math> <p class=\"noindent\">f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Die einzige Zahl, die kleiner als <math display=\"inline\"><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> und gr\u00f6sser als <math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> ist f\u00fcr alle nat\u00fcrlichen Zahlen <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> ist die <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Dies ist anschaulich relativ klar (siehe unten) und wird sp\u00e4ter aus dem <span class=\"ecti-1095\">Archimedischen<\/span> <span class=\"ecti-1095\">Prinzip <\/span>folgen, welches wir in drei Wochen ausf\u00fchrlich besprechen werden. Daher gilt <math display=\"inline\"><mi>I<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/mfrac><\/math> und die Proposition folgt. <span>&nbsp;&nbsp;<\/span><\/p><div class=\"qed\">\u25a0<\/div><\/details><\/div> <p class=\"indent\">Wir haben in obigem Beweis folgenden Satz ben\u00f6tigt: <\/p> <div class=\"me metheorem\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z772218a406e1\"> <span class=\"ecbx-1095\">Satz <\/span>(Eine Version des Archimedischen Prinzips)<span class=\"ecbx-1095\">.<\/span> <\/h4> <p class=\"indent\"><span class=\"ecti-1095\">Wenn <\/span><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2208<\/mo> <mi>\u211d<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">die Ungleichung <\/span><math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac><mrow><mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> <span class=\"ecti-1095\">f<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">r alle nat<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">rlichen Zahlen <\/span><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi><\/math> <span class=\"ecti-1095\">erf<\/span><span class=\"ecti-1095\">\u00fc<\/span><span class=\"ecti-1095\">llt, dann ist <\/span><span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> <\/p> <\/div> <p class=\"indent\">Warum ist dies \u201eanschaulich klar\u201c? Stellen Sie sich <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2265<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math> in der Dezimaldarstellung vor. Verwenden wir die Annahme f\u00fcr <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so sehen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> von der Form <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><mo class=\"MathClass-punc\">.<\/mo><mn>0<\/mn><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn> <\/mrow> <\/msub> <mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math> sein muss f\u00fcr vorerst unbekannte Ziffern <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>3<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>4<\/mn><\/mrow><\/msub><mo class=\"MathClass-punc\">,<\/mo><mi class=\"MathClass-op\">\u2026<\/mi><mo> <\/mo><\/math><\/span><span class=\"period\">.<\/span> Verwenden wir nun <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> dann sehen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> nach dem Komma mindestens <math display=\"inline\"><mn>2<\/mn><\/math> Nullen haben muss (das heisst, <math display=\"inline\"><msub><mrow><mi>a<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn><\/mrow><\/msub> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math>). Da aber die Annahme ebenso f\u00fcr <math display=\"inline\"><mi>n<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">=<\/mo> <mn>1<\/mn><msup><mrow><mn>0<\/mn><\/mrow><mrow><mi>k<\/mi><\/mrow><\/msup> <mo class=\"MathClass-bin\">+<\/mo> <mn>1<\/mn><\/math> f\u00fcr eine beliebige nat\u00fcrliche Zahl <math display=\"inline\"><mi>k<\/mi><\/math> gilt, sehen wir, dass <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> unendlich viele Nullen nach dem Komma haben muss. Also ist <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> Null. Falls <span class=\"maperiod\"><math display=\"inline\"><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mn>0<\/mn><\/math><\/span><span class=\"period\">,<\/span> so erf\u00fcllt <math display=\"inline\"><mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math> die Ungleichung <math display=\"inline\"><mn>0<\/mn> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo><mi>x<\/mi> <mo class=\"MathClass-rel\">\u2264<\/mo> <mfrac> <mrow> <mn>1<\/mn><\/mrow> <mrow><mi>n<\/mi><\/mrow><\/mfrac><\/math> und insbesondere ist <math display=\"inline\"> <mo class=\"MathClass-bin\">\u2212<\/mo> <mi>x<\/mi><\/math>                                                                                                                                                                           und damit <math display=\"inline\"><mi>x<\/mi><\/math> gleich Null nach vorherigem Argument. Dies ist kein Beweis (ausser man hat vorher die reellen Zahlen als Dezimalbr\u00fcche eingef\u00fchrt und alle \u00fcbliche Eigenschaften bewiesen) \u2013 wir werden sp\u00e4ter unter Verwendung klar formulierter Axiome einen vollst\u00e4ndigen Beweis des Archimedischen Prinzips erbringen. <\/p> <div class=\"me meexample\"> <div class=\"wp-nocaption \"><\/div><h4 id=\"z4b501b7e8c93\"> <span class=\"ecti-1095\">Bemerkung.<\/span><\/h4> <p class=\"indent\">Wie schon erw\u00e4hnt, haben wir die Frage, ob es einen Fl\u00e4cheninhalt f\u00fcr Bereiche im <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> gibt, nicht beantwortet. Wir haben auch nicht genau beschrieben, was denn eigentlich Bereiche im <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> sind; wir sind  aber  implizit  davon  ausgegangen,  dass  Bereiche  jene  Teilmengen  des <math display=\"inline\"><msup><mrow><mi>\u211d<\/mi><\/mrow><mrow><mn>2<\/mn> <\/mrow> <\/msup> <\/math> sind, denen wir  einen  Fl\u00e4cheninhalt  zuordnen  k\u00f6nnen.  Diese  grundlegenden  Fragen werden zum Teil  in  Analysis  I  und  II  mit  den  Begriffen  des  Riemann-Integrals  und  der Jordan-messbaren  Mengen  beantwortet.  Des  Weiteren  werden  diese  Fragen  in  gr\u00f6sserer Allgemeinheit in der Vorlesung Analysis III \u00fcber Mass- und Integrationstheorie im dritten Semester und  anderen  weiterf\u00fchrenden  Vorlesungen  im  dritten  oder  vierten  Jahr  des Mathematikstudiums besprochen. <\/p> <\/div> <a id=\"x1-4012r4\"><\/a> \n","protected":false},"author":1089,"menu_order":1,"template":"","meta":{"pb_show_title":"","pb_short_title":"","pb_subtitle":"","pb_authors":[],"pb_section_license":""},"chapter-type":[],"contributor":[],"license":[],"class_list":["post-24","chapter","type-chapter","status-publish","hentry"],"part":23,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/24","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters"}],"about":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/types\/chapter"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1089"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/24\/revisions"}],"part":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/parts\/23"}],"metadata":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapters\/24\/metadata\/"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=24"}],"wp:term":[{"taxonomy":"chapter-type","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/pressbooks\/v2\/chapter-type?post=24"},{"taxonomy":"contributor","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/contributor?post=24"},{"taxonomy":"license","embeddable":true,"href":"https:\/\/wp-prd.let.ethz.ch\/analysis19\/wp-json\/wp\/v2\/license?post=24"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}